《萬(wàn)變不離其宗:高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修一:專題二 函數(shù)的概念與函數(shù)的表示 Word版含解析》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《萬(wàn)變不離其宗:高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修一:專題二 函數(shù)的概念與函數(shù)的表示 Word版含解析(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
一、題之源:課本基礎(chǔ)知識(shí)
1.函數(shù)概念
設(shè)A,B是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域.
2.區(qū)間的概念
設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),而且a<b.我們規(guī)定:
(1)滿足不等式的實(shí)數(shù)的集合叫做閉區(qū)間,表示為;
(2)滿足不等式的實(shí)數(shù)的集合叫做開(kāi)區(qū)間,表示為(a,b);
(3)滿足不等式或的實(shí)數(shù)的集
2、合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間,分別表示為.
這里的實(shí)數(shù)a,b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn).這些區(qū)間的幾何表示如下表:
定義
名稱
符號(hào)
數(shù)軸表示
{x|a≤x≤b}
閉區(qū)間
{x|a<x<b}
開(kāi)區(qū)間
(a,b)
{x|a≤x<b}
半閉半開(kāi)
區(qū)間
[a,b)
{x|a<x≤b}
半開(kāi)半閉
區(qū)間
(a,b]
實(shí)數(shù)集可用區(qū)間表示為,我們把滿足,,,的實(shí)數(shù)的集合分別表示為,,,.“¥” 讀作“無(wú)窮大”,“-¥” 讀作“負(fù)無(wú)窮大”,“+¥” 讀作“正無(wú)窮大”
3、.
3.函數(shù)的定義域
當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時(shí),求函數(shù)的定義域就是求使解析式有意義的自變量的取值集合,求函數(shù)的定義域的原則:(解決任何函數(shù)問(wèn)題,必須要考慮其定義域)
①分式的分母不為零;
②偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于或等于零;
③對(duì)數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1;
④對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0;
⑤指數(shù)為0的底不能為零;,則
⑥如果函數(shù)有實(shí)際背景,那么除符合上述要求外,還要符合實(shí)際情況.
⑦當(dāng)一個(gè)函數(shù)由兩個(gè)或兩個(gè)以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí),定義域是使得各式子都有意義的公共部分的集合.
4. 函數(shù)相等
構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的,所以
4、,如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個(gè)函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù))。
5. 函數(shù)的表示方法
表示函數(shù)的常用的方法有解析法、圖象法、列表法.
(1)解析法:把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系用一個(gè)等式來(lái)表示,這個(gè)等式叫函數(shù)的解析表達(dá)式,簡(jiǎn)稱解析式.
(2)圖象法:用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
(3)列表法:列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
6.分段函數(shù):在定義域的不同部分,有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)。如
二、題之本:思想方法技巧
1.在映射f:A→B中滿足兩允許,兩不允許:允許B中有剩余元素,不允許中有剩余元素A;允許多對(duì)一,不允許一對(duì)多.函數(shù)是一個(gè)非空數(shù)集到另一個(gè)非空
5、數(shù)集上的映射.
例:已知函數(shù)f(x),x∈F,那么集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的個(gè)數(shù)是.( )
A.0 B.1 C.0或1 D.1或2
分析:這里首先要識(shí)別集合語(yǔ)言,并能正確把集合語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成熟悉的語(yǔ)言.從函數(shù)觀點(diǎn)看,問(wèn)題是求函數(shù)y=f(x),x∈F的圖象與直線x=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(這是一次數(shù)到形的轉(zhuǎn)化),不少學(xué)生常誤認(rèn)為交點(diǎn)是1個(gè),并說(shuō)這是根據(jù)函數(shù)定義中“惟一確定”的規(guī)定得到的,這是不正確的,因?yàn)楹瘮?shù)是由定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則三要素組成的.這里給出了函數(shù)y=f(x)的定義域是F,但未明確給出1與F的關(guān)系,當(dāng)1
6、∈F時(shí)有1個(gè)交點(diǎn),當(dāng)1 F時(shí)沒(méi)有交點(diǎn),所以選C.
2.討論函數(shù)是否為同一函數(shù)問(wèn)題時(shí),要保持定義域優(yōu)先的原則,判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同,要先求定義域,若定義域不同,則不相等;若定義域相同,再化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,看對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同.兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān).如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同雖然表示自變量的與函數(shù)的字母不相同,則仍是同一函數(shù),如如與是同一函數(shù).
3.提醒:在高中階段求定義域、值域及解不等式,結(jié)果都要用集合表示。
4.求函數(shù)解析式的主要方法
待定系數(shù)法、換元法、方程(組)法等.如果已知函數(shù)解析式的類型,可用待定系數(shù)法
7、;若已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的表達(dá)式時(shí),可用換元法;若已知抽象函數(shù)的表達(dá)式時(shí),常用解方程(組)法.
5.分離常數(shù)法是對(duì)分式形式的式子進(jìn)行恒等變換的一種基本方法,在研究分式形式的函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)列時(shí)常用到這種方法:如求y=的值域.
解:y===1-,∵x2+1≥1,∴0<≤1,∴0≤1-<1,即y=的值域?yàn)? 其中表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù). 若關(guān)于x 的方程f(x)=kx+k有三個(gè)不同的實(shí)根, 則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .
【答案】B.
【解析】畫出f(x)的圖象(如右圖), 與過(guò)定點(diǎn)(-1, 0)的直線y=kx+k=k(x+1) 有三個(gè)不同的公共點(diǎn), 利用
8、數(shù)形結(jié)合的辦法, 可求得直線斜率k的取值范圍為. 故選B.
改編3 對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,符號(hào)表示x的整數(shù)部分,即是不超過(guò)x的最大整數(shù).這個(gè)函數(shù)叫做“取整函數(shù)”,它在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用.那么,
(1)++++……+=
(2)設(shè),則的值域?yàn)?
【答案】8204;
改編4 函數(shù)的值域?yàn)? .
【答案】
【解析】 當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),;∴值域?yàn)?故答案:.
3.原題(必修1第四十四頁(yè)復(fù)習(xí)參考題A組第八題)設(shè),求證:(1);(2).
改編1 設(shè)定在R上的函
9、數(shù)滿足:,則
.
【答案】0.
【解析】由.得 .由所求式子特征考查:..故答案0.
改編2 函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件,若則__________.
【答案】.
改編3 若奇函數(shù)滿足,則
【答案】
【解析】由已知,令,則
,又∵是奇函數(shù),所以,∴,∴,故答案.
改編4 函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù),是一個(gè)奇函數(shù),且,則等于( )
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】由題知 ①
以代,①式得,即 ②
+②得,故答案:A.
4.原題(必修1第四十五頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第四題)已知函數(shù)求,,的值.
改
10、編1 已知函數(shù),關(guān)于的方程有四個(gè)不同的根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )A. B. C. D.
【答案】A.
改編2 設(shè)則__________
【答案】.
【解析】.故答案.
改編3 已知是上的減函數(shù),那么的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】分段函數(shù)的單調(diào)性需分段處理.故答案選C.
改編4 設(shè)函數(shù)f(x)= 則使得f(x)≥1的自變量x的取值范圍為( )
A.(-∞,-2]∪[0,10] B.(-∞,-2]∪[0,1]
C.(-∞,
11、-2]∪[1,10] D.[-2,0]∪[1,10]
【答案】A.
5.原題(必修1第四十五頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第七題)《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅》規(guī)定,公民全月工資、薪金所得不超過(guò)2000元的部分不必納稅,超過(guò)2000元的部分為全月應(yīng)納稅所得額.此項(xiàng)稅款按下表分段累計(jì)計(jì)算:
某人一月份應(yīng)交納此項(xiàng)稅款為26.78元,那么他當(dāng)月的工資、薪金所得是多少?
改編1 2011年4月 25日,全國(guó)人大常委會(huì)公布《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法修正案(草案)》,向社會(huì)公開(kāi)征集意見(jiàn).草案規(guī)定,公民全月工薪不超過(guò)3000元的部分不必納稅,超過(guò)3000元的部分為全月應(yīng)納稅所得額.此項(xiàng)稅款按下表分
12、段累進(jìn)計(jì)算.
級(jí) 數(shù)
全月應(yīng)納稅所得額
稅 率
1
不超過(guò) 1500元的部分
5%
2
超過(guò) 1500元至4500元的部分
10%
3
超過(guò) 4500元至9000元的部分
20%
依據(jù)草案規(guī)定,解答下列問(wèn)題:(1)李工程師的月工薪為8000元,則他每月應(yīng)當(dāng)納稅多少元?(2)若某納稅人的月工薪不超過(guò)10000元,他每月的納稅金額能超過(guò)月工薪的8%嗎?若能,請(qǐng)給出該納稅人的月工薪范圍;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
答:若該納稅人月工薪大于9375元且不超過(guò)10000元時(shí),他的納稅金額能超過(guò)月工薪的8%.
改編2某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個(gè)時(shí)間段
13、進(jìn)行分時(shí)計(jì)價(jià),該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價(jià)表如下:
高峰時(shí)間段用電價(jià)格表
低谷時(shí)間段用電價(jià)格表
高峰月用電量
(單位:千瓦時(shí))
高峰電價(jià)
(單位:元/千瓦時(shí))
低谷月用電量(單位:千瓦時(shí))
低谷電價(jià)(單位:元/千瓦時(shí))
50及以下部分
0.568
50及以下部分
0.288
超過(guò)50至200的部分
0.598
超過(guò)50至200的部分
0.318
超過(guò)200的部分
0.668
超過(guò)200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰時(shí)間段用電量為200千瓦時(shí),低谷時(shí)間段用電量為100千瓦時(shí),則按這種計(jì)費(fèi)方式該家庭本月應(yīng)付電費(fèi)為 元(用數(shù)字作答).
【答案】148.4
【解析】高峰時(shí)段電費(fèi)a=50×0.568+(200-50)×0.598=118.1(元);低谷時(shí)段電費(fèi)b=50×0.288+(100-50)×0.318=30.3(元).故該家庭本月應(yīng)付的電費(fèi)為a+b=148.4(元).故填148.4.