《萬變不離其宗：高中數學課本典例改編之必修二、三：專題二 點、直線、平面之間的位置關系 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《萬變不離其宗：高中數學課本典例改編之必修二、三：專題二 點、直線、平面之間的位置關系 Word版含解析（11頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、一、題之源：課本基礎知識1四個公理公理 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線在此平面內公理 2：過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行2空間直線的位置關系(1)位置關系的分類：共面直線平行相交異面直線：不同在任何一個平面內(2)異面直線所成的角：定義：設a,b是兩條異面直線,經過空間中任一點O作直線aa,bb,把a與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍：0，2 (3)定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補

2、3空間直線與平面,平面與平面之間的位置關系圖形語言符號語言公共點直線與平面相交aA1 個平行a0 個在平面內a無數個平面平行0 個與平面相交l無數個4直線與平面平行的判定定理和性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與這個平面內的一條直線平行,則該直線與此平面平行(線線平行線面平行)la,al,l性質定理一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行線線平行”)l,l,b,lb5.平面與平面平行的判定定理和性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行(簡記為“線面平行面面平行”)a,

3、b,abP,a,b,性質定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行,ab,ab6直線與平面垂直的判定定理及性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直a，babOlalbl性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行abab7.平面與平面垂直的判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面互相垂直ll性質定理兩個平面互相垂直,則一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面lalal8.空間角(1)直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平

4、面所成的角,如圖,PAO就是斜線AP與平面所成的角線面角的范圍：(2)二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角這條直線叫做二面角的棱兩個半平面叫做二面角的面如圖的二面角,可記作：二面角l或二面角PABQ二面角的平面角如圖,過二面角l的棱l上一點O在兩個半平面內分別作BOl,AOl,則AOB就叫做二面角l的平面角二面角的范圍設二面角的平面角為,則當2時,二面角叫做直二面角二、題之本：思想方法技巧1.空間線面關系的組合判斷題,是一類常見的客觀題.解這類題,一要準確把握、理解相關概念；二要熟悉“推理論證加反例推斷”的方法；三要借助空間直觀.如教室就是一個長方體,建議同學們學立體幾

5、何時充分借助這一模型.2.要重視三種數學語言文字語言、符號語言、圖形語言的互譯,特別要培養(yǎng)準確使用符號語言的能力.在空間圖形中,點是最基本的元素,點與線、點與面是元素與集合的關系,直線與平面是集合與集合的關系,防止出現符號“”、“”混用的錯誤.3.求兩條異面直線所成角的步驟是：先作圖,再證明,后計算.作圖,往往過其中一條直線上一點作另外一條直線的平行線,或過空間一特殊點分別作兩條直線的平行線,即平移線段法,此法是求異面直線所成角的常用方法,其實質是把異面問題轉化為共面問題；證明,即證明作圖中所產生的某個角是異面直線所成的角；計算,一般在一個三角形中求解,這往往需要運用正弦定理或余弦定理來解決,

6、如果計算出來的角度是鈍角,則需要轉化為相應的銳角,因為異面直線所成角的范圍是0，2.4.證明“線共面”或者“點共面”問題時,運用同一法,可以先由部分直線或者點確定一個平面,再證明其余的直線或者其余的點也在這個平面內.5.證明“點共線”問題時,可以將這些點看做是兩個平面的交線上的點,只要證明這些點是兩個平面的公共點,根據公理 3 就可以確定這些點都在同一條直線上,即點共線.6.異面直線定義中“不同在任何一個平面內的兩條直線”是指“不可能找到一個平面能同時經過這兩條直線”,也可以理解為“既不平行也不相交的兩條直線”,但是不能理解為“分別在兩個平面內的兩條直線”.7.探求常規(guī)的異面直線所成角的問題,

7、首先要理清求角的基本步驟為“一作,二證,三求”,通過平行線或補形平移法把異面直線轉化為相交直線進而求其夾角,其中空間選點任意但要靈活,如常選擇“端點,中點,等分點”,通過三角形的中位線平行于底邊,長方體對面上的平行線進行平移等.這是研究空間圖形的一種基本思路,即把空間圖形問題轉化為平面圖形問題.8.證明線線平行的方法(1)利用平面幾何知識；(2)平行公理：ab,bcac；(3)線面平行的性質定理：a,a,bab；(4)面面平行的性質定理：,a,bab；(5)線面垂直的性質定理：m,nmn.9.證明直線和平面平行的方法(1)利用定義(常用反證法)；(2)判定定理：a ,b,且aba；(3)面面平

8、行性質：,ll；(4)向量法.m ,n n,mn nm；(5)空間平行關系傳遞性：mn,m,n ,mn；(6),l,l l.10.證明面面平行的方法(1)利用定義(常用反證法)；(2)利用判定定理：a,b,abP,a,b；推論：a,b,m,n,abP,mnQ,am,bn(或an,bm)；(3)利用面面平行的傳遞性：；(4)利用線面垂直的性質：ll.11.應用面面平行的性質定理時,關鍵是找(或作)輔助線或平面,對此需要強調的是：(1)輔助線、輔助平面要作得有理有據,不能隨意添加；(2)輔助面、輔助線具有的性質,一定要以某一性質定理為依據,不能主觀臆斷.12.注意線線平行、線面平行、面面平行間的相

9、互轉化線線平行判定定理性質定理線面平行判定定理性質定理面面平行.應用判定定理時,注意由“低維”到“高維”：“線線平行”“線面平行”“面面平行”；應用性質定理時,注意由“高維”到“低維”：“面面平行”“線面平行”“線線平行”.13.判斷(證明)線線垂直的方法(1)根據定義；(2)如果直線ab,ac,則bc；(3)如果直線a面,c,則ac；(4)向量法：兩條直線的方向向量的數量積為零.14.證明直線和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理：兩相交直線a,b,ac,bcc.(2)ab,ab；(3)利用面面平行的性質：,aa；(4)利用面面垂直的性質：,m,a,ama；,mm.15.證明面面垂直的主要方

10、法(1)利用判定定理.在審題時要注意直觀判斷哪條直線可能是垂線,充分利用等腰三角形底邊的中線垂直于底邊,勾股定理的逆定理等結論；(2)用定義證明.只需判定兩平面所成二面角為直二面角；(3) 如 果 一 個 平 面 垂 直 于 兩 個 平 行 平 面 中 的 一 個 , 則 它 也 垂 直 于 另 一 個 平 面 ：,.16.平面與平面垂直的性質的應用當兩個平面垂直時,常作的輔助線是在其中一個面內作交線的垂線,把面面垂直轉化為線面垂直,進而可以證明線線垂直(必要時可以通過平面幾何的知識證明垂直關系),構造(尋找)二面角的平面角或得到點到面的距離等.17.注意線線垂直、線面垂直、面面垂直間的相互轉

11、化18.線面角、二面角求法求這兩種空間角的步驟：根據線面角的定義或二面角的平面角的定義,作(找)出該角,再解三角形求出該角,步驟是作(找)證求(算)三步曲.也可用射影法：設斜線段AB在平面內的射影為AB,AB與所成角為,則 cos|AB|AB|；設ABC在平面內的射影三角形為ABC,平面ABC與所成角為,則 cosSABCSABC.三、題之變：課本典例改編1.1. 原 題 （ 必 修原 題 （ 必 修 2 2 第第 6262 頁 習 題頁 習 題 2.2A2.2A 組 第 八 題組 第 八 題 ） 如 圖 , 直 線 AA1,BB1,CC1 相 交 于 點O,AO=A1O,BO=B1O,CO=

12、C1O,求證：平面 ABC平面 A1B1C1.改編改編如圖,直線 AA1、BB1、CC1 相交于點 O,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O,形成兩個頂點相對、底面水平的三棱錐,設三棱錐高均為 1,若上面三棱錐中裝有高度為 0.5 的液體,若液體流入下面的三棱錐,則液體高度為_. .【答案】1273.2.2.原題（必修原題（必修 2 2 第第 6363 頁習題頁習題 2.2B2.2B 組第四題組第四題）如圖,透明塑料制成的長方體容器 ABCD-A1B1C1D1內灌進一些水,固定容器底面一邊 BC 于地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下面五個命題:其中所有正確命題的序號是_,為什么？

13、(1)有水的部分始終呈棱柱形；(2)沒有水的部分始終呈棱柱形；(3)水面 EFGH 所在四邊形的面積為定值；(4)棱 A1D1始終與水面所在平面平行；(5)當容器傾斜如圖（3）所示時,BFBE是定值.改編改編如圖,透明塑料制成的長方體容器 ABCD-A1B1C1D1內灌進一些水,固定容器底面一邊 BC 于地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下面七個命題,真命題的有_.(1)有水的部分始終呈棱柱形；(2)沒有水的部分始終呈棱柱形；(3)水面 EFGH 所在四邊形的面積為定值；(4)棱 A1D1始終與水面所在平面平行；(5)當容器傾斜如圖（3）所示時,BFBE是定值；(6)當容器任意傾斜時,

14、 水面可以是六邊形；(7)當容器任意傾斜時, 水面可以是五邊形.（1 1）（2 2）（3 3）【解析】 經分析可得答案為（1）,（2）,（4）,（5）,（6）,（7）.（6）（7）3.3.原題（必修原題（必修 2 2 第第 6666 頁例頁例 2 2）改編改編如圖 41,已知正四棱柱1111ABCDABC D中,底面邊長2AB ,側棱1BB的長為 4,過點B作1BC的的垂線交側棱1CC于點E,交1BC于點F（）求證：1AC 平面BED；（）求1AB與平面BDE所成的角的正弦值【解析】 （）如圖 42,以D為原點,DA、DC、1DD所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系Dxyz1111(0

15、,0,0), (2,0,0), (2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),(0,2,4),(0,0,4)DABCABCD設(0,2, )Et,則1( 2,0, ),( 2,0, 4)BEt BC 1BEBC,14040BE BCt 1t ,(0,2,1)E,( 2,0,1)BE 又1( 2,2, 4),(2,2,0)ACDB ,14040AC BE 且14400AC DB 1ACDB 且1ACBE 1ACBD 且1ACBE 1AC 平面BDE4.4. 原 題 （ 必 修原 題 （ 必 修 2 2 第第 7979 頁 復 習 參 考 題頁 復 習 參 考 題 A A 組 第

16、 十 題組 第 十 題 ） 如 圖 , 已 知 平 面, , 且, ,ABPCPDCD 是垂足,試判斷直線 AB 與 CD 的位置關系？并證明你的結論.改編改編如圖,已知平面, ,且,AB PCPDC D是垂足 （）求證：AB 平面PCD； （）若1,2PCPDCD,試判斷平面與平面的位置關系,并證明你的結論5.5.原題（必修原題（必修 2 2 第第 7979 頁復習參考題頁復習參考題 B B 組第一題組第一題）如圖 5,邊長為 2 的正方形ABCD中,（1）點E是AB的中點,點F是BC的中點,將,AEDDCF分別沿,DE DF折起,使,A C兩點重合于點A,求證：A DEF（2）當14BEBFBC時,求三棱錐AEFD的體積改編改編如圖 51,在矩形ABCD中,2,1,ABADE是CD的中點,以AE為折痕將DAE向上折起,使D為D,且平面D AE平面ABCE（）求證：ADEB ；（）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值【解析】 （）在Rt BCE中,222BEBCCE,在Rt ADE中,222AED AD E,22222ABBEAE,AEBE平面AED 平面ABCE,且交線為AE,BE 平面AEDAD 平面AED,ADBE （）設AC與BE相交于點F,由（）知ADBE ,ADED,AD 平面EBD,AD 平面AED,平面ABD 平面EBD,且交線為BD,