《高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第8節(jié) 函數(shù)與方程學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第8節(jié) 函數(shù)與方程學(xué)案 理 北師大版(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第八節(jié) 函數(shù)與方程
[考綱傳真] (教師用書獨(dú)具)結(jié)合二次函數(shù)的圖像,了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性與根的個(gè)數(shù).
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第27頁(yè))
[基礎(chǔ)知識(shí)填充]
1.函數(shù)的零點(diǎn)
(1)定義:函數(shù)y=f(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).
(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系:方程f(x)=0有實(shí)根?函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).
(3)零點(diǎn)存在性定理
若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)曲線,并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反,即f(a)f(b)<0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)至少有
2、一個(gè)零點(diǎn),即相應(yīng)方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解.
(4)二分法:對(duì)于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)所似值的方法叫作二分法.
2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像與零點(diǎn)的關(guān)系
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a>0)的圖像
與x軸的交點(diǎn)
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
無(wú)交點(diǎn)
零點(diǎn)個(gè)數(shù)
2
1
0
[知識(shí)拓展] 有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論
(1)若
3、連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù),則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).
(2)連續(xù)不斷的函數(shù),其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào).
(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖像通過(guò)零點(diǎn)時(shí),函數(shù)值可能變號(hào),也可能不變號(hào).
[基本能力自測(cè)]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“”)
(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn).( )
(2)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖像連續(xù)不斷),則f(a)f(b)<0.( )
(3)若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)且f(a)f(b)<0,則函數(shù)f(x)在[a,b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn).( )
(4)只要函數(shù)有零
4、點(diǎn),我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值.( )
(5)二次函數(shù)y=ax2+bx+c在b2-4ac<0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn).( )
[答案] (1) (2) (3) (4) (5)√
2.函數(shù)f(x)=ln x-的零點(diǎn)所在的區(qū)間是( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.和(3,4) D.(4,+∞)
B [易知f(x)為增函數(shù),由f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3->0,得f(2)f(3)<0.故選B.]
3.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是( )
A.y=cos x B.y=sin x
C.y=ln x D.y=x2+1
A [由于y=sin x是
5、奇函數(shù);y=ln x是非奇非偶函數(shù),y=x2+1是偶函數(shù)但沒(méi)有零點(diǎn),只有y=cos x是偶函數(shù)又有零點(diǎn).]
4.(教材改編)函數(shù)f(x)=ex+3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
B [∵f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,
∴f(x)在(-1,0)內(nèi)有零點(diǎn),
又f(x)為增函數(shù),∴函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).]
5.函數(shù)f(x)=ax+1-2a在區(qū)間(-1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
[∵函數(shù)f(x)的圖像為直線,
由題意可得f(-1)f(1)<0,
∴(-3a+1)(1-a)<0,解得<a<
6、1,
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.]
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第28頁(yè))
判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間
(1)已知函數(shù)f(x)=ln x-的零點(diǎn)為x0,則x0所在的區(qū)間是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
(2)(20xx北京東城區(qū)綜合練習(xí)(二))已知函數(shù)f(x)=ln x+2x-6的零點(diǎn)在(k∈Z)內(nèi),那么k=________.
(1)C (2)5 [(1)∵f(x)=ln x-在(0,+∞)上是增函數(shù),
又f(1)=ln 1-=ln 1-2<0,
f(2)=ln 2-<0,
f(3)=ln 3->0,
∴x0∈(2,3),
7、故選C.
(2)∵f′(x)=+2>0,x∈(0,+∞),∴f(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f=ln -1<0,f(3)=ln 3>0,∴f(x)的零點(diǎn)在內(nèi),則整數(shù)k=5.]
[規(guī)律方法] 判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法
(1)解方程,當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí),可通過(guò)解方程,看方程是否有根落在給定區(qū)間上來(lái)判斷.
(2)利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷.
(3)數(shù)形結(jié)合畫出函數(shù)圖像,通過(guò)觀察圖像與x軸在給定區(qū)間內(nèi)是否有交點(diǎn)來(lái)判斷.
[跟蹤訓(xùn)練] (1)設(shè)f(x)=ln x+x-2,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
(
8、2)函數(shù)f(x)=x2-3x-18在區(qū)間[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零點(diǎn).
(1)B (2)存在 [(1)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=ln x,h(x)=-x+2圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的取值范圍.作圖如下:
可知f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2).
(2)法一:∵f(1)=12-31-18=-20<0,
f(8)=82-38-18=22>0,
∴f(1)f(8)<0,
又f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]的圖像是連續(xù)的,
故f(x)=x2-3x-18在x∈[1,8]上存在零點(diǎn).
法二:令f(x)=0,得x2-3x-18
9、=0,
∴(x-6)(x+3)=0.
∵x=6∈[1,8],x=-3?[1,8],
∴f(x)=x2-3x-18在x∈[1,8]上存在零點(diǎn).]
判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)
(1)函數(shù)f(x)=|x-2|-ln x在定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)(20xx秦皇島模擬)函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140061】
(1)C (2)3 [(1)由題意可知f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=|x-2|(x>0),y=ln x(x>0)的圖像,如圖所示:
由圖可知函數(shù)f(x)
10、在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
(2)當(dāng)x>0時(shí),作函數(shù)y=ln x和y=x2-2x的圖像,
由圖知,當(dāng)x>0時(shí),f(x)有2個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)x≤0時(shí),由f(x)=0得x=-,
綜上,f(x)有3個(gè)零點(diǎn).]
[規(guī)律方法] 判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的三種方法
(1)解方程法:所對(duì)應(yīng)方程f(x)=0有幾個(gè)不同的實(shí)數(shù)解就有幾個(gè)零點(diǎn).
(2)零點(diǎn)存在性定理法:利用零點(diǎn)存在性定理并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.
(3)數(shù)形結(jié)合法:轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像,看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù),其中交點(diǎn)的個(gè)數(shù),就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
[跟蹤訓(xùn)練] (1)函數(shù)f(x)=0.9x-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(
11、)
A.0個(gè) B.1個(gè)
C.2個(gè) D.3個(gè)
(2)函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(1)B (2)B [(1)因?yàn)閒(x)=0.9x-x,則函數(shù)f(x)為減函數(shù),值域?yàn)镽,所以函數(shù)f(x)的圖像必與x軸有一個(gè)交點(diǎn),即方程0.9x-x=0有一解.
(2)令f(x)=2x|log0.5x|-1=0,
可得|log0.5x|=.
設(shè)g(x)=|log0.5x|,h(x)=,在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)g(x),h(x)的圖像,可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)圖像一定有2個(gè)交點(diǎn),因此函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn).]
函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用
12、
(1)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)=0,g(b)=0,則( )
A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a)
C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0
(2)(20xx山東高考)已知函數(shù)f(x)=其中m>0.若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個(gè)不同的根,則m的取值范圍是________.
(1)A (2)(3,+∞) [(1)∵f(x)=ex+x-2,
∴f′(x)=ex+1>0,
則f(x)在R上為增函數(shù),
又f(0)=e0-2<0,f(1)=e-1>0,
且f(a)=0
13、,∴0<a<1.
∵g(x)=ln x+x2-3,
∴g′(x)=+2x.
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g′(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
又g(1)=ln 1-2=-2<0,g(2)=ln 2+1>0,且g(b)=0,∴1<b<2,∴a<b,
∴故選A.
(2)作出f(x)的圖像如圖所示.
當(dāng)x>m時(shí),x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,∴要使方程f(x)=b有三個(gè)不同的根,則有4m-m20.又m>0,解得m>3.]
[規(guī)律方法] 已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法
(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再
14、通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍.
(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決.
(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖像,然后數(shù)形結(jié)合求解.
[跟蹤訓(xùn)練] (1)已知函數(shù)f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x,h(x)=ln x-1的零點(diǎn)依次為a,b,c,則( )
A.a(chǎn)<b<c B.c<b<a
C.c<a<b D.b<a<c
(2)函數(shù)f(x)=2x--a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140062】
A.(1,3) B.(1,2)
C.(0,3) D.(0,2)
(1)A (2)C [(1)∵ea=-a,∴a<0,∵ln b=-b,且b>0,∴0<b<1,∵ln c=1,∴c=e>1,故選A.
(2)∵函數(shù)f(x)=2x--a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,又函數(shù)f(x)=2x--a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則有f(1)f(2)<0,∴(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,∴0<a<3.]