《萬變不離其宗:高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修一:專題一 集合 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《萬變不離其宗:高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修一:專題一 集合 Word版含解析(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
一、題之源:課本基礎(chǔ)知識
1.集合的含義與表示
一般地,我們把研究對象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體叫做集合。它具有三大特性:確定性、互異性、無序性。集合的表示有列舉法、描述法。描述法格式為:{元素|元素的特征},例如
2.常用數(shù)集及其表示方法
(1)自然數(shù)集N(又稱非負(fù)整數(shù)集):0、1、2、3、……
(2)正整數(shù)集N*或N+ :1、2、3、……
(3)整數(shù)集Z:-2、-1、0、1、……
(4)有理數(shù)集Q:包含分?jǐn)?shù)、整數(shù)、有限小數(shù)等
(5)實數(shù)集R:全體實數(shù)的集合
(6)空集 :不含任何元素的集合
3.元素與集合的關(guān)系:屬于∈,不屬于,例如:a是集合A的元素,就說
2、a屬于A,記作a∈A
4.集合與集合的關(guān)系:子集、真子集、相等
(1)子集的概念
如果集合A中的每一個元素都是集合B中的元素,那么集合A叫做集合B的子集(如圖1),記作或.
若集合P中存在元素不是集合Q的元素,那么P不包含于Q,記作
(2)真子集的概念
若集合A是集合B的子集,且B中至少有一個元素不屬于A,那么集合A叫做集合B的真子集. 記作AB
或BA.
(3)集合相等:若集合A中的元素與集合B中的元素完全相同則稱集合A等于集合B,記作A=B.
5.重要結(jié)論
(1)傳遞性:若,,則,
(2)空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集.
6.含有個元素的集合,它的
3、子集個數(shù)共有 個;真子集有–1個;非空子集有–1個(即不計空集);非空的真子集有–2個.
7、集合的運算:交集、并集、補(bǔ)集
(1)一般地,由所有屬于A又屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作A∩B(讀作"A交B"),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
(2)一般地,對于給定的兩個集合A,B把它們所有的元素并在一起所組成的集合,叫做A,B的并集.記作A∪B(讀作"A并B"),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
(3)若A是全集U的子集,由U中不屬于A的元素構(gòu)成的集合,叫做A在U中的補(bǔ)集,記作,
二、題之本:思想方法技巧
1.對于集合問題,一定要抓住集合的代表元素,要
4、注意區(qū)分集合中元素的形式,你注意區(qū)分下面幾個集合:
①;②;③;④;⑤.
2.集合中的元素具有無序性和互異性。如集合隱含條件,集合不能直接化成.
3.由于空集是任何非空集合的真子集,在解題中如果思維不夠縝密,遇到或A∩B=Φ就有可能忽視的情況,導(dǎo)致解題結(jié)果錯誤。尤其是在解含有參數(shù)的集合問題時,更要注意當(dāng)參數(shù)在某個范圍內(nèi)取值時所給的集合可能是空集這種情況。如:,若 ,求實數(shù)的值.(不要遺忘=0的情況)
4.下面幾個等價關(guān)系在解題中經(jīng)常用到: A∩B=AA∪
B=BAB=。
5.方程組解的集合可看作點集.例: 解的集合為{(2,1)}.
6.數(shù)形結(jié)合是解集合問題時的常用方法
5、,解題時要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具,將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化,然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決.
7.解決數(shù)學(xué)問題的思維過程,一般總是從正面入手,即從已知條件出發(fā),經(jīng)過一系列的推理和運算,最后得到所要求的結(jié)論,但有時會遇到從正面不易入手的情況,這時可從反面去考慮.從反面考慮問題在集合中的運用主要就是運用補(bǔ)集思想.補(bǔ)集思想常運用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。
三、題之變:課本典例改編
1.原題(必修1第七頁練習(xí)第三題(3))判斷下列兩個集合之間的關(guān)系:
A= .
改編 已知集合,集合,則( )
A. B. C. D.
【答案】D
6、.
【解析】, ,故選D .
2.原題(必修1第十二頁習(xí)題1.1 A組第10題)已知集合,,求,,,
改編1 已知全集且則等于( ) A. B. C. D.
【答案】C.
改編2 設(shè)集合,,則等于( )
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】,,所以,故選B .
改編3 已知集合集合則等于 ( )
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】集合,故選D .
3.原題(必修1第十二頁習(xí)題1.1B組第一題)已知
7、集合A={1,2},集合B滿足A∪B={1,2},則這樣的集
合B有 個.
改編1 已知集合A、B滿足A∪B={1,2},則滿足條件的集合A、B有多少對?請一一寫出來.
【答案】有9對;可以是:?,{1,2};{1},{1,2};{1},{2};{2},{1,2};{2},{1};{1,2},{1,2};{1,2},{1};{1,2},{2};{1,2},?.
【解析】∵A∪B={1,2},∴集合A,B可以是:?,{1,2};{1},{1,2};{1},{2};{2},{1,2};{2},{1};{1,2},{1,2};{1,2},{1};{1,2},{2};{1,2
8、},?.則滿足條件的集合A、B有9對.
改編2 已知集合有個元素,則集合的子集個數(shù)有 個,真子集個數(shù)有 個.
【答案】;.
【解析】子集個數(shù)有個,真子集個數(shù)有個.
改編3 滿足條件的所有集合有 個.
【答案】4.
改編4 滿足的集合有 個。
【答案】4
【解析】符合條件的集合A有,共4個.
改編5 已知,若非空集合A滿足,對任意 都有,則這樣的集合有 個。
【答案】7
【解析】符合條件的集合A有,共7個
改編6 已知,若集合A中有4個元素,且對任意 都有,則這樣的集合有 個。
【答案】6
【解析】符合條件的集合A有,共6個
9、。
4.原題(必修1第十三頁閱讀與思考“集合中元素的個數(shù)”)改編 用表示非空集合中的元素個數(shù),定義,若,且
,則由實數(shù)的所有可能取值構(gòu)成的集合= .
【答案】.
【解析】由,而,故.由得.
當(dāng)時,方程只有實根,這時.
當(dāng)時,必有,這時有兩個不相等的實根,方程必有兩個相等的實根,且異于,有∴,可驗證均滿足題意,故.
5.原題(必修1第四十四頁復(fù)習(xí)參考題A組第四題)已知集合A={x|=1},集合B={x|ax=1},若BA,求實數(shù)a的值.
改編 已知集合A={x|x-a=0},B={x|ax-1=0},且A∩B=B,則實數(shù)a等于 .
【答案】1或-1或0.