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高考數(shù)學 一輪復習學案訓練課件北師大版文科: 第6章 不等式、推理與證明 第4節(jié) 歸納與類比學案 文 北師大版

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1、 第四節(jié) 歸納與類比 [考綱傳真] 1.了解合情推理的含義,能進行簡單的歸納推理和類比推理,體會合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用.2.了解演繹推理的含義,了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和差異;掌握演繹推理的“三段論”,能運用“三段論”進行一些簡單的演繹推理. (對應學生用書第87頁) [基礎知識填充] 1.歸納推理:根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性,推斷該類事物中每一個都有這種屬性.我們將這種推理方式稱為歸納推理.簡言之,歸納推理是由部分到整體,由個別到一般的推理. 2.類比推理:由于兩類不同對象具有某些類似的特征,在此基礎上,根據(jù)一類對象的其他特征,推斷另一類對象也具有類似

2、的其他特征,我們把這種推理過程稱為類比推理.簡言之,類比推理是由特殊到特殊的推理. 3.歸納推理和類比推理是最常見的合情推理,合情推理的結(jié)果不一定正確. 4.演繹推理 (1)定義:從一般性的原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結(jié)論,我們把這種推理稱為演繹推理.簡言之,演繹推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段論”是演繹推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情況; ③結(jié)論——根據(jù)一般原理,對特殊情況做出的判斷. [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“”) (1)歸納推理與類比推理都是由

3、特殊到一般的推理.(  ) (2)在類比時,平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.(  ) (3)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù),某數(shù)m是3的倍數(shù),則m一定是9的倍數(shù)”,這是三段論推理,但其結(jié)論是錯誤的.(  ) (4)在演繹推理中,只要符合演繹推理的形式,結(jié)論就一定正確.(  ) [答案] (1) (2) (3)√ (4) 2.由“半徑為R的圓內(nèi)接矩形中,正方形的面積最大”,推出“半徑為R的球的內(nèi)接長方體中,正方體的體積最大”是(  ) A.歸納推理 B.類比推理 C.演繹推理 D.以上都不是 B [類比推理的一般步驟是:(1)找出兩類事物之間的相

4、似性或一致性.(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì),得出一個明確的命題(猜想).所以,由“半徑為R的圓內(nèi)接矩形中,正方形的面積最大”,推理出“半徑為R的球的內(nèi)接長方體中,正方體的體積最大”是類比推理,選B.] 3.(教材改編)已知數(shù)列{an}中,a1=1,n≥2時,an=an-1+2n-1,依次計算a2,a3,a4后,猜想an的表達式是(  ) A.a(chǎn)n=3n-1 B.a(chǎn)n=4n-3 C.a(chǎn)n=n2 D.a(chǎn)n=3n-1 C [a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n2.] 4.“因為指數(shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù)(大前提),而y=x是指數(shù)函數(shù)(小前提),所以函數(shù)

5、y=x是增函數(shù)(結(jié)論)”,上面推理的錯誤在于(  ) A.大前提錯誤導致結(jié)論錯誤 B.小前提錯誤導致結(jié)論錯誤 C.推理形式錯誤導致結(jié)論錯誤 D.大前提和小前提錯誤導致結(jié)論錯誤 A [“指數(shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù)”是本推理的大前提,它是錯誤的.因為實數(shù)a的取值范圍沒有確定,所以導致結(jié)論是錯誤的.] 5.(20xx開封模擬)甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A,B,C三個城市時, 甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過B城市; 乙說:我沒去過C城市; 丙說:我們?nèi)巳ミ^同一城市. 由此可判斷乙去過的城市為________. 【導學號:00090211】 A [由題

6、意可推斷:甲沒去過B城市,但比乙去的城市多,而丙說“三人去過同一城市”,說明甲去過A,C城市,而乙“沒去過C城市”,說明乙去過城市A,由此可知,乙去過的城市為A.] (對應學生用書第88頁) 歸納推理  (1)數(shù)列,,,,,,…,,,…,,…的第20項是(  ) A.     B.     C.     D. (2)(20xx山東高考)觀察下列等式: -2+-2=12; -2+-2+-2+-2=23; -2+-2+-2+…+-2=34;-2+-2+-2+…+-2=45; …… 照此規(guī)律, -2+-2+-2+…+-2=________. (1

7、)C (2)n(n+1) [(1)數(shù)列在數(shù)列中是第1+2+3+…+m=項,當m=5時,即是數(shù)列中第15項,則第20項是,故選C. (2)通過觀察已給出等式的特點,可知等式右邊的是個固定數(shù),后面第一個數(shù)是等式左邊最后一個數(shù)括號內(nèi)角度值分子中π的系數(shù)的一半,后面第二個數(shù)是第一個數(shù)的下一個自然數(shù),所以,所求結(jié)果為n(n+1),即n(n+1).] [規(guī)律方法] 1.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類: (1)數(shù)的歸納包括數(shù)字歸納和式子歸納,解決此類問題時,需要細心觀察,尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系,同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識,如等差數(shù)列、等比數(shù)列等; (2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目

8、歸納和圖形變化規(guī)律歸納,合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論,并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡裕? 2.歸納推理的一般步驟: (1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì); (2)從相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題. [變式訓練1] (1)已知x∈(0,+∞),觀察下列各式:x+≥2,x+=++≥3,x+=+++≥4,…,類比得x+≥n+1(n∈N*),則a=__________. 【導學號:00090212】 (2)下面圖形由小正方形組成,請觀察圖641(1)至圖(4)的規(guī)律,并依此規(guī)律,寫出第n個圖形中小正方形的個數(shù)是__________. 圖641 (1)nn(n∈N*)

9、 (2)(n∈N*) [(1)第一個式子是n=1的情況,此時a=11=1;第二個式子是n=2的情況,此時a=22=4;第三個式子是n=3的情況,此時a=33=27,歸納可知a=nn. (2)由題圖知第n個圖形的小正方形個數(shù)為1+2+3+…+n.所以總個數(shù)為(n∈N*).] 類比推理  (1)(20xx陜西師大附中模擬)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列,類比這一性質(zhì)可知,若正項數(shù)列{cn}是等比數(shù)列,且{dn}也是等比數(shù)列,則dn的表達式應為(  ) A.dn=    B.dn= C.dn= D.dn= (2)在平面幾何中,△ABC的∠C的平分線CE分

10、AB所成線段的比為=.把這個結(jié)論類比到空間:在三棱錐ABCD中(如圖642),平面DEC平分二面角ACDB且與AB相交于E,則得到類比的結(jié)論是________________. 圖642 (1)D (2)= [(1)法一:從商類比開方,從和類比到積,則算術(shù)平均數(shù)可以類比幾何平均數(shù),故dn的表達式為dn=. 法二:若{an}是等差數(shù)列,則a1+a2+…+an=na1+d, ∴bn=a1+d=n+a1-,即{bn}為等差數(shù)列;若{cn}是等比數(shù)列,則c1c2…cn=cq1+2+…+(n-1)=cq,∴dn==c1q,即{dn}為等比數(shù)列,故選D. (2)由平面中線段的比轉(zhuǎn)化為

11、空間中面積的比可得=.] [規(guī)律方法] 1.進行類比推理,應從具體問題出發(fā),通過觀察、分析、聯(lián)想進行對比,提出猜想,其中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵. 2.類比推理常見的情形有:平面與空間類比;低維與高維類比;等差數(shù)列與等比數(shù)列類比;運算類比(和與積、乘與乘方,差與除,除與開方).數(shù)的運算與向量運算類比;圓錐曲線間的類比等. [變式訓練2] (20xx江淮十校聯(lián)考)我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有:“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程,比如在中“…”即代表無限次重復,但原式卻是個定值x,這可以通過方程=x確

12、定出來x=2,類似地不難得到1+=(  ) 【導學號:00090213】 A. B. C. D. C [1+=x,即1+=x,即x2-x-1=0,解得x=,故1+=,故選C.] 演繹推理  數(shù)列{an}的前n項和記為Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n∈N*).證明: (1)數(shù)列是等比數(shù)列; (2)Sn+1=4an. [證明] (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn, ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn. 2分 ∴=2,又=1≠0,(小前提) 故是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列.(結(jié)論) (大前

13、提是等比數(shù)列的定義,這里省略了) 5分 (2)由(1)可知=4(n≥2), ∴Sn+1=4(n+1)=4Sn-1 =4an(n≥2),(小前提) 8分 又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴對于任意正整數(shù)n,都有Sn+1=4an.(結(jié)論) (第(2)問的大前提是第(1)問的結(jié)論以及題中的已知條件) 12分 [規(guī)律方法] 演繹推理的一般模式為三段論,三段論推理的依據(jù)是:如果集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性質(zhì)P.應用三段論解決問題時,首先應該明確什么是大前提,小前提,然后再找結(jié)論. [變式訓練3]

14、 (20xx全國卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績.看后甲對大家說:我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息,則(  ) A.乙可以知道四人的成績 B.丁可以知道四人的成績 C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績 D [由甲說:“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個優(yōu)秀、1個良好”.乙看丙的成績,結(jié)合甲的說法,丙為“優(yōu)秀”時,乙為“良好”;丙為“良好”時,乙為“優(yōu)秀”,可得乙可以知道自己的成績.丁看甲的成績,結(jié)合甲的說法,甲為“優(yōu)秀”時,丁為“良好”;甲為“良好”時,丁為“優(yōu)秀”,可得丁可以知道自己的成績. 故選D.]

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