2、π2 (D)3π2
4.(2013濟南模擬)已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā),并沿同一路線(假定為直線)行駛,甲車、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙(如圖所示).那么對于圖中給定的t0和t1,下列判斷中一定正確的是( )
(A)在t1時刻,甲車在乙車前面
(B)t1時刻后,甲車在乙車后面
(C)在t0時刻,兩車的位置相同
(D)t0時刻后,乙車在甲車前面
5.如圖,陰影部分的面積是( )
(A)23 (B)2-3 (C)323 (D)353
6.(2013三亞模擬)已知t>0,若0t (2
3、x-1)dx=6,則t的值等于( )
(A)2 (B)3 (C)6 (D)8
7.曲線y=sinx,y=cosx與直線x=0,x=π2所圍成的平面區(qū)域的面積為( )
(A)0π2 (sinx-cosx)dx
(B)0π4 (sinx-cosx)dx
(C)0π2 (cosx-sinx)dx
(D)20π4 (cosx-sinx)dx
8.(2013廣州模擬)物體A以v=3t2+1(m/s)的速度在一直線l上運動,物體B在直線l上,且在物體A的正前方5m處,同時以v=10t(m/s)的速度與A同向運動,出發(fā)后物體A追上物體B所用的時間t(s)為(
4、 )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
9.如圖,函數(shù)y=-x2+2x+1與y=1相交形成一個閉合圖形(圖中的陰影部分),則該閉合圖形的面積是( )
(A)1 (B)43 (C)3 (D)2
10.(2013馬鞍山模擬)根據(jù)sinxdx=0推斷直線x=0,x=2π,y=0和正弦曲線y=sinx所圍成的曲邊梯形的面積時,正確結(jié)論為( )
(A)面積為0
(B)曲邊梯形在x軸上方的面積大于在x軸下方的面積
(C)曲邊梯形在x軸上方的面積小于在x軸下方的面積
(D)曲邊梯形在x軸上方的面積等于在x軸
5、下方的面積
二、填空題
11.(2013宜春模擬)12 |3-2x|dx= .
12.(2013?？谀M)已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的圖像如圖所示,它與x軸在原點處相切,且x軸與函數(shù)圖像所圍區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為112,則a的值為 .
13.已知函數(shù)f(x)=sin5x+1,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)、積分的性質(zhì)和積分的幾何意義,探求-π2π2 f(x)dx的值,結(jié)果是 .
14.(能力挑戰(zhàn)題)拋物線y=-x2+4x-3及其在點A(1,0)和點B(3,0)處的切線所圍成圖形的面積為 .
三、解答題
15.(能力挑戰(zhàn)題)如圖所示,
6、直線y=kx分拋物線y=x-x2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分,求k的值.
答案解析
1.【解析】選C. dx=(lnx+ln2x2)=32.
2.【解析】選D.-22 f(x)dx=-20 x2dx+02 (x+1)dx
=13x3+(12x2+x)|02=(0+83)+(124+2-0)=203.
3.【解析】選C.V=01 π(x+2)dx=π(x22+2x) =52π.
4.【解析】選A.可觀察出曲線v甲,直線t=t1與t軸圍成的面積大于曲線v乙,直線t=t1與t軸圍成的面積,故選A.
5.【解析】選C.-31 (3-x2-2x)dx=(3x-13x
7、3-x2)|-31=323.
6.【解析】選B.0t (2x-1)dx=0t 2xdx-0t 1dx=x2|0t-x|0t=t2-t,
由t2-t=6得t=3或t=-2(舍去).
【方法技巧】定積分的計算方法
(1)利用定積分的幾何意義,轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形(三角形、矩形、圓或其一部分等)的面積.
(2)應(yīng)用微積分基本定理:
求定積分ab f(x)dx時,可按以下兩步進行,
第一步:求使F(x)=f(x)成立的F(x);
第二步:計算F(b)-F(a).
7.【解析】選D.當(dāng)x∈[0,π2]時,y=sinx與y=cosx的圖像的交點坐標為(π4,22),作圖可知曲線y=sinx
8、,y=cosx與直線x=0,x=π2所圍成的平面區(qū)域的面積可分為兩部分:一部分是曲線y=sinx,y=cosx與直線x=0,x=π4所圍成的平面區(qū)域的面積;另一部分是曲線y=sinx,y=cosx與直線x=π4,x=π2所圍成的平面區(qū)域的面積.且這兩部分的面積相等,結(jié)合定積分定義可知選D.
8.【解析】選C.因為物體A在t秒內(nèi)行駛的路程為0t (3t2+1)dt,物體B在t秒內(nèi)行駛的路程為0t 10tdt,所以0t (3t2+1-10t)dt=(t3+t-5t2)|0t=t3+t-5t2=5?(t-5)(t2+1)=0,即t=5.
9.【解析】選B.函數(shù)y=-x2+2x+1與y=1的兩個交
9、點為(0,1)和(2,1),所以閉合圖形的面積等于02 (-x2+2x+1-1)dx=02 (-x2+2x)dx=43.
10.【思路點撥】y=sinx的圖像在[0,2π]上關(guān)于(π,0)對稱,據(jù)此結(jié)合定積分的幾何意義判斷.
【解析】選D.y=sinx的圖像在[0,2π]上關(guān)于(π,0)對稱,02π sinxdx=sinxdx+π2π sinxdx=0.
11.【解析】∵|3-2x|=-2x+3,x≤32,2x-3,x>32,
∴12 |3-2x|dx=132 (3-2x)dx+322 (2x-3)dx
=(3x-x2)+(x2-3x)
=12.
答案:12
12.【解析】
10、f(x)=-3x2+2ax+b,∵f(0)=0,∴b=0,
∴f(x)=-x3+ax2,令f(x)=0,得x=0或x=a(a<0).
S陰影=-a0 (-x3+ax2)dx=112a4=112,∴a=-1.
答案:-1
13.【解析】∵函數(shù)y=sin5x是奇函數(shù),
∴-π2π2 sin5xdx=0,
∴-π2π2 f(x)dx=-π2π2 sin5xdx+-π2π2 1dx=π.
答案:π
14.【思路點撥】先求出曲線的兩條切線,再將所求面積分割成兩部分求解.
【解析】如圖所示,因為y=-2x+4,y|x=1=2,
y|x=3=-2,兩切線方程為y=2(x-1)和y=-2(
11、x-3).
由y=2(x-1),y=-2(x-3)得x=2.
所以S=12 [2(x-1)-(-x2+4x-3)]dx+
23 [-2(x-3)-(-x2+4x-3)]dx=12 (x2-2x+1)dx+23 (x2-6x+9)dx
=(13x3-x2+x)|12+(13x3-3x2+9x)|23=23.
答案:23
15.【思路點撥】先求出拋物線y=x-x2與x軸所圍成圖形的面積,再表示出直線y=kx與拋物線y=x-x2所圍成圖形的面積,最后由面積相等構(gòu)造方程求解.
【解析】拋物線y=x-x2與x軸兩交點的橫坐標為
x1=0,x2=1,
所以,拋物線與x軸所圍圖形的面積
12、
S=01 (x-x2)dx=(x22-13x3)|01=16.
又y=x-x2,y=kx,
由此可得,
拋物線y=x-x2與y=kx兩交點的橫坐標為x3=0,x4=1-k,所以,
S2=(x-x2-kx)dx
=(1-k2x2-13x3)|01-k
=16(1-k)3.
又知S=16,
所以(1-k)3=12,
于是k=1-312=1-342.
【變式備選】定義F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).令函數(shù)f(x)=F(1,log2(x2-4x
+9))的圖像為曲線C1,曲線C1與y軸交于點A(0,m),過坐標原點O向曲線C1作切線,切點為B(n,t)(n>0),設(shè)曲線C1在點A,B之間的曲線段與線段OA,OB所圍成圖形的面積為S,求S的值.
【解析】因為F(x,y)=(1+x)y,所以f(x)=F(1,
log2(x2-4x+9))=2log2(x2-4x+9)=x2-4x+9,故A(0,9),又過坐標原點O向曲線C1作切線,切點為B(n,t)(n>0),f(x)=2x-4.
所以t=n2-4n+9,tn=2n-4,解得B(3,6),
所以S=03 (x2-4x+9-2x)dx
=(x33-3x2+9x)|03=9.
第二章 第十三節(jié)
