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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第八章 :第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系回扣主干知識提升學(xué)科素養(yǎng)

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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第八章 :第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系回扣主干知識提升學(xué)科素養(yǎng)_第1頁
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1、 第四節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 【考綱下載】[來源:] 1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系;能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系. 2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題. 3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.[來源:] 1.直線與圓的位置關(guān)系 (1)三種位置關(guān)系:相交、相切、相離. (2)兩種研究方法: 2.圓與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r(r1>0), 圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r(r2>0).    方法  位置關(guān)系    幾何法:圓心距

2、d與r1,r2的關(guān)系 代數(shù)法:兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況 相離 d>r1+r2 無解 外切 d=r1+r2[來源:] 一組實數(shù)解 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 兩組不同的實數(shù)解 內(nèi)切[來源:] d=|r1-r2|(r1≠r2) 一組實數(shù)解 內(nèi)含 0≤d<|r1-r2| (r1≠r2) 無解 1.兩圓不同的位置關(guān)系與對應(yīng)公切線的條數(shù)有何關(guān)系? 提示:當(dāng)兩圓外離時,有4條公切線; 當(dāng)兩圓外切時,有3條公切線; 當(dāng)兩圓相交時,有2條公切線; 當(dāng)兩圓內(nèi)切時,有1條公切線; 當(dāng)兩圓內(nèi)含時,沒有公切線. 2.若兩圓相

3、交時,公共弦所在直線方程與兩圓的方程有何關(guān)系? 提示:兩圓的方程作差,消去二次項得到關(guān)于x,y的二元一次方程,就是公共弦所在的直線方程. 1.直線x-y+1=0與圓(x+1)2+y2=1的位置關(guān)系是(  )[來源:] A.相切 B.直線過圓心 C.直線不過圓心,但與圓相交 D.相離 解析:選B 依題意圓心(-1,0),到直線x-y+1=0的距離d==0,所以直線過圓心. 2.(2012·山東高考)圓(x+2)2+y2=4與圓(x-2)2+(y-1)2=9的位置關(guān)系為(  ) A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離 解析

4、:選B 兩圓的圓心距離為,兩圓的半徑之差為1,之和為5,而1<<5,所以兩圓相交. 3.(2012·重慶高考)設(shè)A,B為直線y=x與圓x2+y2=1的兩個交點,則|AB|=(  ) A.1 B. C. D.2 解析:選D 因為直線y=x過圓x2+y2=1的圓心(0,0),所以所得弦長|AB|=2. 4.若圓x2+y2=1與直線y=kx+2沒有公共點,則實數(shù)k的取值范圍是____________. 解析:依題意知>1,解得-<k<. 答案:(-,) 5.已知直線5x+12y+m=0與圓x2-

5、2x+y2=0相切,則m=________. 解析:由圓x2-2x+y2=0,得(x-1)2+y2=1,則圓心為(1,0),半徑為r=1.由于直線和圓相切,則=1,得m=8或-18. 答案:8或-18 前沿?zé)狳c(十一) 直線與圓的綜合應(yīng)用問題 1.直線與圓的綜合應(yīng)用問題是高考中一類重要問題,常常以解答題的形式出現(xiàn),并且常常是將直線與圓和函數(shù)、三角、向量、數(shù)列及圓錐曲線等相互交匯,求解參數(shù)、函數(shù)、最值、圓的方程等問題. 2.對于這類問題的求解,首先要注意理解直線和圓等基礎(chǔ)知識及它們之間的深入聯(lián)系;其次要對問題的條件進行全方位的審視,特別是題中各個條件之間的相互關(guān)系及隱含

6、條件的挖掘,再次要掌握解決問題常用的思想方法,如數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、待定系數(shù)及分類討論等思想方法. [典例] (2011·新課標(biāo)全國卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2-6x+1與坐標(biāo)軸的交點都在圓C上. (1)求圓C的方程; (2)若圓C與直線x-y+a=0交于A,B兩點,且OA⊥OB,求a的值. [解題指導(dǎo)] (1)曲線與坐標(biāo)共有三個交點,由這三點即可求出圓的方程;(2)設(shè)交點坐標(biāo)A(x1,y1),B(x2,y2),直線方程與圓的方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系及⊥即可求出a的值. [解] (1)曲線y=x2-6x+1與y軸的交點為(0,1),與x軸的交點為(3+2

7、,0),(3-2,0). 故可設(shè)圓C的圓心為(3,t), 則有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1. 則圓C的半徑為=3. 所以圓C的方程為(x-3)2+(y-1)2=9. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則=(x1,y1),=(x2,y2), 其坐標(biāo)滿足方程組: 消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0. 由已知可得,判別式Δ=56-16a-4a2>0. 從而x1+x2=4-a,x1x2=.① 由于OA⊥OB,所以·=0,即x1x2+y1y2=0, 又y1=x1+a,y2=x2+a, 所以2x1x2+a(x1

8、+x2)+a2=0.② 由①②得a=-1,滿足Δ>0,故a=-1. [名師點評] 解答本題的關(guān)鍵有以下幾點: (1)正確找到確定圓的三個條件. (2)注意到OA⊥OB?·=0. (3)a的值必須滿足圓C與直線x-y+a=0相交. 1.已知直線ax+by=1(其中a,b是實數(shù))與圓x2+y2=1相交于A,B兩點,O是坐標(biāo)原點,且△AOB是直角三角形,則點P(a,b)與點M(0,1)之間的距離的最大值為(  ) A.+1 B.2 C. D.-1 解析:選A 直線ax+by=1(其中a,b是實數(shù))與圓x2+y2=1相交于A,B兩點,則依題意可知,△AOB是等腰直角三角形,坐標(biāo)原點O到直線ax+by=1的距離d==,即2a2+b2=2, ∴a2=(-≤b≤), 則|PM|== =, ∴當(dāng)b=-時,|PM|max==+1. 2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓x2+y2=4上有且只有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實數(shù)c的取值范圍是________. 解析:因為圓的半徑為2,且圓上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1,等價于圓心到直線的距離小于1,即<1,解得-13<c<13. 答案:(-13,13)

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