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高考數(shù)學 一輪復習學案訓練課件北師大版理科: 課時分層訓練43 垂直關系 理 北師大版

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1、 課時分層訓練(四十三) 垂直關系 A組 基礎達標 一、選擇題 1.設α,β為兩個不同的平面,直線lα,則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 A [依題意,由l⊥β,lα可以推出α⊥β;反過來,由α⊥β,lα不能推出l⊥β.因此,“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要條件,故選A.] 2.(20xx·中原名校聯(lián)盟4月聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線,α和β是兩個不重合的平面,下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是(  ) A.α⊥β且mα     B.α⊥β且m∥α C.m∥

2、n且n⊥β D.m⊥n且n∥β C [對于選項A,α⊥β且mα,可得m∥β或m與β相交或mβ,故A不成立;對于選項B,α⊥β且m∥α,可得mβ或m∥β或m與β相交,故B不成立;對于選項C,m∥n且n⊥β,則m⊥β,故C正確;對于選項D,由m⊥n且n∥β,可得m∥β或m與β相交或mβ,故D不成立,故選C.] 3.設a,b是夾角為30°的異面直線,則滿足條件“aα,bβ,且α⊥β”的平面α,β(  ) A.不存在 B.有且只有一對 C.有且只有兩對 D.有無數(shù)對 D [過直線a的平面α有無數(shù)個,當平面α與直線b平行時,兩直線的公垂線與b確定的平面β⊥α,當平面α與b相交時,過交

3、點作平面α的垂線與b確定的平面β⊥α.故選D.] 4.(20xx·全國卷Ⅲ)在正方體ABCD­A1B1C1D1中,E為棱CD的中點,則(  ) A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC C [ 如圖,∵A1E在平面ABCD上的投影為AE,而AE不與AC,BD垂直,∴B,D錯; ∵A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C,且B1C⊥BC1, ∴A1E⊥BC1,故C正確; (證明:由條件易知,BC1⊥B1C,BC1⊥CE,又CE∩B1C=C, ∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1,∴A1E⊥BC1)

4、∵A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E,而D1E不與DC1垂直,故A錯. 故選C.] 5.(20xx·河北唐山一模)如圖7­4­10,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD的中點,G是EF的中點,現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形,使B、C、D三點重合,重合后的點記為H,那么,在這個空間圖形中必有(  ) 【導學號:79140236】 圖7­4­10 A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFH C.HF⊥平面AEF D.HG⊥平面AEF B [根據(jù)折疊前、后AH⊥HE,AH⊥HF不變, ∴AH⊥平面

5、EFH,B正確; ∵過A只有一條直線與平面EFH垂直,∴A不正確; ∵AG⊥EF,EF⊥GH,AG∩GH=G,∴EF⊥平面HAG,又EF平面AEF,∴平面HAG⊥AEF,過H作直線垂直于平面AEF,一定在平面HAG內(nèi),∴C不正確; 由條件證不出HG⊥平面AEF,∴D不正確.故選B.] 二、填空題 6.如圖7­4­11,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,則在△ABC,△PAC的邊所在的直線中,與PC垂直的直線是________;與AP垂直的直線是________. 圖7­4­11 AB,BC,AC;AB [∵PC⊥平面ABC,

6、 ∴PC垂直于直線AB,BC,AC. ∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C, ∴AB⊥平面PAC, ∴AB⊥AP,故與AP垂直的直線是AB.] 7.如圖7­4­12所示,在四棱錐P­ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點,當點M滿足________時,平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可) 圖7­4­12 DM⊥PC(或BM⊥PC) [連接AC,BD,則AC⊥BD,∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD. 又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC. ∴當DM⊥

7、PC(或BM⊥PC)時,即有PC⊥平面MBD. 而PC平面PCD, ∴平面MBD⊥平面PCD.] 8.(20xx·全國卷Ⅱ)α,β是兩個平面,m,n是兩條直線,有下列四個命題: ①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β. ②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n. ③如果α∥β,mα,那么m∥β. ④如果m∥n,α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等. 其中正確的命題有________.(填寫所有正確命題的編號) 【導學號:79140237】 ②③④ [對于①,α,β可以平行,也可以相交但不垂直,故錯誤. 對于②,由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線lα,n∥l,又

8、m⊥α,所以m⊥l,所以m⊥n,故正確. 對于③,因為α∥β,所以α,β沒有公共點.又mα,所以m,β沒有公共點,由線面平行的定義可知m∥β,故正確. 對于④,因為m∥n,所以m與α所成的角和n與α所成的角相等.因為α∥β,所以n與α所成的角和n與β所成的角相等,所以m與α所成的角和n與β所成的角相等,故正確.] 三、解答題 9.(20xx·北京高考)如圖7­4­13,在三棱錐P­ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點,E為線段PC上一點. 圖7­4­13 (1)求證:P

9、A⊥BD; (2)求證:平面BDE⊥平面PAC; (3)當PA∥平面BDE時,求三棱錐E­BCD的體積. [解] (1)證明:因為PA⊥AB,PA⊥BC,所以PA⊥平面ABC. 又因為BD平面ABC,所以PA⊥BD. (2)證明:因為AB=BC,D為AC的中點,所以BD⊥AC. 由(1)知,PA⊥BD, 所以BD⊥平面PAC, 所以平面BDE⊥平面PAC. (3)因為PA∥平面BDE,平面PAC∩平面BDE=DE,所以PA∥DE. 因為D為AC的中點,所以DE=PA=1,BD=DC=. 由(1)知,PA⊥平面ABC,所以DE⊥平面ABC, 所以三棱錐E

10、3;BCD的體積V=BD·DC·DE=.] 10.(20xx·江蘇高考)如圖7­4­14,在三棱錐A­BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點E,F(xiàn)(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 圖7­4­14 求證:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC. [證明] (1)在平面ABD內(nèi),因為AB⊥AD,EF⊥AD, 所以EF∥AB. 又因為EF平面ABC,AB平面ABC, 所以EF∥平面ABC. (2)因為平面ABD⊥平面BCD, 平面ABD∩平面BCD

11、=BD, BC平面BCD,BC⊥BD, 所以BC⊥平面ABD. 因為AD平面ABD,所以BC⊥AD. 又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB平面ABC,BC平面ABC, 所以AD⊥平面ABC. 又因為AC平面ABC, 所以AD⊥AC. B組 能力提升 11.(20xx·貴州貴陽二模)如圖7­4­15,在正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別是BC,CD的中點,沿AE,AF,EF把正方形折成一個四面體,使B,C,D三點重合,重合后的點記為P,P點在△AEF內(nèi)的射影為O,則下列說法正確的是(  ) 圖7­4­15 A.O是△AEF的垂心

12、 B.O是△AEF的內(nèi)心 C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心 A [由題意可知PA,PE,PF兩兩垂直, 所以PA⊥平面PEF,從而PA⊥EF, 而PO⊥平面AEF,則PO⊥EF,因為PO∩PA=P, 所以EF⊥平面PAO, 所以EF⊥AO,同理可知AE⊥FO,AF⊥EO, 所以O為△AEF的垂心.] 12.如圖7­4­16,在三棱柱ABC­A1B1C1中,側棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點,點F在線段AA1上,當AF=________時,CF⊥平面B1DF.

13、 圖7­4­16 a或2a [∵B1D⊥平面A1ACC1,∴CF⊥B1D. 為了使CF⊥平面B1DF,只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F). 設AF=x,則CD2=DF2+FC2, ∴x2-3ax+2a2=0,∴x=a或x=2a.] 13. (20xx·四川高考)如圖7­4­17,在四棱錐P­ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD. 圖7­4­17 (1)在平面PAD內(nèi)找一點M,使得直線CM∥平面PAB,并說明理由; (2)證明:平面PAB

14、⊥平面PBD. 【導學號:79140238】 [解] (1)取棱AD的中點M(M∈平面PAD),點M即為所求的一個點. 理由如下:連接CM, 因為AD∥BC,BC=AD, 所以BC∥AM,且BC=AM. 所以四邊形AMCB是平行四邊形, 所以CM∥AB. 又AB平面PAB,CM平面PAB, 所以CM∥平面PAB. (說明:取棱PD的中點N,則所找的點可以是直線MN上任意一點) (2)證明:由已知,PA⊥AB,PA⊥CD, 因為AD∥BC,BC=AD,所以直線AB與CD相交, 所以PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD. 因為AD∥BC,BC=AD,M為AD的中點,連接BM, 所以BC∥MD,且BC=MD, 所以四邊形BCDM是平行四邊形, 所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB. 又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB. 又BD平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.

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