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高考數(shù)學 一輪復習學案訓練課件北師大版理科: 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第4節(jié) 函數(shù)y=Asinωx+φ的圖像及應(yīng)用學案 理 北師大版

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1、 第四節(jié) 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像及應(yīng)用 [考綱傳真] (教師用書獨具)1.了解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的物理意義;能畫出函數(shù)的圖像,了解參數(shù)A,ω,φ對函數(shù)圖像變化的影響.2.會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題,體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型. (對應(yīng)學生用書第54頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1.y=Asin (ωx+φ)的有關(guān)概念 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x≥0),表示一個振動量時 振幅 周期 頻率 相位 初相 A T= f== ωx+φ φ 2.用五點法畫y=Asin(ωx+φ)一個周期內(nèi)的簡圖時,要找五

2、個關(guān)鍵點,如下表所示 x - ωx+φ 0 π 2π y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 3.由y=sin x的圖像變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的圖像 圖3­4­1 [知識拓展] 1.由y=sin ωx到y(tǒng)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的變換:向左平移個單位長度而非φ個單位長度. 2.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的對稱軸由ωx+φ=kπ+,k∈Z確定;對稱中心由ωx+φ=kπ,k∈Z確定其橫坐標. [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確

3、的打“√”,錯誤的打“×”) (1)利用圖像變換作圖時“先平移,后伸縮”與“先伸縮,后平移”中平移的單位長度一致.(  ) (2)將y=3sin 2x的圖像左移個單位后所得圖像的解析式是y=3sin.(  ) (3)y=sin的圖像是由y=sin的圖像向右平移個單位得到的.(  ) (4)函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的最小正周期為T,那么函數(shù)圖像的兩個相鄰對稱中心之間的距離為.(  ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.(教材改編)y=2sin的振幅,頻率和初相分別為(  ) A.2,4π,     B.2,, C.2,,- D

4、.2,4π,- C [由題意知A=2,f===,初相為-.] 3.為了得到函數(shù)y=sin的圖像,只需把函數(shù)y=sin x的圖像上所有的點(  ) A.向左平行移動個單位長度 B.向右平行移動個單位長度 C.向上平行移動個單位長度 D.向下平行移動個單位長度 A [把函數(shù)y=sin x的圖像上所有的點向左平行移動個單位長度就得到函數(shù)y=sin的圖像.] 4.用五點法作函數(shù)y=sin在一個周期內(nèi)的圖像時,主要確定的五個點是________、________、________、________、________. ;;;; [分別令x-=0,,π,π,2π,即可得五個點的橫坐標(縱

5、坐標分別為0,1,0,-1,0).] 5.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的圖像如圖3­4­2所示,則ω=________. 圖3­4­2  [由題圖可知,=-=, 即T=,所以=,故ω=.] (對應(yīng)學生用書第55頁) 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像及變換  已知函數(shù)f(x)=3sin,x∈R. (1)畫出函數(shù)f(x)在一個周期的閉區(qū)間上的簡圖; (2)將函數(shù)y=sin x的圖像作怎樣的變換可得到f(x)的圖像? 【導學號:79140116】 [解] (1)列表取值: x π π

6、π π x- 0 π π 2π f(x) 0 3 0 -3 0 描出五個關(guān)鍵點并用光滑曲線連接,得到一個周期的簡圖. (2)先把y=sin x的圖像向右平移個單位,然后把所有點的橫坐標擴大為原來的2倍,再把所有點的縱坐標擴大為原來的3倍,得到f(x)的圖像. [規(guī)律方法] 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖像的作法,(1)五點法:用“五點法”作y=Asin(ωx+φ)的簡圖,主要是通過變量代換,令z=ωx+φ,由z取0,,π,π,2π來求出相應(yīng)的x,通過列表得出五點坐標,描點,連線后得出圖像.,(2)圖像變換法:由函數(shù)y=sin x的圖像通

7、過變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖像有兩種途徑:“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”,對于后者可利用ωx+φ=ω確定平移單位. [跟蹤訓練] (1)(20xx·全國卷Ⅰ)已知曲線C1:y=cos x,C2:y=sin,則下面結(jié)論正確的是(  ) A.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2 B.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2 C.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2 D.把C1上各點的橫坐標縮短

8、到原來的倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2 (2)(20xx·呼和浩特一調(diào))設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)向左平移個單位長度后得到的函數(shù)是一個偶函數(shù),則φ=________. (1)D (2)- [(1)因為y=sin=cos=cos,所以曲線C1:y=cos x上各點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變,得到曲線y=cos 2x,再把得到的曲線y=cos 2x向左平移個單位長度,得到曲線y=cos 2=cos.故選D. (2)由題意得y=sin是一個偶函數(shù),因此+φ=+kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z).因為|φ|<,所以φ=-.]

9、 求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式  (1)(20xx·全國卷Ⅱ)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖像如圖3­4­3所示,則(  ) 圖3­4­3 A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin (2)已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的最大值為4,最小值為0,最小正周期為,直線x=是其圖像的一條對稱軸,則下面各式中符合條件的解析式為(  ) A.y=4sin B.y=2sin+2 C.y=2sin+2 D.y=2sin+2 (1)A (2)D [(1)由圖像

10、知=-=,故T=π,因此ω==2.又圖像的一個最高點坐標為,所以A=2,且2×+φ=2kπ+(k∈Z),故φ=2kπ-(k∈Z),結(jié)合選項可知y=2sin.故選A. (2)由函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的最大值為4,最小值為0,可知b=2,A=2.由函數(shù)的最小正周期為,可知=,得ω=4.由直線x=是其圖像的一條對稱軸,可知4×+φ=kπ+,k∈Z,從而φ=kπ-,k∈Z,故滿足題意的是y=2sin+2.] [規(guī)律方法] 確定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步驟和方法,(1)求A,b:確定函數(shù)的最大值M和最小值m,則A=,b=.,(2)求ω:確定函數(shù)

11、的周期T,則可得ω=.,(3)求φ:常用的方法有:,①代入法:把圖像上的一個已知點代入(此時A,ω,b已知)或代入圖像與直線y=b的交點求解(此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上).,②五點法:確定φ值時,往往以尋找“五點法”中的某一個點為突破口.“第一點”(即圖像上升時與x軸的交點)時ωx+φ=0;“第二點”(即圖像的“峰點”)時ωx+φ=;“第三點”(即圖像下降時與x軸的交點)時ωx+φ=π;“第四點”(即圖像的“谷點”)時ωx+φ=;“第五點”時ωx+φ=2π. [跟蹤訓練] (20xx·石家莊一模)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分圖像如圖3&

12、#173;4­4所示,則f的值為(  ) 圖3­4­4 A.-  B.-   C.-   D.-1 D [由圖像可得A=,最小正周期T=4=π,則ω==2.又f=sin=-,解得φ=-+2kπ(k∈Z),即k=1,φ=,則f(x)=sin,f=sin=sin=-1,故選D.] 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖像與性質(zhì)的應(yīng)用  (20xx·合肥二檢)已知函數(shù)f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期為π. (1)求函數(shù)y=f(x)的圖像的對稱軸方程; (2)討論函數(shù)f(x)在上的單調(diào)性. [解] (1)∵f(x

13、)=sin ωx-cos ωx=sin, 且T=π,∴ω==2. 于是f(x)=sin. 令2x-=kπ+(k∈Z), 得x=+(k∈Z), 即函數(shù)f(x)的圖像的對稱軸方程為x=+(k∈Z). (2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z), 得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z). 因為x∈,令k=0, 得函數(shù)f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為; 同理其單調(diào)遞減區(qū)間為. [規(guī)律方法] 三角函數(shù)圖像與性質(zhì)應(yīng)用問題的求解思路,先將y=f(x)化為y=Asin(ωx+φ)+b的形式,再借助y=Asin(ωx+φ)的圖像和性質(zhì)(如定義域、值域、最值、周期性、對稱性、單調(diào)性等)解決相

14、關(guān)問題. [跟蹤訓練] 設(shè)函數(shù)f(x)=-sin2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)圖像的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為. (1)求ω的值; (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值. [解] (1)f(x)=-sin2ωx-sin ωxcos ωx =-·-sin 2ωx =cos 2ωx-sin 2ωx=-sin. 因為圖像的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為,又ω>0,所以=4×,因此ω=1. (2)由(1)知f(x)=-sin. 當π≤x≤時,≤2x-≤, 所以-≤sin≤1,則-1≤f(x)≤. 故f(x)在區(qū)間上的

15、最大值和最小值分別為,-1. 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用  某實驗室一天的溫度(單位:℃)隨時間t(單位:h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系:f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24). (1)求實驗室這一天的最大溫差; (2)若要求實驗室溫度不高于11 ℃,則在哪段時間實驗室需要降溫? 【導學號:79140117】 [解] (1)因為f(t)=10-2=10-2sin, 又0≤t<24, 所以≤t+<,-1≤sin≤1. 當t=2時,sin=1; 當t=14時,sin=-1. 于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8. 故實驗室這一天最高溫度為

16、12 ℃,最低溫度為8 ℃,最大溫差為4 ℃. (2)依題意,當f(t)>11時實驗室需要降溫. 由(1)得f(t)=10-2sin, 故有10-2sin>11, 即sin<-. 又0≤t<24,因此<t+<,即10<t<18. 故在10時至18時實驗室需要降溫. [規(guī)律方法] 三角函數(shù)模型的實際應(yīng)用類型及解題關(guān)鍵 (1)已知函數(shù)解析式,利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問題,其關(guān)鍵是準確理解自變量的意義及函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系. (2)函數(shù)解析式未知時,需把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題,建立三角函數(shù)模型,再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題,其關(guān)鍵是建模. [跟蹤訓練] 如圖3­4­5,某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin+k.據(jù)此函數(shù)可知,這段時間水深(單位:m)的最大值為(  ) 圖3­4­5 A.5   B.6    C.8    D.10 C [根據(jù)圖像得函數(shù)的最小值為2,有-3+k=2,k=5,最大值為3+k=8.]

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