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1、 精品資料 第8講　函數與方程 一、填空題 1．若a>2，則函數f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)內零點的個數為________． 解析 依題意得f′(x)＝x2－2ax，由a>2可知，f′(x)在x∈(0,2)時恒為負，即f(x)在(0,2)內單調遞減，又f(0)＝1>0，f(2)＝－4a＋1<0，因此f(x)在(0,2)內只有一個零點． 答案 1 2．已知符號函數sgn(x)＝則函數f(x)＝sgn(ln x)－ln2x 的零點個數為________． 解析 依題意得，當x＞1時，ln x＞0，sgn(ln x

2、)＝1，f(x)＝sgn(ln x)－ln2x＝1－ln2x，令1－ln2x＝0，得x＝e或x＝，結合x＞1，得x＝e；當x＝1時，ln x＝0，sgn(ln x)＝0，f(x)＝－ln2x，令－ln2x＝0，得x＝1，符合；當0＜x＜1時，ln x＜0，sgn(ln x)＝－1，f(x)＝－1－ln2x.令－1－ln2x＝0，得ln2x＝－1，此時無解．因此，函數f(x)＝sgn(ln x)－ln2x的零點個數為2. 答案 2 3．若定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]時，f(x) ＝1－x2，函數g(x)＝則函數h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[

3、－5,5]內的零點的個數是________． 解析 依題意得，函數f(x)是以2為周期的函數，在同一坐標系下畫出函數y＝f(x)與函數y＝g(x)的圖象，結合圖象得，當x∈[－5,5]時，它們的圖象的公共點共有8個，即函數h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－5,5]內的零點的個數是8. 答案 8 4．設函數f(x)＝x－ln x(x＞0)，則函數f(x)在區(qū)間(0,1)，(1，＋∞)內的零點個數分別為________． 解析　設y＝x與y＝ln x，作圖象可知f(x)在區(qū)間(0,1)內無零點，在(1，＋∞)內僅有兩個零點． 答案　0,2 5．設函數f(x)＝則函數g(x)

4、＝f(x)－log4x的零點個數為________． 解析　設y＝f(x)與y＝log4x，分別畫出它們的圖象，得有2個交點，所以函數g(x)的零點個數為2. 答案　2 6．已知函數f(x)＝若函數g(x)＝f(x)－m有3個零點，則實數m的取值范圍是________．　 解析　畫出圖象，令g(x)＝f(x)－m＝0，即y＝f(x)與y＝m的圖象的交點有3個，∴0＜m＜1. 答案　(0,1) 7．方程log2(x＋4)＝2x的根有________個． 解析 作函數y＝log2(x＋4)，y＝2x的圖象如圖所示，兩圖象有兩個交點，且交點橫坐標一正一負，∴方程有一正根和一負根．

5、 答案 2 8．已知函數f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一個零點在(2,3)內，則實數k的取值范圍是________． 解析　因為Δ＝(1－k)2＋4k＝(1＋k)2≥0對一切k∈R恒成立，又k＝－1時，f(x)的零點x＝－1?(2,3)，故要使函數f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一個零點在(2,3)內，則必有f(2)f(3)<0，即2

6、ln x有公共點， 所以k≤. 答案　 10．已知函數f(x)＝1＋x－＋－＋…＋，g(x)＝1－x＋－＋－…－，設F(x)＝f(x＋3)g(x－3)，且函數F(x)的零點均在區(qū)間[a，b](a＜b，a，b∈Z)內，則b－a的最小值為________． 解析　由f′(x)＝1－x＋x2－x3＋…＋x2 010＝， 則f′(x)＞0，f(x)為增函數，又f(0)＝1＞0，f(－1)＜0， 從而f(x)的零點在(－1,0)上；同理g(x)為減函數，零點在(1,2)上，∴F(x)的零點在(－4，－3)和(4,5)上，要使區(qū)間[a，b]包含上述區(qū)間，則需(b－a)min＝9. 答案　9

7、 二、解答題 11．已知函數f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)． (1)若g(x)＝m有零點，求m的取值范圍； (2)試確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根． 解 (1)∵g(x)＝x＋≥2＝2e，等號成立的條件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，則g(x)＝m就有零點． (2)若g(x)－f(x)＝0有兩個相異的實根，即g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點．作出g(x)＝x＋(x>0)和f(x)的圖象如圖． ∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2， 其對稱軸為直線x＝e，

8、開口向下，最大值為m－1＋e2， 故當m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1時，g(x)與f(x)有兩個交點，即g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根， ∴m的取值范圍是m>－e2＋2e＋1. 12．已知二次函數f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]內至少存在一個實數c，使f(c)＞0，求實數p的取值范圍． 解 二次函數f(x)在區(qū)間[－1,1]內至少存在一個實數c，使f(c)＞0的否定是對于區(qū)間[－1,1]內的任意一個x都有f(x)≤0， ∴ 即 整理得 解得p≥或p≤－3， ∴二次函數f(x)在區(qū)間[－1,1]內至少存在一個實數c，使f(c

9、)＞0的實數p的取值范圍是. 13．已知函數f(x)＝|x－a|－ln x，a∈R. (1)求函數f(x)的單調區(qū)間； (2)若函數f(x)有兩個零點x1，x2(x10，函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，＋∞)． 當a>0時， f(x)＝|x－a|－ln x＝ 若x≥a，f′(x)＝1－＝>0，此時函數f(x)單調遞增， 若0

10、時，函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，＋∞)； 當a>0時，函數f(x)的單調遞減區(qū)間為(0，a)；單調遞增區(qū)間為(a，＋∞)． (2)證明　由(1)知，當a≤0時，函數f(x)單調遞增，至多只有一個零點，不合題意； 則必有a>0，此時函數f(x)的單調遞減區(qū)間為(0，a)；單調遞增區(qū)間為(a，＋∞)， 由題意，必須f(a)＝－ln a<0，解得a>1. 由f(1)＝a－1－ln 1＝a－1>0，f(a)<0，得x1∈(1，a)． 而f(a2)＝a2－a－aln a＝a(a－1－ln a)， 下面證明：a>1時，a－1－ln a>0. 設g(x)＝x－1－ln x，x>1，

11、則g′(x)＝1－＝>0， ∴g(x)在x>1時遞增，則g(x)>g(1)＝0， ∴f(a2)＝a2－a－aln a＝a(a－1－ln a)>0，又f(a)<0， ∴x2∈(a，a2)，綜上，10，a，c∈R)． (1)設a>c>0.若f(x)>c2－2c＋a對x∈[1，＋∞)恒成立，求c的取值范圍； (2)函數f(x)在區(qū)間(0,1)內是否有零點，有幾個零點？為什么？ 解　(1)因為二次函數f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的圖象的對稱軸為x＝，由條件a>c>0，得2a>a＋c， 故<＝<

12、1， 即二次函數f(x)的對稱軸在區(qū)間[1，＋∞)的左邊， 且拋物線開口向上，故f(x)在[1，＋∞)內是增函數． 若f(x)>c2－2c＋a對x∈[1，＋∞)恒成立， 則f(x)min＝f(1)>c2－2c＋a， 即a－c>c2－2c＋a，得c2－c<0，所以00，f(1)＝a－c>0，則a>c>0. 因為二次函數f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的圖象的對稱軸是x＝.而f＝<0， 所以函數f(x)在區(qū)間和內各有一個零點，故函數f(x)在區(qū)間(0,1)內有兩個零點．