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1、精編北師大版數(shù)學資料 【成才之路】2015-2016學年高中數(shù)學 第二章 變化率與導數(shù)綜合測試 北師大版選修2-2 時間120分鐘，滿分150分． 一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．曲線y＝ex在點A(0,1)處的切線斜率為(　　) A．1 　　　　　　　　　 B． 2 C．e D． [答案]　A [解析]　根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得，k＝y(tǒng)′|x＝0＝e0＝1. 2．已知使函數(shù)y＝x3＋ax2－a的導數(shù)為0的x值也使y值為0，則常數(shù)a的值為(　　) A．0 B．±3 C．0

2、或±3 D．非以上答案 [答案]　C [解析]　求出使y′＝0的值的集合，再逐一檢驗．y′＝3x2＋2ax.令y′＝0，得x＝0或x＝－A． 由題設x＝0時，y＝0，故－a＝0，則a＝0.且知當x＝2，a＝－3或x＝－2，a＝3時，也成立．故選C． 3．設f(x)為可導函數(shù)，且滿足條件 ＝－1，則曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率為(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 [答案]　B [解析]　因為f(x)為可導函數(shù)，且 ＝－1，所以 ＝－1，所以＝－2，即f′(1)＝－2，所以y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為－2. 4．運

3、動方程為s＝＋2t2，則t＝2的速度為(　　) A．4 B．8 C．10 D．12 [答案]　B [解析]　本題考查導數(shù)的物理意義，求導過程應注意對求導公式和求導法則的靈活應用． ∵s＝＋2t2＝－＋2t2＝t－2－t－1＋2t2， ∴s′＝－2t－3＋t－2＋4t. ∴v＝－2×＋＋4×2＝8，故選B. 5．函數(shù)y＝f(x)的圖象過原點且它的導函數(shù)y＝f′(x)的圖像是如圖所示的一條直線，則y＝f(x)的圖像的頂點在(　　) A．第Ⅰ象限 B．第Ⅱ象限 C．第Ⅲ象限 D．第Ⅳ象限 [答案]　A [解析]　顯然y＝f(x)為二次函數(shù)，設為f(

4、x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則y＝f′(x)＝2ax＋b.由圖像知a<0，b>0.又由已知函數(shù)的圖像過原點，∴c＝0，頂點為(，)，因而y＝f(x)的頂點在第Ⅰ象限． 6．若函數(shù)y＝在x＝x0處的導數(shù)值與函數(shù)值互為相反數(shù)，則x0的值(　　) A．等于0 B．等于1 C．等于 D．不存在 [答案]　C [解析]　y′＝＝， 當x＝x0時，y′＝，y＝.由題意，知y′＋y＝0，即ex0(x0－1)＋ex0·x0＝0， 所以x0＝. 7.(2014·鄒城一中月考，9)已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，則曲線y

5、＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程是(　　) A．y＝2x－1 B．y＝x C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3 [答案]　A [解析]　∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8， ① ∴f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋8(2－x)－8 ＝2f(x)－x2－4x＋4. ② 將②代入①，得 f(x)＝4f(x)－2x2－8x＋8－x2＋8x－8. ∴f(x)＝x2，y′＝2x. ∴y＝f(x)在(1，f(1))處的切線斜率為 y′|x＝1＝2. ∴函數(shù)y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 8.設函數(shù)

6、f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，則導數(shù)f′(1)的取值范圍是(　　) A．[－2,2] B．[，] C．[，2] D．[，2] [答案]　D [解析]　∵f′(x)＝x2sinθ＋xcosθ， ∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋)， ∵θ∈[0，]，∴sin(θ＋)∈[，1]， ∴f′(1)∈[，2]．故選D. 9．若曲線xy＝a(a≠0)，則過曲線上任意一點的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積是(　　) A．2a2 B．a(chǎn)2 C．2|a| D．|a| [答案]　C [解析]　設切點的坐標為(x0，y0)，曲線的方程即為y＝，y′＝－，故

7、切線斜率為－，切線方程為y－＝－(x－x0)．令y＝0得x＝2x0，即切線與x軸的交點坐標為(2x0,0)；令x＝0得y＝，即切線與y軸的交點坐標為.故切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為×|2x0|×＝2|a|. 10．若存在過點(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，則a等于(　　) A．－1或－ B．－1或 C．－或－ D．－或7 [答案]　A [解析]　考查導數(shù)的應用，求曲線的切線方程問題． 設過(1,0)的直線與y＝x3相切于點(x0，x)， 所以切線方程為y－x＝3x(x－x0)， 即y＝3xx－2x，又(1,0)在切線上，

8、 則x0＝0或x0＝. x0＝0時，由y＝0與y＝ax2＋x－9相切得 a＝－ 當x0＝時，由y＝x－與y＝ax2＋x－9相切得a＝－1，所以選A． 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分) 11．已知曲線y＝x3＋，則在點P(2,3)的切線方程是________． [答案]　4x－y－4＝0 [解析]　y′＝x2，當x＝2時，y′＝4. ∴切線的斜率為4. ∴切線的方程為y－3＝4(x－2)， 即4x－y－5＝0. 12．球的半徑從1增加到3時，球的體積平均膨脹率為____________． [答案]　 [解析]　∵Δy＝π×33－π×

9、;13＝， ∴V′＝＝＝. 13．設f(x)是偶函數(shù)，若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率為1，則該曲線在點(－1，f(－1))處的切線的斜率為________． [答案]　－1 [解析]　考查偶函數(shù)性質(zhì)． 偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，則曲線上關(guān)于y軸對稱的兩點的切線也關(guān)于y軸對稱，斜率互為相反數(shù)． ∴斜率為－1. 14．已知0<x<，f(x)＝x2，g(x)＝，則f′(x)與g′(x)的大小關(guān)系是________． [答案]　f′(x)<g′(x) [解析]　由題意，得f′(x)＝2x，g′(x)＝. 由0<x<，知0<f′

10、(x)<，g′(x)>1， 故f′(x)<g′(x)． 15．函數(shù)y＝cosx·cos2x·cos4x的導數(shù)為________． [答案]　y′＝ [解析]　∵y＝cosx·cos2x·cos4x＝ ＝·， ∴y′＝′＝·＝－. 三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分) 16．求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝x(x2＋＋)； (2)y＝(＋1)(－1)； [解析]　(1)∵y＝x(x2＋＋)＝x3＋1＋， ∴y′＝3x2－. (2)∵y＝(＋1)(－

11、1)＝－x＋x－， ∴y′＝－x－－x－＝－·(1＋)． 17．設曲線C：y＝x3－3x和直線x＝a(a>0)的交點為P，過點P的曲線C的切線與x軸交于點Q(－a,0)，求a的值． [解析]　依題意，解得P(a，a3－3a)，y′＝3x2－3所以過點P的曲線C的切線方程為：y－(a3－3a)＝(3a2－3)(x－a) 令y＝0得切線與x軸的交點為(，0) 則有＝－a解得a＝±或a＝0， 由已知a>0，∴a＝. 18．已知曲線C1：y＝x2與C2：y＝－(x－2)2，直線l與C1、C2都相切．求直線l的方程． [解析]　設l與C1相切于點P(x1，

12、x)，與C2相切于點Q(x2，－(x2－2)2)． 對于C1，y′＝2x，則與C1相切于點P的切線方程為y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x①. 對于C2，y′＝－2(x－2)，則與C2相切于點Q的切線方程為y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)， 即y＝－2(x2－2)x＋x－4②. ∵兩切線重合，∴， 解得或，∴直線l的方程為y＝0或y＝4x－4. 19.(1)求曲線y＝f(x)＝x3－2x在點(1，－1)處的切線方程； (2)過曲線y＝f(x)＝x3－2x上的點(1，－1)的切線方程． [分析]　要注意(1)(2)中的不同之處，在點(1，－1)處的切線

13、方程即(1，－1)為切點，而過點(1，－1)的切線方程中切點需設出后，再利用導數(shù)的幾何意義(可利用斜率相等)，求出切點坐標后再求切線方程． [解析]　(1)由題意f′(x)＝3x2－2，f′(1)＝1， ∴點(1，－1)處的切線的斜率k＝1，其方程為 y＋1＝x－1，即x－y－2＝0. (2)設切點為(x0，y0)，則y0＝x－2x0， 則切點處的導數(shù)值f′(x0)＝3x－2； 若點(1，－1)為切點，由(1)知切線方程為x－y－2＝0；若點(1，－1)不為切點，則 3x－2＝(x0≠1)， 即3x－2＝， ∴3x－2x0－3x＋1＝x－2x0. ∴2x－3x＋1＝0，

14、即(x0－1)(2x－x0－1)＝0. ∴x0＝1或x0＝－，其中x0＝1舍去． 則切點坐標為(－，)， ∴斜率為f′(－)＝3×(－)2－2＝－. ∴切線方程為5x＋4y－1＝0. ∴過點(1，－1)的切線方程為x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0. [點評]　利用導數(shù)求切線方程時要注意：求在點P(x0，y0)處的切線方程，與經(jīng)過點P(x0，y0)的切線方程求法不同，后者需要先把切點設出來． 20.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝2x2. (1)求x<0時，f(x)的表達式； (2)令g(x)＝lnx，問是否存在x0，使得f(x)，

15、g(x)在x＝x0處的切線互相平行？若存在，請求出x0的值；若不存在，請說明理由． [解析]　(1)當x<0時，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x2. (2)若f(x)，g(x)在x0處的切線互相平行， 則f′(x0)＝g′(x0)，且x0>0， 故f′(x0)＝4x0＝g′(x0)＝， 解得x0＝±. ∵x0>0，∴x0＝. 21.已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)，若x∈[0,1]，f(x)圖像上任意一點處切線的斜率為k，當|k|≤1時，求a的范圍． [解析]　∵f′(x)＝－3x2＋2ax， ∴k＝f′(x)＝－3x2＋2ax. 由|k|≤1知|－3x2＋2ax|≤1(0≤x≤1)， 即|－3(x－)2＋|≤1在x∈[0,1]上恒成立． 又f′(0)＝0， ①當<0，即a<0時，－3＋2a≥－1，即a≥1.故無解； ②當0≤≤1，即0≤a≤3時， 得1≤a≤； ③當>1，即a>3時，－3＋2a≤1得a≤2，此時無解． 綜上知1≤a≤， ∴a的范圍為[1，]．