《高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科: 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第10節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算學(xué)案 文 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科: 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第10節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算學(xué)案 文 北師大版(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第十節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算
[考綱傳真] 1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.2.通過函數(shù)圖像直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=C(C為常數(shù)),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的導(dǎo)數(shù).4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(對應(yīng)學(xué)生用書第30頁)
[基礎(chǔ)知識填充]
1.導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念
(1)當(dāng)x1趨于x0,即Δx趨于0時,如果平均變化率趨于一個固定的值,那么這個值就是函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)的瞬時變化率.在數(shù)學(xué)中,稱瞬時變化率為函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),通常用符號f′(x0)表示,記作f′(x0)= = .
2、
(2)如果一個函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上的每一點(diǎn)x處都有導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)值記為f′(x):f′(x)= ,則f′(x)是關(guān)于x的函數(shù),稱f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),通常也簡稱為導(dǎo)數(shù).
2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率.相應(yīng)地,切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
基本初等函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
y=c(c為常數(shù))
y′=0
y=xα(α∈常數(shù))
y′=αxα-1
y=sin x
y′=cos_x
y=cos x
y′=-sin_x
3、y=ex
y′=ex
y=ax(a>0,a≠1)
y′=axln_a
y=ln x
y′=
y=logax(a>0,a≠1)
y′=
y=tan x
y′=
y=cot x
y′=-
4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
若f′(x),g′(x)存在,則有
(1)[f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x);
(2)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)′=(g(x)≠0).
[知識拓展]
1.曲線y=f(x)“在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線”與“過點(diǎn)P(x0,y0)的切線”的區(qū)別:前者P(x0,y0)為切點(diǎn),而后者P(x0,y0)不一
4、定為切點(diǎn).
2.直線與二次曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)相切只有一個公共點(diǎn);直線與非二次曲線相切,公共點(diǎn)不一定只有一個.
[基本能力自測]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“”)
(1)f′(x0)與(f(x0))′表示的意義相同.( )
(2)求f′(x0)時,可先求f(x0)再求f′(x0).( )
(3)曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點(diǎn).( )
(4)若f(a)=a3+2ax-x2,則f′(a)=3a2+2x.( )
[答案] (1) (2) (3)√ (4)√
2.(教材改編)有一機(jī)器人的運(yùn)動方程為s(t)=t2+
5、(t是時間,s是位移),則該機(jī)器人在時刻t=2時的瞬時速度為( )
A. B.
C. D.
D [由題意知,機(jī)器人的速度方程為v(t)=s′(t)=2t-,故當(dāng)t=2時,機(jī)器人的瞬時速度為v(2)=22-=.]
3.(20xx天津高考)已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f′(0)的值為________.
3 [因為f(x)=(2x+1)ex,
所以f′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,
所以f′(0)=3e0=3.]
4.(20xx全國卷Ⅰ)曲線y=x2+在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為__
6、______.
x-y+1=0 [∵y′=2x-,∴y′|x=1=1,
即曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率k=1,
∴切線方程為y-2=x-1,
即x-y+1=0.]
5.(20xx全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖像在點(diǎn)(1,f(1))處的切線過點(diǎn)(2,7),則a=________.
1 [∵f′(x)=3ax2+1,∴f′(1)=3a+1.
又f(1)=a+2,
∴切線方程為y-(a+2)=(3a+1)(x-1).
∵切線過點(diǎn)(2,7),∴7-(a+2)=3a+1,
解得a=1.]
(對應(yīng)學(xué)生用書第31頁)
導(dǎo)數(shù)的計算
求下
7、列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)y=exln x;
(2)y=x;
(3)y=x-sincos;
(4)y=. 【導(dǎo)學(xué)號:00090059】
[解] (1)y′=(ex)′ln x+ex(ln x)′=exln x+ex=ex.
(2)∵y=x3+1+,∴y′=3x2-.
(3)∵y=x-sin x,∴y′=1-cos x.
(4)y′=′=
=-.
[規(guī)律方法] 1.熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則是導(dǎo)數(shù)計算的前提,求導(dǎo)之前,應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進(jìn)行化簡,然后求導(dǎo),這樣可以減少運(yùn)算量提高運(yùn)算速度,減少差錯.
2.如函數(shù)
8、為根式形式,可先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,再求導(dǎo).
[變式訓(xùn)練1] (1)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且滿足f(x)=3x2+2xf′(2),則f′(5)=( )
A.2 B.4
C.6 D.8
(2)(20xx天津高考)已知函數(shù)f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a為實(shí)數(shù),f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).若f′(1)=3,則a的值為________.
(1)C (2)3 [(1)f′(x)=6x+2f′(2),
令x=2,得f′(2)=-12.
再令x=5,得f′(5)=65+2f′(2)=30-24=6.
(2)f′(x)=a=a(1+ln x)
9、.
由于f′(1)=a(1+ln 1)=a,又f′(1)=3,所以a=3.]
導(dǎo)數(shù)的幾何意義
角度1 求切線方程
已知曲線y=x3+.
(1)求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程;
(2)求曲線過點(diǎn)P(2,4)的切線方程.
[思路點(diǎn)撥] (1)點(diǎn)P(2,4)是切點(diǎn),先利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率,再利用點(diǎn)斜式寫出切線方程;
(2)點(diǎn)P(2,4)不一定是切點(diǎn),先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,由此求出切線方程,再把點(diǎn)P(2,4)代入切線方程求x0.
[解] (1)根據(jù)已知得點(diǎn)P(2,4)是切點(diǎn)且y′=x2,
∴在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率為y′=4,
∴曲線在點(diǎn)P(
10、2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2),
即4x-y-4=0.
(2)設(shè)曲線y=x3+與過點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)A,
則切線的斜率為y′=x,
∴切線方程為y-=x(x-x0),
即y=xx-x+.
∵點(diǎn)P(2,4)在切線上,
∴4=2x-x+,
即x-3x+4=0,
∴x+x-4x+4=0,
∴x(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求的切線方程為x-y+2=0或4x-y-4=0.
角度2 求切點(diǎn)坐標(biāo)
若曲線y=xln x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2
11、x-y+1=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________.
(e,e) [由題意得y′=ln x+x=1+ln x,直線2x-y+1=0的斜率為2.設(shè)P(m,n),則1+ln m=2,解得m=e,所以n=eln e=e,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(e,e).]
角度3 求參數(shù)的值
(1)已知直線y=x+b與曲線y=-x+ln x相切,則b的值為( )
A.2 B.-1
C.- D.1
(2)(20xx西寧復(fù)習(xí)檢測(一))已知曲線y=在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線ax+y+1=0垂直,則a=( )
A.-2 B.2
C.- D.
(1)B (2)A [
12、(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),
y′=-+,
則y′|x=x0=-+,由-+=得x0=1,切點(diǎn)坐標(biāo)為,又切點(diǎn)在直線y=x+b上,故-=+b,得b=-1.
(2)由y′=得曲線在點(diǎn)(3,2)處的切線斜率為-,又切線與直線ax+y+1=0垂直,則a=-2,故選A.]
[規(guī)律方法] 1.導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義就是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線的斜率,切點(diǎn)既在曲線上,又在切線上,切線有可能和曲線還有其他的公共點(diǎn).
2.曲線在點(diǎn)P處的切線是以點(diǎn)P為切點(diǎn),曲線過點(diǎn)P的切線則點(diǎn)P不一定是切點(diǎn),此時應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo).
易錯警示:當(dāng)曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線垂直于x軸時,函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在,切線方程是x=x0.