高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案導(dǎo)學(xué)案【第六章】數(shù)列 學(xué)案31
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1、 精品資料 學(xué)案31 數(shù)列的通項(xiàng)與求和 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.能利用等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)求一些特殊數(shù)列的和.2.能在具體的問(wèn)題情境中,識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題. 自主梳理 1.求數(shù)列的通項(xiàng) (1)數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系: an= (2)當(dāng)已知數(shù)列{an}中,滿足an+1-an=f(n),且f(1)+f(2)+…+f(n)可求,則可用________求數(shù)列的通項(xiàng)an,常利用恒等式an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1). (3)當(dāng)已知數(shù)列{an}
2、中,滿足=f(n),且f(1)f(2)…f(n)可求,則可用__________求數(shù)列的通項(xiàng)an,常利用恒等式an=a1…. (4)作新數(shù)列法:對(duì)由遞推公式給出的數(shù)列,經(jīng)過(guò)變形后化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列來(lái)求通項(xiàng). (5)歸納、猜想、證明法. 2.求數(shù)列的前n項(xiàng)的和 (1)公式法 ①等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=____________=________________,推導(dǎo)方法:____________; ②等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn= 推導(dǎo)方法:乘公比,錯(cuò)位相減法. ③常見(jiàn)數(shù)列的前n項(xiàng)和: a.1+2+3+…+n=__________; b.2+4+6+…+2n=__________;
3、 c.1+3+5+…+(2n-1)=______; d.12+22+32+…+n2=__________; e.13+23+33+…+n3=__________________. (2)分組求和:把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列. (3)裂項(xiàng)(相消)法:有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式,相加過(guò)程消去中間項(xiàng),只剩有限項(xiàng)再求和. 常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式有: ①=-; ②=; ③=-. (4)錯(cuò)位相減:適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和. (5)倒序相加:例如,等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo). 自我檢測(cè) 1.(原創(chuàng)題)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積為T(mén)
4、n=3n2(n∈N*),則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的( ) A.(3n-1) B.(3n-1) C.(9n-1) D.(9n-1) 2.(2011邯鄲月考)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,若{Sn}是等差數(shù)列,則q為 ( ) A.-1 B.1 C.1 D.0 3.已知等比數(shù)列{an}的公比為4,且a1+a2=20,設(shè)bn=log2an,則b2+b4+b6+…+b2n等于
5、 ( ) A.n2+n B.2(n2+n) C.2n2+n D.4(n2+n) 4.(2010天津高三十校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=log2 (n∈N*),設(shè){an}的前n項(xiàng)的和為Sn,則使Sn<-5成立的自然數(shù)n ( ) A.有最大值63 B.有最小值63 C.有最大值31 D.有最小值31 5.(2011北京海淀區(qū)期末)設(shè)關(guān)于x的不等式x2-x<2nx (n∈N*)的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)為an,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則
6、S100的值為_(kāi)_______. 6.?dāng)?shù)列1,4,7,10,…前10項(xiàng)的和為_(kāi)_______. 探究點(diǎn)一 求通項(xiàng)公式 例1 已知數(shù)列{an}滿足an+1=,a1=2,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 變式遷移1 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2. (1)設(shè)bn=an+1-2an,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 探究點(diǎn)二 裂項(xiàng)相消法求和 例2 已知數(shù)列{an},Sn是其前n項(xiàng)和,且an=7Sn-1+2(n≥2),a1=2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,Tn是數(shù)
7、列{bn}的前n項(xiàng)和,求使得Tn<對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.
變式遷移2 求數(shù)列1,,,…,,…的前n項(xiàng)和.
探究點(diǎn)三 錯(cuò)位相減法求和
例3 (2011荊門(mén)月考)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)、公比都為q (q>0且q≠1)的等比數(shù)列,bn=anlog4an (n∈N*).
(1)當(dāng)q=5時(shí),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn;
(2)當(dāng)q=時(shí),若bn 8、)的函數(shù)值中所有整數(shù)值的個(gè)數(shù)為g(n),an=(n∈N*),則Sn=a1-a2+a3-a4+…+(-1)n-1an= ( )
A.(-1)n-1 B.(-1)n
C. D.-
【答題模板】
答案 A
解析 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和.
當(dāng)x∈[n,n+1](n∈N*)時(shí),函數(shù)f(x)=x2+x的值隨x的增大而增大,則f(x)的值域?yàn)閇n2+n,n2+3n+2](n∈N*),∴g(n)=2n+3(n∈N*),于是an==n2.
方法一 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Sn=a1-a2+a3-a4+…+an-1-an=(12-22)+(32-42) 9、+…+[(n-1)2-n2]=-[3+7+…+(2n-1)]=-=-;
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn=(a1-a2)+(a3-a4)+…+(an-2-an-1)+an
=Sn-1+an=-+n2=,
∴Sn=(-1)n-1.
方法二 a1=1,a2=4,S1=a1=1,
S2=a1-a2=-3,
檢驗(yàn)選擇項(xiàng),可確定A正確.
【突破思維障礙】
在利用并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和時(shí),由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的,所以一般需要對(duì)項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行分類(lèi)討論,但最終的結(jié)果卻往往可以用一個(gè)公式來(lái)表示.
1.求數(shù)列的通項(xiàng):(1)公式法:例如等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng);
(2)觀察法:例如由數(shù)列的前幾項(xiàng)來(lái)求通項(xiàng);
(3) 10、可化歸為使用累加法、累積法;
(4)可化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列,然后利用公式法;
(5)求出數(shù)列的前幾項(xiàng),然后歸納、猜想、證明.
2.?dāng)?shù)列求和的方法:
一般的數(shù)列求和,應(yīng)從通項(xiàng)入手,若無(wú)通項(xiàng),先求通項(xiàng),然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形,轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式,從而選擇合適的方法求和.
3.求和時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題:
(1)直接用公式求和時(shí),注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過(guò)程.
(2)注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律,在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上或分解為基本數(shù)列求和,或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和.
(滿分:75分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.(2010廣東)已知數(shù)列{an 11、}為等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和,若a2a3=2a1且a4與2a7的等差中項(xiàng)為,則S5等于 ( )
A.35 B.33 C.31 D.29
2.(2011黃岡調(diào)研)有兩個(gè)等差數(shù)列{an},{bn},其前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,若=,則= ( )
A. B.
C. D.
3.如果數(shù)列{an}滿足a1=2,a2 12、=1且= (n≥2),則此數(shù)列的第10項(xiàng)( )
A. B. C. D.
4.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若an=,則S5等于 ( )
A.1 B. C. D.
5.?dāng)?shù)列1,1+2,1+2+4,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n項(xiàng)和Sn>1 020,那么n的最小值是 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
題號(hào)
1
2
3
4
5
答案
13、
二、填空題(每小題4分,共12分)
6.(2010東北師大附中高三月考)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且a1=1,an+1=3Sn(n=1,2,3,…),則log4S10=__________.
7.(原創(chuàng)題)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=-2,an+2=-,則該數(shù)列前26項(xiàng)的和為_(kāi)_______.
8.對(duì)于數(shù)列{an},定義數(shù)列{an+1-an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”,若a1=2,{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)為2n,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=____________.
三、解答題(共38分)
9.(12分)(2011河源月考)已知函數(shù)f(x)=x2-2 14、(n+1)x+n2+5n-7(n∈N*).
(1)若函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{an},試證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列{bn},試求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
10.(12分)(2011三門(mén)峽月考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=nan+an-c(c是常數(shù),n∈N*),a2=6.
(1)求c的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明++…+<.
11.(14分)(2010北京宣武高三期中)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=3n,數(shù)列{bn}滿足b1=-1,bn+1=bn 15、+(2n-1) (n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn;
(3)若cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
答案 自主梳理
1.(2)累加法 (3)累積法 2.(1)① na1+d 倒序相加法 ②na1 ③ n2+n n2 2
自我檢測(cè)
1.C 2.B 3.B 4.B
5.10 100 6.145
課堂活動(dòng)區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式這類(lèi)問(wèn)題要求不高,主要掌握由a1和遞推關(guān)系先求出前幾項(xiàng),再歸納、猜想an的方法,以及累加:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1 16、)+a1;累乘:an=…a1等方法.
解 已知遞推可化為
-=,
∴-=,-=,-=,…,-=.
將以上(n-1)個(gè)式子相加得
-=+++…+,
∴==1-.
∴an=.
變式遷移1 (1)證明 由已知有
a1+a2=4a1+2,
解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3.
又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-(4an+2)
=4an+1-4an;
于是an+2-2an+1=2(an+1-2an),
即bn+1=2bn.
因此數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列.
(2)解 由(1)知等比數(shù)列{bn}中,b1=3,公比q=2,
所以 17、an+1-2an=32n-1,
于是-=,
因此數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,
=+(n-1)=n-,
所以an=(3n-1)2n-2.
例2 解題導(dǎo)引 1.利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),也有可能前面剩兩項(xiàng),后面也剩兩項(xiàng).再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后,有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等.
2.一般情況如下,若{an}是等差數(shù)列,
則=,=.
此外根式在分母上時(shí)可考慮利用有理化因式相消求和.
解 (1)∵n≥2時(shí),an=7Sn-1+2,∴an+1=7Sn+2,
兩式相減,得an+1-an=7an,∴an+1=8 18、an(n≥2).
又a1=2,∴a2=7a1+2=16=8a1,
∴an+1=8an(n∈N*).
∴{an}是一個(gè)以2為首項(xiàng),8為公比的等比數(shù)列,
∴an=28n-1=23n-2.
(2)∵bn==
=(-),
∴Tn=(1-+-+…+-)
=(1-)<.
∴≥,∴最小正整數(shù)m=7.
變式遷移2 解 an==2,
∴Sn=2[++…+]=2=.
例3 解題導(dǎo)引 1.一般地,如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和時(shí),可采用錯(cuò)位相減法.
2.用乘公比錯(cuò)位相減法求和時(shí),應(yīng)注意:
(1)要善于識(shí)別題目類(lèi)型,特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情 19、形;
(2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn-qSn”的表達(dá)式.
解 (1)由題意得an=qn,
∴bn=anlog4an=qnlog4qn
=n5nlog45,
∴Sn=(15+252+…+n5n)log45,
設(shè)Tn=15+252+…+n5n,①
則5Tn=152+253+…+(n-1)5n+n5n+1,②
①-②得-4Tn=5+52+53+…+5n-n5n+1
=-n5n+1,
∴Tn=(4n5n-5n+1),
Sn=(4n5n-5n+1)log45.
(2)∵bn=anlog4an=nnlog4,
∴bn 20、+1-bn=(n+1)n+1log4-
nnlog4
=nlog4>0,
∵n>0,log4<0,
∴-<0,∴n>14,
即n≥15時(shí),bn 21、∴an+1=4an,即=4.
∴{an}為以a2為首項(xiàng),公比為4的等比數(shù)列.
當(dāng)n=1時(shí),a2=3S1=3,
∴n≥2時(shí),an=34n-2,
S10=a1+a2+…+a10
=1+3+34+342+…+348
=1+3(1+4+…+48)
=1+3=1+49-1=49.
∴l(xiāng)og4S10=log449=9.
7.-10
解析 依題意得,a1=1,a2=-2,a3=-1,a4=,a5=1,a6=-2,a7=-1,a8=,所以數(shù)列周期為4,S26=6(1-2-1+)+1-2=-10.
8.2n+1-2
解析 依題意,有a2-a1=2,a3-a2=22,a4-a3=23,…, 22、an-an-1=2n-1,所有的代數(shù)式相加得an-a1=2n-2,即an=2n,所以Sn=2n+1-2.
9.解 f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7
=[x-(n+1)]2+3n-8.…………………………………………………………………(3分)
(1)由題意,an=n+1,
故an+1-an=(n+1)+1-(n+1)=1,
故數(shù)列{an}是以1為公差,2為首項(xiàng)的等差數(shù)列.……………………………………(5分)
(2)由題意,bn=|3n-8|.……………………………………………………………………(7分)
當(dāng)1≤n≤2時(shí),bn=-3n+8,
數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,b1 23、=5,
∴Sn==;………………………………………………………(9分)
當(dāng)n≥3時(shí),bn=3n-8,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,b3=1.
∴Sn=S2+=.…………………………………………(11分)
∴Sn=……………………………………………(12分)
10.(1)解 因?yàn)镾n=nan+an-c,
所以當(dāng)n=1時(shí),S1=a1+a1-c,
解得a1=2c,………………………………………………………………………………(2分)
當(dāng)n=2時(shí),S2=a2+a2-c,
即a1+a2=2a2-c,解得a2=3c,………………………………………………………(3分)
所以3c=6,解得c=2; 24、…………………………………………………………………(4分)
則a1=4,數(shù)列{an}的公差d=a2-a1=2,
所以an=a1+(n-1)d=2n+2.……………………………………………………………(6分)
(2)證明 因?yàn)椋?
=++…+
=(-)+(-)+…+(-)
=[(-)+(-)+…+(-)]……………………………………………(8分)
=(-)=-.……………………………………………………………(10分)
因?yàn)閚∈N*,所以++…+<.…………………………………………(12分)
11.解 (1)∵Sn=3n,
∴Sn-1=3n-1 (n≥2).
∴an=Sn 25、-Sn-1=3n-3n-1=23n-1 (n≥2).……………………………………………(3分)
當(dāng)n=1時(shí),231-1=2≠S1=a1=3,…………………………………………………(4分)
∴an=……………………………………………………(5分)
(2)∵bn+1=bn+(2n-1),
∴b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5,…,
bn-bn-1=2n-3.
以上各式相加得
bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)
==(n-1)2.
∵b1=-1,∴bn=n2-2n.………………………………………………………………(7分)
(3)由題意得
cn=……………………………………………………(9分)
當(dāng)n≥2時(shí),Tn=-3+2031+2132+2233+…+2(n-2)3n-1,
∴3Tn=-9+2032+2133+2234+…+2(n-2)3n,
相減得-2Tn=6+232+233+…+23n-1-2(n-2)3n.
∴Tn=(n-2)3n-(3+32+33+…+3n-1)
=(n-2)3n-=.…………………………………………………(13分)
T1=-3也適合.
∴Tn= (n∈N*).…………………………………………………………(14分)
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