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1、2019人教版初中數學精品教學資料
第12章 全等三角形
第9課時 12.3角的平分線的性質(2)
一、課前小測——簡約的導入
1. 如圖,直線AB、CD相交于點O,OE⊥AB,垂足為O,OF平分∠AOE,∠1=15°,則下列結論中不正確的是()
A. ∠2=45°
B. ∠1=∠3
C.∠EOD與∠3互為余角
D. ∠FOD=110°
2. 填空:如圖,∠C=90°,∠1=∠2,BC=7,BD=4,則
(1)D點到AC的距離= .
(2)D點到AB的距離=
2、 .
二、典例探究—核心的知識
例1如圖,已知:OD平分∠AOB,在OA,OB邊上取OA=OB,PM⊥BD,PN⊥AD.
求證:PM=PN.
例2 如圖所示,已知PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC,D是AP上一點,由以上條件可以得到∠BDP=∠CDP嗎?為什么?
三、平行練習—三基的鞏固
3. 如圖,已知在△ABC中,BD,CE分別平分∠ABC,∠ACB,且BD,CE交于點O, 過O作OP⊥BC于P,OM⊥AB于M,ON⊥AC于N,則OP,OM,ON的大小關系為 _.
4. 如圖,已知
3、在△中,,點是斜邊的中點,, 交于.
求證:平分.
5. 如圖,點D、B分別在A的兩邊上,C是∠A內一點,且AB=AD,BC=DC,CE⊥AD,CF⊥AB,垂足分別為E、F,求證:CE=CF。
四、變式練習——拓展的思維
例3如圖,在△ABC中,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F為垂足,如果ED=FD,則∠BAD= .
變式1. 如圖,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC的中點,且DE⊥AB,DF⊥AC,E,F為垂足,求證:AD平分∠BAC.
變式2. 已知:如圖,∠1=∠2,CD⊥
4、AB于D,
BE⊥AC于E,BE、CD交于點O.
求證:OC=OB.
變式3. 已知如圖,OP是∠AOB的平分線,M為OP上一點,E,F是OA上任意兩點,C,D是OB上任意兩點,且EF=CD,試比較△FEM與△CDM的面積大?。?
五、課時作業(yè)——必要的再現
6. 到三角形三條邊的距離都相等的點是這個三角形的( ?。?
A.三條中線的交點
B.三條高的交點
C.三條邊的垂直平分線的交點
D.三條角平分線的交點
7.如圖,AB=AD,CB=CD,AC、BD相交于點O,則下列結論正確的是( )
A. OA=OC
B
5、. 點O到AB、CD的距離相等
C. 點O到CB、CD的距離相等
D. ∠BDA=∠BDC
8. 如圖,△ABC中,P是角平分線AD,BE的交點.
求證:點P在∠C的平分線上.
9.如圖,在△ABC中,BD⊥AC于點D,AE平分∠BAC,交BD于F點,∠ABC=90°.
(1)若BC=80cm,BE=EC=3:5,求點E到AC的距離.
(2)你能說明∠BEF=∠BFE的理由嗎?
答案 :
1.D
2.(1)3;(2)3
例1.證明:∵OD平分∠AOB,∴∠1=∠2.
在△OBD和
6、△ADO中,
∴△OBD≌△OAD(SAS),
∴∠3=∠4.
∵PM⊥BD,PN⊥AD,
∴PM=PN.
例2.解:可以.
∵PB⊥AB于點B,PC⊥AC于點C,且PB=PC,
∴AP平分∠BAC,∴∠BAP=∠CAP.
在Rt△ABP和Rt△ACP中,
PB=PC,AP=AP,
∴Rt△ABP≌Rt△ACP,∴AB=AC.
在△ABD與△ACD中,
AB=AC,∠BAP=∠CAP,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD,
∴∠ADB=∠ADC,∴∠BDP=∠CDP.
3.相等
4.證明
7、:是的中點,
,
,
,.
又,,
,
又,(),
,
平分.
5.證明:連結AC,
在△ACD和△ACB中,
∵AD=AB,CD=BC,AC=AC,
∴△ACD≌△ACB,
∴∠DAC=∠CAB,
∵CE⊥AD,CF⊥AB,
∴CE=CF
例3 ∠CAD.
變式1.證明:∵D是BC的中點,∴BD=CD.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BED和△CFD中,
∴△BED≌△CFD中(AAS),∴ED=FD.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD平分∠BAC.
變式2.證明:∵
8、 CD⊥AB,BE⊥AC,
∴ ∠CEO=∠BDO=90º
又∵ ∠1=∠2,
∴ OE=OD
在△EOC和△DOB中,
∠3=∠4
OE=OD
∠CEO=∠BDO
∴ △EOC≌△DOB(ASA),
∴ OC=OB
變式3.S△EFM =S△CDM.
理由:作MN⊥OA于N,MH⊥OB于H.
∵OP平分∠AOB,MN⊥OA,MH⊥OB,
∴MN=MH,
∴S△EFM =·EF·MN,S△COM =CD·MH.
又∵EF=CD,∴S△EFM =S△CDM.
6.D
7.C
8.解
9、:如圖,過點P作PM⊥AB,PN⊥BC,PQ⊥AC,垂足分別為M、N、Q.
∵P在∠BAC的平分線AD上,
∴PM=PQ.P在∠ABC的平分線BE上,
∴PM=PN.∴PQ=PN,
∴點P在∠C的平分線.
9.解:(1)如圖所示,過點D作EG⊥AG,垂足為G.
∵BE:EC=3:5,BC=80cm,
∴BE=BC=×80=30cm.
∵AE平分∠BAC,∠ABC=90°,EG⊥AC,
∴BE=EG,∴EG=30cm.
(2)∵AE平分∠BAC,∴∠1=∠2.
∵∠ABC=90°,BD⊥AC,
∴∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°,∴∠3=∠4.
∵∠4=∠5,∴∠3=∠5,即∠BEF=∠BFE.