《萬(wàn)變不離其宗五【選修1－11－24－5】：專(zhuān)題四 推理與證明、復(fù)數(shù) Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《萬(wàn)變不離其宗五【選修1－11－24－5】：專(zhuān)題四 推理與證明、復(fù)數(shù) Word版含解析（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí)一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí)1推理(1)定義：是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程(2)分類(lèi)：推理合情推理演繹推理2合情推理歸納推理類(lèi)比推理定義由某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特征， 推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理， 或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征， 推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理特點(diǎn)由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理由特殊到特殊的推理3.演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱(chēng)為演繹推理(2)特點(diǎn)：演繹推理是由一般到特殊的推理(3)模式：三段論大

2、前提：已知的一般原理；小前提：所研究的特殊情況；結(jié)論：根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷.4直接證明直接證明中最基本的兩種證明方法是綜合法和分析法(1)綜合法：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法綜合法又稱(chēng)為：由因?qū)Ч?順推證法)(2)分析法：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法分析法又稱(chēng)為：執(zhí)果索因法(逆推證法)5間接證明反證法：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛

3、盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法6復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念：形如abi(a，bR R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部若b0，則abi 為實(shí)數(shù)；若b0，則abi 為虛數(shù)；若a0 且b0，則abi 為純虛數(shù)(2)復(fù)數(shù)相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR R)(3)共軛復(fù)數(shù)：abi 與cdi 共軛ac，bd(a，b，c，dR R)(4)復(fù)數(shù)的模：向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)zabi(a，bR R)的模，記作|z|或|abi|，即|z|abi|a2b27復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)zabi一一對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，bR R)(2)復(fù)數(shù)z

4、abi(a，bR R)一一對(duì)應(yīng)平面向量OZ8復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減 、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR R)，則加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；減法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：z1z2abicdi（abi） （cdi）（cdi） （cdi）acbdc2d2bcadc2d2i(cdi0)(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何z1，z2，z3C C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)二、題之本：思想方法技巧二、題之本

5、：思想方法技巧1歸納推理的前提是一些特殊的情況，所以歸納推理要在觀(guān)察、經(jīng)驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行；歸納推理是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象，因此所得結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而結(jié)論假”的情況是有可能發(fā)生的2歸納推理的一般過(guò)程：(1)通過(guò)觀(guān)察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)相同的性質(zhì)；(2)推出一個(gè)明確表述的一般性結(jié)論3在數(shù)學(xué)中，類(lèi)比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理、公式的重要手段，并且應(yīng)用廣泛，數(shù)與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、相等與不等、有限與無(wú)限等之間有不少結(jié)論都是先用類(lèi)比的方法提出猜想，然后再加以證明的4類(lèi)比推理的一般步驟：(1)找出兩類(lèi)事物之間的相似性或

6、一致性；(2)用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)，但結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明5.把握合情推理與演繹推理的三點(diǎn)(1)合情推理包括歸納推理和類(lèi)比推理，所得到的結(jié)論都不一定正確，其結(jié)論的正確性是需要證明的(2)在進(jìn)行類(lèi)比推理時(shí)，要盡量從本質(zhì)上去類(lèi)比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑；否則只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象甚至假象就去類(lèi)比，就會(huì)犯機(jī)械類(lèi)比的錯(cuò)誤(3)應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首先明確什么是大前提，什么是小前提，如果大前提與推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的如果大前提錯(cuò)誤，盡管推理形式是正確的，所得結(jié)論也是錯(cuò)誤的6.在進(jìn)行類(lèi)比推理時(shí)，不僅要注意形式的類(lèi)比，還要注意方法的類(lèi)比，且要

7、注意以下兩點(diǎn)：(1)找兩類(lèi)對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素，如：三角形對(duì)應(yīng)三棱錐，圓對(duì)應(yīng)球，面積對(duì)應(yīng)體積等等；(2)找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊(直線(xiàn))垂直對(duì)應(yīng)線(xiàn)面垂直或面面垂直，邊相等對(duì)應(yīng)面積相等7.演繹推理的推證規(guī)則(1)演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略，本題中，等比數(shù)列的定義在解題中是大前提，由于它是顯然的，因此省略不寫(xiě)；(2)在推理論證過(guò)程中，一些稍復(fù)雜一點(diǎn)的證明題常常要由幾個(gè)三段論才能完成8綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч?，它是從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理是在尋求它的必要條件綜

8、合法的解題步驟用符號(hào)表示是：P(已知)Q1Q2Q3QnQ(結(jié)論)9分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，它是從“結(jié)論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理的實(shí)質(zhì)是尋求使結(jié)論成立的充分條件分析法的解題步驟用符號(hào)表示是：B(結(jié)論)B1B2 BnA(已知)10分析法與綜合法的綜合應(yīng)用分析法和綜合法是兩種思路相反的推理證明方法，二者各有優(yōu)缺點(diǎn)分析法思考起來(lái)比較自然，容易找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁，且表述易錯(cuò)；綜合法條理清晰，宜于表述，缺點(diǎn)是探路艱難，易生枝節(jié)在證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中分析法和綜合法往往是相互結(jié)合的，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法表述11用反證法證明命題的一般步驟

9、：(1)分清命題的條件和結(jié)論；(2)做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)；(3)由假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出與已知條件，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)等矛盾的結(jié)果；(4)斷定產(chǎn)生矛盾的原因是假設(shè)不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明命題為真12可用反證法證明的數(shù)學(xué)命題類(lèi)型(1)結(jié)論是否定形式的命題；(2)結(jié)論是以至多、至少、唯一等語(yǔ)句給出的命題；(3)結(jié)論的反面是較明顯或較易證明的命題；(4)用直接法較難證明或需要分成多種情形進(jìn)行分類(lèi)討論的命題13常見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”原結(jié)論詞反設(shè)詞原結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個(gè)沒(méi)有一個(gè)x成立 x0不成立至多有一個(gè) 至少有兩個(gè) x不成立 x0成立至少有n

10、個(gè)至多有n1個(gè)p或q綈p且綈q至多有n個(gè)至少有n1個(gè)p且q綈p或綈q14.幾個(gè)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小(2)利用復(fù)數(shù)相等abicdi 列方程時(shí)，注意a，b，c，dR R 的前提條件(3)注意不能把實(shí)數(shù)集中的所有運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來(lái)例如，若z1，z2C C，z21z220，就不能推出z1z20；z20 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立15復(fù)數(shù)的運(yùn)算技巧(1)設(shè)zabi(a，bR R)，利用復(fù)數(shù)相等和相關(guān)性質(zhì)將復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的常用方法(2)在復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算中，加、減、乘運(yùn)算按多項(xiàng)式運(yùn)算法則進(jìn)行，除法則需分母實(shí)數(shù)化16復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算中常用的幾個(gè)結(jié)論在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代

11、數(shù)運(yùn)算時(shí)，記住以下結(jié)論，可提高計(jì)算速度(1)(1i)22i；1i1ii；1i1ii；(2)baii(abi)；(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN N*.17.解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng)(1)復(fù)數(shù)的分類(lèi)及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿(mǎn)足的條件問(wèn)題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿(mǎn)足的方程(不等式)組即可(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為abi(a，bR R)的形式，以確定實(shí)部和虛部18.復(fù)數(shù)幾何意義及應(yīng)用(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量OZ相互聯(lián)系，即zabi(a，bR R)Z(a，b)OZ.(2)由于復(fù)數(shù)

12、、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀(guān)19.復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問(wèn)題的解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘法類(lèi)似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位 i 的看作一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)，不含 i 的看作另一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)，分別合并即可(2)復(fù)數(shù)的除法除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把 i 的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式三、題之變：課本典例改編三、題之變：課本典例改編1.1. 原題（選修原題（選修 1-21-2 第五十一頁(yè)例）第五十一頁(yè)例）1 (1)mmmi 實(shí)數(shù) 取什么值時(shí)復(fù)數(shù)z=是（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？改編改編

13、 1 1若復(fù)數(shù)sin2(1 cos2 )zaia是純虛數(shù),則a=.改編改編 2 2使復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充分而不必要條件是 ()AzzBzzC2z為實(shí)數(shù)Dzz為實(shí)數(shù)【解析】 即要找出若“復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)”則不能推出的選項(xiàng)選B改編改編 3 3若有,RRX分別表示正實(shí)數(shù)集,負(fù)實(shí)數(shù)集,純虛數(shù)集,則集合2m mX=().ARBRCRRD 0R【解析】 222(0),)0mmbi bmbibB 若 為純虛數(shù)，設(shè)則(選2.2. 原題（選修原題（選修 1-21-2 第五十五頁(yè)習(xí)題第五十五頁(yè)習(xí)題 3.13.1 A A 組第組第 5 5 題題） ：實(shí)數(shù) m 取什么值時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)22(815)(514)zmmmmi的點(diǎn)

14、（1）位于第四象限？（2）位于第一、二象限？（3）位于直線(xiàn)上？改編改編 1 1復(fù)數(shù)（22）（22）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則（）A.2 或1B.2 且1C.2 或0D.0【解析】 2002.aaa2要求虛部為 即可或0.即a改編改編 2 2已知復(fù)數(shù)12zi，21zi ，則在12zzz復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析】 123zz ziz 復(fù)數(shù) 表示的點(diǎn)在第四象限.選D.改編改編 3 3如果35a,復(fù)數(shù)22(815)(514)zaaaai在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)z在象限.改編改編 4 4已知022，|0|2， （1）求復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡;（2）求為何值

15、時(shí)，|有最小值，并求出|的最小值.【解析】 （1）設(shè)zxy（x，yR R） ，由|0|2，即 |xy（22）|（x2）（y2）|2，解得（x2）2（y2）22復(fù)數(shù)點(diǎn)的軌跡是以 Z0（2,2）為圓心，半徑為2的圓. .（2）當(dāng) Z 點(diǎn)在 OZ0的連線(xiàn)上時(shí)，|有最大值或最小值，| OZ0|22，半徑2，當(dāng)1時(shí)，|2. .3.3. 原 題 （ 選 修原 題 （ 選 修 1-21-2 第 五 十 五 頁(yè) 習(xí) 題第 五 十 五 頁(yè) 習(xí) 題 3.1B3.1B 組 第 二 題 ） 改 編組 第 二 題 ） 改 編設(shè),Cz滿(mǎn) 足 條 件. 12141log21zz的復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z的集合表示什么圖形?【解析

16、】 12,14|1| 4log12|1| 81012|1| 28zZZZzZ 由，得化簡(jiǎn)得：，所以 表示以為圓心，以 為半徑的圓0（， ）的外部.4.4. 原題（選修原題（選修 1-21-2 第六十三頁(yè)復(fù)習(xí)參考題第六十三頁(yè)復(fù)習(xí)參考題 A A 組組 1 1（4 4） ）1( 2ii33復(fù) 數(shù)+i ) 的 值 為 ( ) A .B .C . - 1 D . 12改編改編 1 120082007113()122iii （）A. 2B.1C.1D.2【解析】223200820072 10043 669131313)1,()1,)()() () 2222222iiiiiiiiii 1+1+1+(1-1-1- .D選改編改編 2 2復(fù)數(shù)213i，求 12的值；5.5. 原題原題（選修選修 1-21-2 第六十三頁(yè)復(fù)習(xí)參考題第六十三頁(yè)復(fù)習(xí)參考題 B B 組第二題組第二題）改編改編 1 12012432iiiii的值為_(kāi)【解析】0432iiii則2012432iiiii=0.改編改編 2 2若21zi,那么100501zz的值是.【解析】224410050425225252522(1)2(1)(1),1,11(1)(1)221()()1( 1)1iiizziziiiizzzzii 又