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【備戰(zhàn)】湖北版高考數學分項匯編 專題03 導數含解析

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1、專題3 導數 一.選擇題 1. 【2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷11】在函數的圖象上,其切線的傾斜角小 于的點中,坐標為整數的點的個數是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 2.【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷10】已知函數有兩個極值點,則實數的取值范圍是( ) A. B. C. D. 二.填空題 1.【2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷15】半徑為r的圓的面積S(r)=r2,周長C(r)=2r,若將r看作(0,+∞)上的變量,則(r2)`=2r , 式可以用語言敘

2、述為:圓的面積函數的導數等于圓的周長函數. 對于半徑為R的球,若將R看作(0,+∞)上的變量,請你寫出類似于 ②的式子: . 式可以用語言敘述為: . 2.【2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷13】已知函數的圖象在M(1,f(1))處的切線方程是+2, . 三.解答題 1.【2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷17】已知向量在區(qū)間(-1,1)上是增函數,求t的取值范圍. 【解析】依題意 若函數在上是增函數,則在上

3、, 所以在恒成立,設, 由于的圖象是對稱軸為直線且開口向上的拋物線, 故要使在區(qū)間(-1,1)上恒成立 故實數的取值范圍是. 2.【2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】設函數f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1處取得極值-2,試用c表示a和b,并求f(x)的單調區(qū)間. 3. 【2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】某商品每件成本9元,售價30元,每星期賣出432件.如果降低價格。銷售量可以增加,且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低銷x(單位:元,)的平方成正比.已知商品單價降低2元時,一星期多賣出24件. (Ⅰ)將一個星期的商品銷售利潤表示成

4、x的函數; (Ⅱ)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大? 【解析】(Ⅰ)設商品降價元,則多賣的商品數為,若記商品在一個星期的獲利為, 則依題意有, 又由已知條件,,于是有, 所以. (Ⅱ)根據(Ⅰ),我們有. 2 12 0 0 極小 極大 故時,達到極大值.因為,,所以定價為元能使一個星期的商品銷售利潤最大. 4. 【2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷17】已知函數(為常數,且)有極大值9. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若斜率為-5的直線是曲線的切線,求此直線方程. 【解析】(Ⅰ) f’(x)=3x2+2

5、mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,則x=-m或x=m, 當x變化時,f’(x)與f(x)的變化情況如下表: x (-∞,-m) -m (-m,) (,+∞) f’(x) + 0 - 0 + f (x) 極大值 極小值 從而可知,當x=-m時,函數f(x)取得極大值9, 即f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,∴m=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x3+2x2-4x+1, 依題意知f’(x)=3x2+4x-4=-5,∴x=-1或x=-. 又f(-1)=6,f(-)=, 所以切線方程為y-6=-5(x+1),或y-=-5(

6、x+), 即5x+y-1=0,或135x+27y-23=0. 5. 【2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷22】已知關于x的函數f(x)=+bx2+cx+bc,其導函數為f+(x).令g(x)=∣f+(x) ∣,記函數g(x)在區(qū)間[-1、1]上的最大值為M. (Ⅰ)如果函數f(x)在x=1處有極值-,試確定b、c的值: (Ⅱ)若∣b∣>1,證明對任意的c,都有M>2: (Ⅲ)若M≧K對任意的b、c恒成立,試求k的最大值。 【解析】(I),由在處有極值 可得,解得或 若,則,此時沒有極值; 若,則 當變化時,,的變化情況如下表:

7、 1 0 + 0 極小值 極大值 當時,有極大值,故,即為所求。 (Ⅱ)證法1: 當時,函數的對稱軸位于區(qū)間之外。 在上的最值在兩端點處取得 故應是和中較大的一個 即 證法2(反證法):因為,所以函數的對稱軸位于區(qū)間之外, 在上的最值在兩端點處取得。 故應是和中較大的一個 假設,則 (1)當時,由(Ⅱ)可知; (2)當時,函數的對稱軸位于區(qū)間內, 此時 ,即 下同解法1. 6. 【2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】設函數,其中a>0,曲線在點P(0,)處的切線方程為y=1

8、. (Ⅰ)確定b、c的值; (Ⅱ)設曲線在點()及()處的切線都過點(0,2)證明:當時,; (Ⅲ)若過點(0,2)可作曲線的三條不同切線,求a的取值范圍. 由(1)-(2)得 又 ∴,此時,與矛盾,所以. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,過點(0,2)可作的三條切線,等價于方程有三個相異的實根,即等價于方程有三個相異的實根. 設,則. 令=0得 列表如下: 0 + 0 - 0 + ↗ 極大值1 ↘ 極小值 ↗ 由的單調性知,要使=0有三個相異的實根,當且僅當,即. ∴a的取值范圍是. 7.【2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)

9、一考試湖北卷20】設函數,,其中,、為常數.已知曲線與在點處有相同的切線. (Ⅰ)求、的值,并寫出切線的方程; (Ⅱ)若方程有三個互不相同的實根0、、,其中,且對任意的, 恒成立,求實數的取值范圍. 【解析】(Ⅰ),. 8.【2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷22】設函數,為正整數,a,b為常數. 曲線在 處的切線方程為. (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)求函數的最大值; (Ⅲ)證明:. 【解析】(Ⅰ)因為,由點在上,可得,即. 因為,所以. 9.【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】設,,已知函數. (Ⅰ)當時,討論函數的單調性;

10、 (Ⅱ)當時,稱為、關于的加權平均數. (i)判斷, ,是否成等比數列,并證明; (ii)、的幾何平均數記為G. 稱為、的調和平均數,記為H. 若,求 的取值范圍. 【解析】(1)f(x)的定義域為(-∞,-1)∪(-1,+∞), f′(x)=. 當a>b時,f′(x)>0,函數f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上單調遞增; 當a<b時,f′(x)<0,函數f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上單調遞減. (2)①計算得f(1)=>0,,, 故, 得,即x的取值范圍為. 10.【2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】為圓周率,為自然對數的底數

11、. (1)求函數的單調區(qū)間; (2)求,,,,,這6個數中的最大數與最小數; (3)將,,,,,這6個數按從小到大的順序排列,并證明你的結論. 11. 【2015高考湖北,文21】設函數,的定義域均為,且是奇函數,是偶函數, ,其中e為自然對數的底數. (Ⅰ)求,的解析式,并證明:當時,,; (Ⅱ)設,,證明:當時,. 【答案】(Ⅰ),.證明:當時,,,故 又由基本不等式,有,即 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ⑤⑥ 當時,等價于 ⑦ 等價于 ⑧于是設函數 ,由⑤⑥,有 當時,(1)若,由③④,得,故在上為增函數,從而,即,故⑦成立.(2)若,由③④,得,故在上為減函數,從而,即,故⑧成立.綜合⑦⑧,得 .

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