高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案導(dǎo)學(xué)案【第七章】不等式、推理與證明 學(xué)案34
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1、 精品資料 學(xué)案34 一元二次不等式及其解法 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.3.會(huì)解一元二次不等式,對(duì)給定的一元二次不等式,會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖. 自主梳理 1.一元二次不等式的定義 只含有一個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是____的不等式叫一元二次不等式. 2.二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根與一元二次不等式的解集之間的關(guān)系 判別式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函數(shù) y=ax2
2、+bx +c(a>0) 的圖象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有兩相異實(shí)根 x1,2= (x1<x2) 有兩相等實(shí)根 x1=x2 =________ 沒有實(shí)根 一元二 次不等 式ax2 +bx+ c>0 的解集 a>0 {x|x<x1, 或x>x2} {x|x≠____} ______ a<0 {x|x1<x<x2} ____ ____ 自我檢測(cè) 1.(2011·廣州模擬)已知p:關(guān)于x的不等式x2+2ax-a>0的解集是R
3、,q:-1<a<0,則p是q的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 2.設(shè)函數(shù)f(x)= 則不等式f(x)>f(1)的解集是( ) A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) 3.已知不等式x2-2x-3<0的解集為A,不等式x2+x-6<0的解集是B,不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,那么a+b等于( ) A.-3 B.1 C.-1 D.3 4.(2
4、011·廈門月考)已知f(x)=ax2-x-c>0的解集為(-3,2),則y=f(-x)的圖象是( ) 5.當(dāng)x∈(1,2)時(shí),不等式x2+mx+4<0恒成立,則m的取值范圍為________________. 探究點(diǎn)一 一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式: (1)-x2+2x->0; (2)9x2-6x+1≥0. 變式遷移1 解下列不等式: (1)2x2+4x+3<0; (2)-3x2-2x+8≤0; (3)8x-1≥16x2. 探究點(diǎn)二
5、含參數(shù)的一元二次不等式的解法 例2 已知常數(shù)a∈R,解關(guān)于x的不等式ax2-2x+a<0. 變式遷移2 解關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0. 探究點(diǎn)三 一元二次不等式恒成立問題 例3 (2011·巢湖月考)已知f(x)=x2-2ax+2 (a∈R),當(dāng)x∈[-1,+∞)時(shí),f(x)≥a恒成立,求a的取值范圍. 變式遷移3 (1)關(guān)于x的不等式<2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. (2)若不等式x2+px>4x+p
6、-3對(duì)一切0≤p≤4均成立,試求實(shí)數(shù)x的取值范圍. 轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用 例 (12分)已知不等式ax2+bx+c>0的解集為(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集. 【答題模板】 解 由已知不等式的解集為(α,β)可得a<0, ∵α,β為方程ax2+bx+c=0的兩根, ∴由根與系數(shù)的關(guān)系可得[4分] ∵a<0,∴由②得c<0,[5分] 則cx2+bx+a<0可化為x2+x+>0.[6分] ①÷②,得==-<0,由②得==·
7、;>0, ∴、為方程x2+x+=0的兩根.[10分] ∵0<α<β,∴不等式cx2+bx+a<0的解集為{x|x<或x>}.[12分] 【突破思維障礙】 由ax2+bx+c>0的解集是一個(gè)開區(qū)間,結(jié)合不等式對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象知a<0,要求cx2+bx+a<0的解集首先需要判斷二次項(xiàng)系數(shù)c的正負(fù),由方程根與系數(shù)關(guān)系知=α·β>0,因a<0,∴c<0,從而知道cx2+bx+a<0的解集是x大于大根及小于小根對(duì)應(yīng)的兩個(gè)集合.要想求出解集,需用已知量α,β代替參數(shù)c、b、a,需對(duì)不等式cx2+bx+a<0
8、兩邊同除c或a,用α、β代替后,就不難找到要求不等式對(duì)應(yīng)方程的兩根,從而求出不等式的解集.本題較好地體現(xiàn)了三個(gè)“二次”之間的相互轉(zhuǎn)化. 1.三個(gè)“二次”的關(guān)系:二次函數(shù)是主體,一元二次方程和一元二次不等式分別為二次函數(shù)的函數(shù)值為零和不為零的兩種情況,一般討論二次函數(shù)常將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式來研究,而討論一元二次方程和一元二次不等式又常與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系,通過二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來解決.一元二次不等式解集的端點(diǎn)值就是相應(yīng)的一元二次方程的根,也是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),即二次函數(shù)的零點(diǎn). 2.解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟:解含參數(shù)的一元二次不等式可按
9、如下步驟進(jìn)行:1°二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論參數(shù)是等于0、小于0、還是大于0.然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式.2°判斷方程的根的個(gè)數(shù),討論判別式Δ與0的關(guān)系.3°確定無根時(shí)可直接寫出解集,確定方程有兩個(gè)根時(shí),要討論兩根的大小關(guān)系,從而確定解集的形式. 3.不等式恒成立問題:不等式恒成立,即不等式的解集為R,一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)恒成立的條件是ax2+bx+c<0 (a≠0)恒成立的條件是 (滿分:75分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.函數(shù)y=的定義域是( ) A.[-,-1)∪(1,] B
10、.[-,-1]∪(1,) C.[-2,-1)∪(1,2] D.(-2,-1)∪(1,2) 2.(2010·撫順模擬)已知集合P={x|>0},集合Q={x|x2+x-2≥0},則x∈Q是x∈P的( ) A.充分條件但不是必要條件 B.必要條件但不是充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 3.(2011·銀川模擬)已知集合M={x|x2-2 008x-2 009>0},N={x|x2+ax+b≤0},若M∪N=R,M∩N=(2 009,2 010],則( ) A.a(chǎn)=2 009,b=-2 010 B.a(chǎn)=-2 009,b
11、=2 010 C.a(chǎn)=2 009,b=2 010 D.a(chǎn)=-2 009,b=-2 010 4.若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0對(duì)任何實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ) A.m>1 B.m<-1 C.m<- D.m>1或m<- 5.(創(chuàng)新題)已知a1>a2>a3>0,則使得(1-aix)2<1 (i=1,2,3)都成立的x的取值范圍是( ) A. B. C. D. 二、填空題(每小題4分,共12分) 6.在R上定義運(yùn)算?:x?y=
12、x(1-y),若不等式(x-a)?(x+a)<1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則a的取值范圍為________. 7.已知函數(shù)f(x)=則滿足f(x)>1的x的取值范圍為______________. 8.(2011·泉州月考) 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),函數(shù)y=f′(x)的圖象如右圖所示,且f(-2)=1,f(3)=1,則不等式f(x2-6)>1的解集為__________________. 三、解答題(共38分) 9.(12分)解關(guān)于x的不等式<0 (a∈R).
13、 10.(12分)若不等式ax2+bx+c≥0的解集是,求不等式cx2+bx+a<0的解集. 11.(14分)(2011·煙臺(tái)月考)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+3. (1)當(dāng)x∈R時(shí),f(x)≥a恒成立,求a的取值范圍; (2)當(dāng)x∈[-2,2]時(shí),f(x)≥a恒成立,求a的取值范圍. 學(xué)案34 一元二次不等式及其解法 自主梳理 1.2 2.- - R ? ? 自我檢測(cè) 1.C 2.A 3.A 4.D 5.(-∞,-5] 解析 記f(x)=x2+mx+4,根據(jù)題意得 解得m≤-
14、5. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1 解題導(dǎo)引 解一元二次不等式的一般步驟 (1)對(duì)不等式變形,使一端為0且二次項(xiàng)系數(shù)大于0,即ax2+bx+c>0(a>0),ax2+bx+c<0(a>0). (2)計(jì)算相應(yīng)的判別式. (3)當(dāng)Δ≥0時(shí),求出相應(yīng)的一元二次方程的根. (4)根據(jù)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖象,寫出不等式的解集. 解 (1)兩邊都乘以-3,得3x2-6x+2<0, 因?yàn)?>0,且方程3x2-6x+2=0的解是 x1=1-,x2=1+, 所以原不等式的解集是{x|1-<x<1+}. (2)∵不等式9x2-6x+1≥0, 其相應(yīng)方程9x2
15、-6x+1=0, Δ=(-6)2-4×9=0, ∴上述方程有兩相等實(shí)根x=, 結(jié)合二次函數(shù)y=9x2-6x+1的圖象知,原不等式的解集為R. 變式遷移1 解 (1)∵不等式2x2+4x+3<0可轉(zhuǎn)化為 2(x+1)2+1<0,而2(x+1)2+1>0, ∴2x2+4x+3<0的解集為?. (2)兩邊都乘以-1,得3x2+2x-8≥0, 因?yàn)?>0,且方程3x2+2x-8=0的解是 x1=-2,x2=, 所以原不等式的解集是(-∞,-2]∪[,+∞). (3)原不等式可轉(zhuǎn)化為16x2-8x+1≤0, 即(4x-1)2≤0, ∴原不
16、等式的解集為{}. 例2 解題導(dǎo)引 (1)含參數(shù)的一元二次不等式,若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù),可先考慮分解因式,再對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論;若不易因式分解,則可對(duì)判別式進(jìn)行分類討論,分類要不重不漏. (2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù),則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)是否為零,然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)的情形,以便確定解集的形式. (3)其次對(duì)方程的根進(jìn)行討論,比較大小,以便寫出解集. 解 上述不等式不一定為一元二次不等式,當(dāng)a=0時(shí)為一元一次不等式,當(dāng)a≠0時(shí)為一元二次不等式,故應(yīng)對(duì)a進(jìn)行討論,然后分情況求解. (1)a=0時(shí),解為x>0. (2)a>0時(shí),Δ=4-4a2. ①當(dāng)Δ>0,即0<a
17、<1時(shí), 方程ax2-2x+a=0的兩根為, ∴不等式的解集為{x|<x<}. ②當(dāng)Δ=0,即a=1時(shí),x∈?; ③當(dāng)Δ<0,即a>1時(shí),x∈?. (3)當(dāng)a<0時(shí), ①Δ>0,即-1<a<0時(shí), 不等式的解集為{x|x<或x>}. ②Δ=0,即a=-1時(shí),不等式化為(x+1)2>0, ∴解為x∈R且x≠-1. ③Δ<0,即a<-1時(shí),x∈R. 綜上所述,當(dāng)a≥1時(shí),原不等式的解集為?; 當(dāng)0<a<1時(shí),解集為 {x|<x<}; 當(dāng)a=0時(shí),解集為{x|x&g
18、t;0}; 當(dāng)-1<a<0時(shí),解集為 {x|x<或x>}; 當(dāng)a=-1時(shí),解集為{x|x∈R且x≠-1}; 當(dāng)a<-1時(shí),解集為{x|x∈R}. 變式遷移2 解 ①當(dāng)a=0時(shí),解得x>1. ②當(dāng)a>0時(shí),原不等式變形為(x-)(x-1)<0, ∴a>1時(shí),解得<x<1; a=1時(shí),解得x∈?; 0<a<1時(shí),解得1<x<. ③當(dāng)a<0時(shí),原不等式變形為(x-)(x-1)>0, ∵<1,∴解不等式可得x<或x>1. 綜上所述,當(dāng)a<0時(shí),不等式解集
19、為(-∞,)∪(1,+∞); 當(dāng)a=0時(shí),不等式解集為(1,+∞); 當(dāng)0<a<1時(shí),不等式解集為(1,); 當(dāng)a=1時(shí),不等式解集為?; 當(dāng)a>1時(shí),不等式解集為(,1). 例3 解題導(dǎo)引 注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,二次不等式在區(qū)間上恒成立的問題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值問題. 解 方法一 f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=a. ①當(dāng)a∈(-∞,-1)時(shí),f(x)在[-1,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)min=f(-1)=2a+3.要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a, 即2a+3≥a,解得-3≤a<-1; ②當(dāng)a∈[-
20、1,+∞)時(shí),f(x)min=f(a)=2-a2, 由2-a2≥a,解得-1≤a≤1. 綜上所述,所求a的取值范圍為-3≤a≤1. 方法二 令g(x)=x2-2ax+2-a,由已知, 得x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞)上恒成立, 即Δ=4a2-4(2-a)≤0或 解得-3≤a≤1. 變式遷移3 解 (1)∵x2-2x+3=(x-1)2+2>0, ∴不等式<2同解于4x+m<2x2-4x+6,即2x2-8x+6-m>0. 要使原不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立. ∴Δ<0,即64-8(6-m)
21、<0, 整理并解得m<-2. ∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-2). (2)∵x2+px>4x+p-3, ∴(x-1)p+x2-4x+3>0. 令g(p)=(x-1)p+x2-4x+3, 則要使它對(duì)0≤p≤4均有g(shù)(p)>0, 只要有. ∴x>3或x<-1. ∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為(-∞,-1)∪(3,+∞). 課后練習(xí)區(qū) 1.A [由已知有(x2-1)≥0, ∴ ∴ ∴-≤x<-1或1<x≤.] 2.D [化簡(jiǎn)得P={x<-1,或x>1},Q={x≤-2,或x≥1},集合P,Q之間不存在包含關(guān)系, 所
22、以x∈Q是x∈P的既不充分又不必要條件.] 3.D [化簡(jiǎn)得M={x|x<-1或x>2 009}, 由M∪N=R,M∩N=(2 009,2 010]可知N={x|-1≤x≤2 010},即-1,2 010是方程x2+ax+b=0的兩個(gè)根. 所以b=-1×2 010=-2 010,-a=-1+2 010,即a=-2 009.] 4.C [當(dāng)m=-1時(shí),不等式變?yōu)?x-6<0,即x<3,不符合題意. 當(dāng)m≠-1時(shí),由題意知 化簡(jiǎn),得 解得m<-.] 5.B [(1-aix)2<1,即ax2-2aix<0, 即aix(aix-
23、2)<0,由于ai>0,這個(gè)不等式可以化為 x<0,即0<x<,若對(duì)每個(gè)都成立,則應(yīng)最小, 即ai應(yīng)最大,也即是0<x<.] 6.(-,) 解析 由題意知,(x-a)?(x+a)<1 ?(x-a)(1-x-a)<1 ?x2-x-(a2-a-1)>0. 因上式對(duì)x∈R都成立, 所以Δ=1+4(a2-a-1)<0, 即4a2-4a-3<0.所以-<a<. 7.(-∞,-1)∪(2,+∞) 解析 當(dāng)x>0時(shí),由log2x>1,得x>2; 當(dāng)x≤0時(shí),由x2>1,得x&l
24、t;-1. 綜上可知,x的取值范圍為(-∞,-1)∪(2,+∞). 8.(2,3)∪(-3,-2) 解析 由導(dǎo)函數(shù)圖象知當(dāng)x<0時(shí),f′(x)>0, 即f(x)在(-∞,0)上為增函數(shù); 當(dāng)x>0時(shí),f′(x)<0,即f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù), 故不等式f(x2-6)>1等價(jià)于f(x2-6)>f(-2)或f(x2-6)>f(3),即-2<x2-6≤0或0≤x2-6<3, 解得x∈(2,3)∪(-3,-2). 9.解 <0?(x-a)(x-a2)<0,(2分) ①當(dāng)a=0或a=1時(shí),原不等式的解集為?;(
25、4分) ②當(dāng)a<0或a>1時(shí),a<a2,此時(shí)a<x<a2;(7分) ③當(dāng)0<a<1時(shí),a>a2,此時(shí)a2<x<a.(10分) 綜上,當(dāng)a<0或a>1時(shí),原不等式的解集為{x|a<x<a2}; 當(dāng)0<a<1時(shí),原不等式的解集為{x|a2<x<a}; 當(dāng)a=0或a=1時(shí),原不等式解集為?.(12分) 10.解 由ax2+bx+c≥0的解集為 ,知a<0,(3分) 又×2=<0,則c>0. 又-,2為方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根,(6分) ∴
26、-=,即=-. 又∵=-,∴b=-a,c=-a.(8分) ∴不等式cx2+bx+a<0變?yōu)閤2+x+a<0, 即2ax2+5ax-3a>0. 又∵a<0,∴2x2+5x-3<0, ∴所求不等式的解集為.(12分) 11.解 (1)∵x∈R時(shí),有x2+ax+3-a≥0恒成立, 需Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0, ∴-6≤a≤2.(4分) (2)當(dāng)x∈[-2,2]時(shí),設(shè)g(x)=x2+ax+3-a≥0,分如下三種情況討論(如圖所示): ①如圖(1),當(dāng)g(x)的圖象恒在x軸上方,滿足條件時(shí), 有Δ=a2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.(7分) ②如圖(2),g(x)的圖象與x軸有交點(diǎn), 但在x∈[-2,+∞)時(shí),g(x)≥0, 即 即? 解之,得a∈?.(10分) ③如圖(3),g(x)的圖象與x軸有交點(diǎn), 但在x∈(-∞,2]時(shí),g(x)≥0,即 即? ?-7≤a≤-6.(13分) 綜合①②③,得a∈[-7,2].(14分)
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