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1、2019年北師大版精品數(shù)學資料 §2超幾何分布 超幾何分布 已知在8件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從這8件產(chǎn)品中任取2件，用X表示取得的次品數(shù)． 問題1：X可能取哪些值？ 提示：0,1,2. 問題2：“X＝1”表示的試驗結(jié)果是什么？P(X＝1)的值呢？ 提示：任取2件產(chǎn)品中恰有1件次品． P(X＝1)＝. 問題3：如何求P(X＝k)？(k＝0,1,2) 提示：P(X＝k)＝. 超幾何分布 一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件是次品．從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么 P(X＝k)＝(其

2、中k為非負整數(shù))． 如果一個隨機變量的分布列由上式確定，則稱X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布． (1)超幾何分布，實質(zhì)上就是有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M(M≤N)件，從所有物品中任取n件，這n件中所含這類物品的件數(shù)X是一個離散型隨機變量，它取值為k時的概率為P(X＝k)＝①(k≤l，l是n和M中較小的一個)． (2)在超幾何分布中，只要知道N，M和n，就可以根據(jù)公式①求出X取不同值時的概率P，從而寫出X的分布列． 利用超幾何分布公式求概率 [例1]　高三(1)班的聯(lián)歡會上設(shè)計了一項游戲：在一個口袋中裝有10個紅球，20個白球，這些球除顏色外完全

3、相同．現(xiàn)一次從中摸出5個球，若摸到4個紅球1個白球的就中一等獎，求中一等獎的概率． [思路點撥]　若以30個球為一批產(chǎn)品，則球的總數(shù)30可與產(chǎn)品總數(shù)N對應，紅球數(shù)10可與產(chǎn)品中總的不合格產(chǎn)品數(shù)對應，一次從中摸出5個球，即n＝5，這5個球中紅球的個數(shù)X是一個離散型隨機變量，X服從超幾何分布． [精解詳析]　若以30個球為一批產(chǎn)品，其中紅球為不合格產(chǎn)品，隨機抽取5個球，X表示取到的紅球數(shù)，則X服從超幾何分布． 由公式得P(X＝4)＝＝≈0.0295， 所以獲一等獎的概率約為2.95%. [一點通]　解決此類問題的關(guān)鍵是先判斷所給問題是否屬于超幾何分布問題，若是，則可直接利用公式求解，要注

4、意M，N，n，k的取值． 1．一批產(chǎn)品共10件，次品率為20%，從中任取2件，則正好取到1件次品的概率是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：由題意10件產(chǎn)品中有2件次品，故所求概率為P＝＝. 答案：B 2．設(shè)10件產(chǎn)品中，有3件次品，現(xiàn)從中抽取5件，用X表示抽得次品的件數(shù)，則X服從參數(shù)為________(即定義中的N，M，n)的超幾何分布． 答案：10,3,5 3．從6名男同學和4名女同學中隨機選出3名同學參加一項競技測試．試求出選3名同學中，至少有一名女同學的概率． 解：設(shè)選出的女同學人數(shù)為X，則X的可能取值為0,1,2,3，且X服從參數(shù)為N＝

5、10，M＝4，n＝3的超幾何分布，于是選出的3名同學中，至少有一名女同學的概率為：P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝或P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝. 超幾何分布的分布列 [例2]　(10分)從5名男生和3名女生中任選3人參加某運動會火炬接力活動，若隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，求X的分布列及P(X<2)． [思路點撥]　可以將8人看作8件“產(chǎn)品”，3名女生看作3件“次品”，任選3人中女生的人數(shù)可看作是任取3件“產(chǎn)品”中所含的“次品”數(shù)． [精解詳析]　由題意分析可知，隨機變量X服從超幾何分布．其中N＝8，M＝3，n＝3， (2分

6、) 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. (8分) 從而隨機變量X的分布列為 X＝k 0 1 2 3 P(X＝k) 所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. (10分) [一點通]　解答此類題目的關(guān)鍵在于先分析隨機變量是否服從超幾何分布，如果滿足超幾何分布的條件，則直接利用超幾何分布概率公式來解．當然，本例也可通過古典概型解決． 4．(重慶高考改編)一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片． (1)求所

7、取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率； (2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列．(注：若三個數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c，則稱b為這三個數(shù)的中位數(shù)．) 解：(1)由古典概型中的概率計算公式知所求概率為p＝＝. (2)X的所有可能值為1,2,3，且P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 故X的分布列為 X 1 2 3 P 5．某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進行一項測試，以便確定工資級別．公司準備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求其員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料．若

8、4杯都選對，則月工資定為3 500元；若4杯選對3杯，則月工資定為2 800元；否則月工資定為2 100元．令X表示此人選對A飲料的杯數(shù)．假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力． (1)求X的分布列； (2)用Y表示新錄用員工的月工資，求Y的分布列． 解：(1)X的所有可能取值為0,1,2,3,4. P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3,4)． 則X的分布列為 X＝k 0 1 2 3 4 P(X＝k) (2)令Y表示新錄用員工的月工資，則Y的所有可能取值為2 100,2 800,3 500. 則P(Y＝3 500)＝P(X＝4)＝， P(Y＝2

9、 800)＝P(X＝3)＝， P(Y＝2 100)＝P(X≤2)＝， 則Y的分布列為 Y＝k 2 100 2 800 3 500 P(Y＝k) 1．超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，從形式上看超幾何分布的模型，其產(chǎn)品有較明顯的兩部分組成． 2．在超幾何分布中，只要知道N，M和n，就可以根據(jù)公式求出隨機變量X取k時的概率P(X＝k)，從而列出隨機變量X的分布列． 1．一個小組有6人，任選2名代表，求其中甲當選的概率是(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 解析：設(shè)X表示2名代表中有甲的個數(shù)，X的可能取值為0,1， 由題意

10、知X服從超幾何分布，其中參數(shù)為N＝6，M＝1，n＝2， 則P(X＝1)＝＝. 答案：B 2．在一個口袋中裝有5個白球和3個黑球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出3個球，至少摸到2個黑球的概率等于(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：黑球的個數(shù)X服從超幾何分布，則至少摸到2個黑球的概率P(X ≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. 答案：A 3．某12人的興趣小組中，有5名“三好生”，現(xiàn)從中任意選6人參加競賽，用X表示這6人中“三好生”的人數(shù)，則是表示的概率是(　　) A．P(X＝2) B．P(X＝3) C．P(X≤2) D．P(X≤3

11、) 解析：6人中“三好生”的人數(shù)X服從超幾何分布，其中參數(shù)為N＝12，M＝5，n＝6，所以P(X＝3)＝. 答案：B 4．從一副不含大、小王的52張撲克牌中任意抽出5張，則至少有3張A的概率為(　　) A. B. C．1－ D. 解析：設(shè)X為抽出的5張撲克牌中含A的張數(shù)． 則P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋. 答案：D 5．某小組共有10名學生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，至少有1名女生當選的概率為________． 解析：至少有1名女生當選包括1男1女，2女兩種情況，概率為＝. 答案： 6．知識競答，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4

12、個，小張抽4題，則小張抽到選擇題至少2道的概率為________． 解析：由題意知小張抽到選擇題數(shù)X服從超幾何分布(N＝10，M＝6，n＝4)， 小張抽到選擇題至少2道的概率為： P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝. 答案： 7．一盒中有12個乒乓球，其中9個新的，3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機變量，求X的分布列． 解：由題意知，舊球個數(shù)X的所有可能取值為3,4,5,6. 則P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝＝，P(X＝6)＝＝＝. 所以X的分布列為 X＝i 3 4 5 6

13、 P(X＝i) 8．在一次購物抽獎活動中，假設(shè)10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品，其余6張沒有獎品． (1)顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數(shù)X的分布列． (2)顧客乙從10張獎券中任意抽取2張． ①求顧客乙中獎的概率； ②設(shè)顧客乙獲得的獎品總價值Y元，求Y的分布列． 解：(1)抽獎一次，只有中獎和不中獎兩種情況，故X的取值只有0和1兩種情況． P(X＝1)＝＝＝， 則P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝. 因此X的分布列為 X＝k 0 1 P(X＝k) (2)①顧客乙中獎可分為互斥的兩類：所抽取的2張獎券中有1張中獎或2張都中獎． 故所求概率P＝＝＝. ②Y的所有可能取值為0,10,20,50,60，且 P(Y＝0)＝＝＝， P(Y＝10)＝＝＝， P(Y＝20)＝＝＝， P(Y＝50)＝＝＝， P(Y＝60)＝＝＝. 因此隨機變量Y的分布列為 Y＝k 0 10 20 50 60 P(Y＝k)