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1、人教版高中數(shù)學(xué)精品資料 第三章 統(tǒng)計(jì)案例 3.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 第1課時(shí) 線性回歸模型 A級(jí)　基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1．有下列說(shuō)法： ①線性回歸分析就是由樣本點(diǎn)去尋找一條直線，貼近這些樣本點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法； ②利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示； ③通過(guò)回歸方程＝x＋及其回歸系數(shù)b，可以估計(jì)和觀測(cè)變量的取值和變化趨勢(shì)； ④因?yàn)橛扇魏我唤M觀測(cè)值都可以求得一個(gè)線性回歸方程，所以沒(méi)有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)． 其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是(　　 ) A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4 解析：①反映的是最小二乘法思

2、想，故正確．②反映的是畫(huà)散點(diǎn)圖的作用，也正確．③反映的是回歸模型y＝bx＋a＋e，其中e為隨機(jī)誤差，故也正確．④不正確，在求回歸方程之前必須進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，以體現(xiàn)兩變量的關(guān)系． 答案：C 2．設(shè)兩個(gè)變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是r，y關(guān)于x的回歸直線的斜率是b，縱軸上的截距是a，那么必有(　　 ) A．b與r的符號(hào)相同 B．a(chǎn)與r的符號(hào)相同 C．b與r的符號(hào)相反 D．a(chǎn)與r的符號(hào)相反 解析：因?yàn)閎＞0時(shí)，兩變量正相關(guān)，此時(shí)r＞0；b＜0時(shí)，兩變量負(fù)相關(guān)，此時(shí)r＜0. 答案：A 3．實(shí)驗(yàn)測(cè)得四組(x，y)的值為(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，則

3、y與x之間的回歸直線方程為(　　 ) A.＝x＋1 B.＝x＋2 C.＝2x＋1 D.＝x－1 解析：求出樣本中心(，)代入選項(xiàng)檢驗(yàn)知選項(xiàng)A正確． 答案：A 4．設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是(　　 ) A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，) C．若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg D．若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.7

4、9 kg 解析：回歸方程中x的系數(shù)為0.85＞0，因此y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；由回歸方程系數(shù)的意義可知回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心，，B正確；依據(jù)回歸方程中y的含義可知，x每變化1個(gè)單位，y相應(yīng)變化約0.85個(gè)單位，C正確；用回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)不能得到肯定的結(jié)論，故D錯(cuò)誤． 答案：D 5．(2015·福建卷)為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表： 收入x/萬(wàn)元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y/萬(wàn)元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得回歸直線方程＝x

5、＋，其中＝0.76，＝y(tǒng)－，. 據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶年收入為15萬(wàn)元家庭的年支出為(　　) A．11.4萬(wàn)元 B．11.8萬(wàn)元 C．12.0萬(wàn)元 D．12.2萬(wàn)元 解析：由已知得 ＝＝10(萬(wàn)元)， ＝＝8(萬(wàn)元)， 故＝8－0.76×10＝0.4. 所以回歸直線方程為＝0.76x＋0.4，社區(qū)一戶年收入為15萬(wàn)元家庭年支出為＝0.76x＋0.4，社區(qū)一戶年收入為15萬(wàn)元家庭支出為＝0.76×15＋0.4＝11.8(萬(wàn)元)． 答案：B 二、填空題 6．若施化肥量x(kg)與小麥產(chǎn)量y(kg)之間的回歸直線方程為＝250＋4x，當(dāng)施化肥量為50 k

6、g時(shí)，預(yù)計(jì)小麥產(chǎn)量為_(kāi)_______kg. 解析：把x＝50代入＝250＋4x，得＝450. 答案：450 7．已知x，y的取值如表所示： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 若從散點(diǎn)圖分析，y與x線性相關(guān)，且＝0.95x＋，則的值等于________． 解析：x＝ (0＋1＋3＋4)＝2，y＝＝4.5，而回歸直線方程過(guò)樣本點(diǎn)的中心(2，4.5)， 所以＝y(tǒng)－0.95x＝4.5－0.95×2＝2.6. 答案：2.6 8．已知一個(gè)線性回歸方程為＝1.5x＋45，其中x的取值依次為1，7，5，13，19，則＝________．

7、 解析：＝＝9，因?yàn)榛貧w直線方程過(guò)點(diǎn)(，)，所以＝1.5x＋45＝1.5×9＋45＝58.5. 答案：58.5 三、解答題 9．某醫(yī)院用光電比色計(jì)檢驗(yàn)?zāi)蚬瘯r(shí)，得尿汞含量x(單位：mg/L)與消光系數(shù)y讀數(shù)的結(jié)果如下： 尿汞含量x 2 4 6 8 10 消光系數(shù)y 64 138 205 285 360 (1)畫(huà)出散點(diǎn)圖； (2)求回歸方程． 解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示： (2)由圖可知y與x的樣本點(diǎn)大致分布在一條直線周圍，因此可以用線性回歸方程來(lái)擬合它． 設(shè)回歸方程為＝x＋. 故所求的線性回歸方程為＝36.95x－11.3. 10．

8、某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)： 年份 2008 2010 2012 2014 2016 需求量/萬(wàn)噸 236 246 257 276 286 (1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程＝x＋； (2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測(cè)該地2018年的糧食需求量． 解：(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來(lái)求回歸直線方程．為此對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理如下： 年份2012年 －4 －2 0 2 4 需求量257萬(wàn)噸 －21 －11 0 19 29 對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得＝0，＝3.2.所以

9、＝＝6.5， ＝－＝3.2. 由上述計(jì)算結(jié)果，知所求回歸直線方程為 －257＝(x－2 012)＋＝6.5(x－2 012)＋3.2， 即＝6.5(x－2 012)＋260.2.① (2)利用直線方程①，可預(yù)測(cè)2018年的糧食需求量為 ＝6.5×(2 018－2 012)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(萬(wàn)噸)≈300(萬(wàn)噸)． B級(jí)　能力提升 1．某學(xué)生四次模擬考試中，其英語(yǔ)作文的減分情況如下表： 考試次數(shù)x 1 2 3 4 所減分?jǐn)?shù)y 4.5 4 3 2.5 顯然所減分?jǐn)?shù)y與模擬考試次數(shù)x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系

10、，則其線性回歸方程為(　　) A．y＝0.7x＋5.25 B．y＝－0.6x＋5.25 C．y＝－0.7x＋6.25 D．y＝－0.7x＋5.25 解析：由題意可知，所減分?jǐn)?shù)y與模擬考試次數(shù)x之間為負(fù)相關(guān)，所以排除A. 考試次數(shù)的平均數(shù)為x＝(1＋2＋3＋4)＝2.5， 所減分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為y＝(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5， 即直線應(yīng)該過(guò)點(diǎn)(2.5，3.5)，代入驗(yàn)證可知直線y＝－0.7x＋5.25成立，故選D. 答案：D 2．為了解籃球愛(ài)好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球時(shí)間x(單位：小時(shí))與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)

11、系： 時(shí)間x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李這5天的平均投籃命中率為_(kāi)_______，用線性回歸分析的方法，預(yù)測(cè)小李該月6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率為_(kāi)_______． 解析：這5天的平均投籃命中率為 ＝＝0.5， ＝＝3. 所以＝＝0.01，＝－＝0.47. 所以回歸直線方程為＝0.01x＋0.47. 當(dāng)x＝6時(shí)，＝0.01×6＋0.47 ＝0.53. 答案：0.5　0.53 3．某市垃圾處理廠的垃圾年處理量(單位：千萬(wàn)噸)與資金投入量x(單位：千萬(wàn)元)有如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)： 分類 20

12、12年 2013年 2014年 2015年 2016年 資金投入量x/ 千萬(wàn)元　　 1.5 1.4 1.9 1.6 2.1 垃圾處理量y/ 千萬(wàn)噸　　 7.4 7.0 9.2 7.9 10.0 (1)若從統(tǒng)計(jì)的5年中任取2年，求這2年的垃圾處理量至少有一年不低于8.0千萬(wàn)噸的概率； (2)由表中數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為＝4x＋，該垃圾處理廠計(jì)劃2017年的垃圾處理量不低于9.0千萬(wàn)噸，現(xiàn)由垃圾處理廠決策部門(mén)獲悉2017年的資金投入量約為1.8千萬(wàn)元，請(qǐng)你預(yù)測(cè)2017年能否完成垃圾處理任務(wù)，若不能，缺口約為多少千萬(wàn)噸？ 解：(1)從統(tǒng)計(jì)的5年垃圾處理量中任

13、取2年的基本事件共10個(gè)：(7.4，7.0)，(7.4，9.2)，(7.4，7.9)，(7.4，10.0)，(7.0，9.2)，(7.0，7.9)，(7.0，10.0)，(9.2，7.9)，(9.2，10.0)，(7.9，10.0)，其中垃圾處理量至少有一年不低于8.0千萬(wàn)噸的基本事件有6個(gè)：(7.4，9.2)，(7.4，10.0)，(7.0，9.2)，(7.0， 10.0)，(9.2，7.9)，(9.2，10.0)． 所以，這2年的垃圾處理量至少有一年不低于8.0千萬(wàn)噸的概率為P＝＝. (2)＝＝1.7， ＝＝8.3， 因?yàn)橹本€＝4x＋過(guò)樣本中心點(diǎn)(，)， 所以8.3＝4×1.7＋，解得＝1.5. 所以＝4x＋1.5. 當(dāng)x＝1.8時(shí)，＝4×1.8＋1.5＝8.7＜9.0， 所以不能完成垃圾處理任務(wù)，缺口約為0.3千萬(wàn)噸．