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1、
第十一篇 第3節(jié)
一、選擇題
1.推理“①矩形是平行四邊形;②三角形不是平行四邊形;③三角形不是矩形”中的小前提是( )
A.① B.②
C.③ D.①和②
解析:由演繹推理三段論可知,①是大前提;②是小前提;③是結(jié)論.故選B.
答案:B
2.(20xx河南焦作二模)給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集,R為實(shí)數(shù)集,C為復(fù)數(shù)集):
①“若a,b∈R,則a-b=0?a=b”類比推出“若a,b∈C,則a-b=0?a=b”;
②“若a,b,c,d∈R,則復(fù)數(shù)a+bi=c+di?a=c,b=d”類比推出“若a,b,c,d∈Q,則a+b=c
2、+d?a=c,b=d”;
③若“a,b∈R,則a-b>0?a>b”類比推出“若a,b∈C,則a-b>0?a>b”.其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:①②正確,③錯(cuò)誤,因?yàn)閮蓚€(gè)復(fù)數(shù)如果不是實(shí)數(shù),不能比較大?。蔬xC.
答案:C
3.(20xx上海閘北二模)平面內(nèi)有n條直線,最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域,則f(n)的表達(dá)式為( )
A.n+1 B.2n
C. D.n2+n+1
解析:1條直線將平面分成1+1個(gè)區(qū)域;2條直線最多可將平面分成1+(1+2)=4個(gè)區(qū)域;3條直線最多可將平面分成1+(1+2+3)=7個(gè)區(qū)域;……;n條直線
3、最多可將平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=個(gè)區(qū)域,選C.
答案:C
4.定義A*B,B*C,C*D,D*A的運(yùn)算分別對應(yīng)圖中的(1)(2)(3)(4),那么如圖中(a),(b)所對應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果可能是( )
A.B*D,A*D B.B*D,A*C
C.B*C,A*D D.C*D,A*D
解析:觀察圖形及對應(yīng)運(yùn)算分析可知,
基本元素為A→|,B→□,C→—,D→,
從而可知圖(a)對應(yīng)B*D,圖(b)對應(yīng)A*C.故選B.
答案:B
5.已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3
4、),(3,2),(4,1),…,則第60個(gè)數(shù)對是( )
A.(7,5) B.(5,7)
C.(2,10) D.(10,1)
解析:依題意,由和相同的整數(shù)對分為一組不難得知,
第n組整數(shù)對的和為n+1,且有n個(gè)整數(shù)對.
這樣前n組一共有個(gè)整數(shù)對.
注意到<60<.
因此第60個(gè)整數(shù)對處于第11組的第5個(gè)位置,可得為(5,7).故選B.
答案:B
6.對于a、b∈(0,+∞),a+b≥2(大前提),x+≥2(小前提),所以x+≥2(結(jié)論).以上推理過程中的錯(cuò)誤為( )
A.小前提 B.大前提
C.結(jié)論 D.無錯(cuò)誤
解析:大前提是a,b∈(0,+∞),
5、a+b≥2,要求a、b都是正數(shù);x+≥2是小前提,沒寫出x的取值范圍,因此本題中的小前提有錯(cuò)誤.故選A.
答案:A
二、填空題
7.(20xx山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模)以下是對命題“若兩個(gè)正實(shí)數(shù)a1,a2滿足a+a=1,則a1+a2≤”的證明過程:
證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因?yàn)閷σ磺袑?shí)數(shù)x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,從而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a1+a2≤.
根據(jù)上述證明方法,若n個(gè)正實(shí)數(shù)滿足a+a+…+a=1時(shí),你能得到的結(jié)論為________.(不必證明)
解析:由題意可構(gòu)造函數(shù)
f(x)=(x-a1)2+
6、(x-a2)2+…+(x-an)2
=nx2-2(a1+a2+…+an)x+1,
因?qū)σ磺袑?shí)數(shù)x,恒有f(x)≥0,
所以Δ=4(a1+a2+…+an)2-4n≤0,
即a1+a2+…+an≤.
答案:a1+a2+…+an≤
8.(20xx山東萊蕪模擬)容易計(jì)算2×5=10,22×55=1210,222×555=123210,2222×5555=12343210.根據(jù)此規(guī)律猜想22…2×55…5所得結(jié)果由左向右的第八位至第十位的三個(gè)數(shù)字依次為________.
解析:由2×5,22×55,222×55
7、5的結(jié)果可知22…2×55…5的結(jié)果共18位,個(gè)位為0,其他數(shù)位從左向右為連續(xù)的自然數(shù)且左右對稱,即22…2×55…5=123456789876543210,所得結(jié)果由左向右的第八位至第十位的三個(gè)數(shù)字依次為898.
答案:898
9.(20xx江西師大附中模擬)若數(shù)軸上不同的兩點(diǎn)A,B分別與實(shí)數(shù)x1,x2對應(yīng),則線段AB的中點(diǎn)M與實(shí)數(shù)對應(yīng),由此結(jié)論類比到平面得,若平面上不共線的三點(diǎn)A,B,C分別與二元實(shí)數(shù)對(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)對應(yīng),則△ABC的重心G與________對應(yīng).
解析:由類比推理得,若平面上不共線的三點(diǎn)A,B,C分別與二元實(shí)數(shù)對(
8、x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)對應(yīng),則△ABC的重心G與對應(yīng).
答案:
10.觀察下列幾個(gè)三角恒等式
①tan 10°tan 20°+tan 20°tan 60°+tan 60°tan 10°=1;
②tan 5°tan 100°+tan 100°tan(-15°)+tan(-15°)tan 5°=1;
③tan 13°tan 35°+tan 35°tan 42°+tan 42°tan 13°
9、=1.
一般地,若tan α,tan β,tan γ都有意義,你從這三個(gè)恒等式中猜想得到的一個(gè)結(jié)論為________________________________________________________________________.
解析:所給三角恒等式都為tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=1的結(jié)構(gòu)形式,
且α、β、γ之間滿足α+β+γ=90°,
所以可猜想當(dāng)α+β+γ=90°時(shí),
tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=1.
答案:當(dāng)α+β+γ=90°時(shí),tan αtan β
10、+tan βtan γ+tan γtan α=1
三、解答題
11.在銳角三角形ABC中,求證:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.
證明:∵△ABC為銳角三角形,
∴A+B>,
∴A>-B,
∵y=sin x在上是增函數(shù),
∴sin A>sin=cos B,
同理可得sin B>cos C,sin C>cos A,
∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.
12.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,如圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個(gè)圖案,這些圖
11、案都是由小正方形構(gòu)成,小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形.
(1)求出f(5)的值;
(2)利用合情推理的“歸納推理思想”,歸納出f(n+1)與f(n)之間的關(guān)系式,并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式;
(3)求+++…+的值.
解:(1)f(5)=41.
(2)因?yàn)閒(2)-f(1)=4=4×1,
f(3)-f(2)=8=4×2,
f(4)-f(3)=12=4×3,
f(5)-f(4)=16=4×4,
…
由上式規(guī)律,得出f(n+1)-f(n)=4n.
因?yàn)閒(n+1)-f(n)=4n,
所以f(n)=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4=2n2-2n+1(n≥2),
又n=1滿足上式,
所以f(n)=2n2-2n+1.
(3)當(dāng)n≥2時(shí),
==,
∴+++…+
=1+
=1+=-.