《新課標高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)：考點22橢圓含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新課標高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)：考點22橢圓含解析（21頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 考點22 橢圓 1.（20xx福建高考文科Ｔ１1）若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最大值為（ ） (A)2 （B）3 （C）6 （D）8 【命題立意】本題考查橢圓的基本概念、平面向量的內(nèi)積、利用二次函數(shù)求最值. 【思路點撥】先求出橢圓的左焦點，設(shè)出點P坐標，依題意寫出的表達式，進而轉(zhuǎn)化為求解條件最值的問題，利用二次函數(shù)的方法求解. 【規(guī)范解答】選C.設(shè)，則，，又因為， ，又， ，所以 . 2.（20xx廣東高考文科Ｔ7）若一個橢圓長軸的長度、短軸的

2、長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是（ ） （A） 　?。˙） 　　　 （C） 　?。―） 【命題立意】本題考查橢圓的基本性質(zhì)以及等差數(shù)列的定義. 【思路點撥】由橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，列出，，的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為，間的關(guān)系，從而求出. 【規(guī)范解答】選. 橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列, ， ，即： ，又 ， ，即 ，， （舍去）或 ， ，故選. 3．（20xx陜西高考理科Ｔ20）如圖，橢圓C： . (Ⅰ)求橢圓C的方程. (Ⅱ)設(shè)n是過原點的直線，l是與n垂直相交于P點、與橢圓相交于A,B

3、兩點的直線，是否存在上述直線l使成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由. 【命題立意】本題考查了橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力.其中問題（Ⅱ）是一個開放性問題，考查了觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力. 【思路點撥】已知的方程組橢圓C的方程假設(shè)存在直線l使命題成立結(jié)論 【規(guī)范解答】（Ⅰ）由知a2+b2=7, ① 由 ② 又， ③ 由 ①②③解得 故橢圓C的方程為 （Ⅱ）設(shè)A,B兩點的坐標分別為（x1,y1），(x1,y1

4、 )， 假設(shè)存在直線l使成立， （ⅰ）當l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為y=kx+m, 由l與n垂直相交于P點且得 因為， 由根與系數(shù)的關(guān)系得： ④ ⑤ 將④⑤代入上式并化簡得 （ⅱ）當l與x軸垂直時，滿足的直線l的方程為， 4.（20xx海南高考理科T20）設(shè)分別是橢圓E:（a>b>0）的左、右焦點，過斜率為1的直線與E 相交于兩點，且,,成等差數(shù)列. （Ⅰ)求E的離心率. （Ⅱ）設(shè)點P（0,-1）滿足,求E的方程. 【命題立意】本題綜合考查了橢圓的定義、等差數(shù)列的概念以及直線與橢圓的關(guān)系等.解決本題時，一定要靈活運用根與系數(shù)的關(guān)系以及弦長公式

5、等知識. 【思路點撥】利用等差數(shù)列的定義，得出,,滿足的一個關(guān)系，然后再利用橢圓的定義進行計算. 【規(guī)范解答】（Ⅰ)由橢圓的定義知，，又， 得 ，的方程為，其中. 設(shè)，則兩點坐標滿足方程組 化簡得，， 則 ，. 因為直線AB斜率為1，所以， 得，故,所以E的離心率. （Ⅱ）設(shè)兩點的中點為，由（Ⅰ)知，. 由，可知,即，得，從而. 橢圓E的方程為. 【方法技巧】熟練利用圓錐曲線的定義及常用的性質(zhì)，從題目中提取有價值的信息，然后列出方程組進行相關(guān)的計算. 5. （20xx陜西高考文科Ｔ20）如圖，橢圓C： . (Ⅰ)求橢圓C的方程. (Ⅱ)設(shè)n是過原

6、點的直線，l是與n垂直相交于P點、 與橢圓相交于A,B兩點的直線，是否存在上述直線l使成立？ 若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由. 【命題立意】本題考查了橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力.其中問題（Ⅱ）是一個開放性問題，考查了觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力. 【思路點撥】已知的方程組橢圓C的方程假設(shè)存在直線l使命題成立結(jié)論 【規(guī)范解答】（Ⅰ）同理科. （Ⅱ）設(shè)A,B兩點的坐標分別為（x1,y1），(x2,y2)， 假設(shè)存在直線l使成立， （?。┊攍與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為y=kx

7、+m, 由l與n垂直相交于P點且得 由得 由根與系數(shù)的關(guān)系得： ④ ⑤ 將④⑤代入上式并化簡得 （ⅱ）當l與x軸垂直時，滿足的直線l的方程為， 6.（20xx江蘇高考Ｔ１8）在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A，B，右焦點為F.設(shè)過點T（）的直線TA，TB與此橢圓分別交于點M，，其中m>0,. （1）設(shè)動點P滿足,求點P的軌跡. （2）設(shè)，求點T的坐標. （3）設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關(guān)）. 【命題立意】本題主要考查求曲線的方程，考查直線與橢圓的方程及其相關(guān)的基礎(chǔ)知識.考查運算求解能力和探究問題的能力.

8、【思路點撥】（1）設(shè)出P點的坐標，然后代入，化簡即可.(2) 點T為直線MT和NT的交點.（3）聯(lián)立直線MAT、直線NBT和橢圓方程，求出M和N的坐標，從而求出直線MN的方程,進而求證結(jié)論. 【規(guī)范解答】（1）設(shè)點P（x，y），則：F（2，0），B（3，0），A（-3，0）. 由，得 化簡得， 故所求點P的軌跡為直線. （2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，），N（，）， 直線MTA方程為：，即， 直線NTB 方程為：，即. 聯(lián)立方程組，解得： 所以點T的坐標為. （3）點T的坐標為 直線MTA方程為：，即， 直線NTB 方程為：，即. 兩直線分別與橢圓聯(lián)立方程組，

9、同時考慮到， 解得：，. 方法一：當時，直線MN方程為： 令，解得：.此時直線必過點D（1，0）； 當時，直線MN方程為：，與x軸交點為D（1，0）. 所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）. 方法二：若，則由及，得， 此時直線MN的方程為，過點D（1，0）. 若，則，直線MD的斜率， 直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點. 因此，直線MN必過軸上的點（1，0）. 【方法技巧】由于定點、定值是變化中的不變量，引進參數(shù)表述這些量，不變的量就是與參數(shù)無關(guān)的量，通過研究何時變化的量與參數(shù)無關(guān)，找到定點或定值的方法叫做參數(shù)法，其解題的關(guān)鍵是用合適的參數(shù)表示變化的量.

10、 當要解決動直線過定點問題時，可以根據(jù)確定直線的條件建立直線系方程，通過該直線過定點所滿足的條件確定所要求的定點坐標. 7.O F2 F1 A x y （20xx安徽高考理科Ｔ19）已知橢圓經(jīng)過點，對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，離心率. (1)求橢圓的方程. (2)求的角平分線所在直線的方程. (3)在橢圓上是否存在關(guān)于直線對稱的相異兩點？ 若存在，請找出；若不存在，說明理由. 【命題立意】本題主要考查橢圓的定義及標準方程，橢圓的簡單性質(zhì)，點關(guān)于直線的對稱性等知識，考查考生在解析幾何的基本思想方法方面的認知水平，探究意識，創(chuàng)新意識和綜合運算求解能力． 【思路點撥】（

11、1）設(shè)出橢圓的標準方程，再根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建方程（組）求解. （2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出直線的斜率或直線上的一個點的坐標，進而求得直線的方程. （3）先假設(shè)橢圓上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點，在此基礎(chǔ)之上進行推理運算，根據(jù)推理結(jié)果做出判斷. 【規(guī)范解答】（1）設(shè)橢圓的方程為（）， 由題意，，又，解得：， 橢圓的方程為. （2）方法一：由（1）得，，又，易得為直角三角形，其中. 設(shè)的角平分線所在直線與x軸交于點，根據(jù)角平分線定理可知：，可得，， 直線的方程為：，即. 方法二：由（1）得，，又， ，， ， ，直線的方程為：，即. （3）假設(shè)橢圓上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點，

12、， 令，，且的中點為. ，， 又兩式相減得: ， ,即③， 又在直線上，④ 由③④解得：， 所以點與點是同一點，這與假設(shè)矛盾， 故橢圓上不存在關(guān)于直線對稱的相異兩點. 【方法技巧】 1.求圓錐曲線的方程，通常是利用待定系數(shù)法先設(shè)出曲線的標準方程，再根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建方程（組）求解. 2.利用向量表示出已知條件，可以將復(fù)雜的題設(shè)簡單化，便于理解和計算. 3.對于存在性問題，其常規(guī)解法是先假設(shè)命題存在，再根據(jù)題設(shè)條件進行推理運算，若能推得符合題意的結(jié)論，則存在性成立，否則，存在性不成立. 8.（20xx山東高考文科Ｔ22）如圖，已知橢圓過點，離心率為，左、右焦點分別

13、為，.點為直線上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為，和，，為坐標原點. （1）求橢圓的標準方程. （2）設(shè)直線，的斜率分別為，. ①證明：； ②問直線上是否存在點，使得直線，，， 的斜率，，，滿足？ 若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由. 【命題立意】本題主要考查橢圓的基本概念和性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想以及探求解決新問題的能力. 【思路點撥】(1)根據(jù)離心率和已知點構(gòu)造含有的方程組，可求出橢圓的方程.（2）①方法一：將點P的坐標用表示出來，再將點P的坐標代入直線進

14、行化簡；方法二：設(shè)出點P的坐標，再將用點P的坐標表示，并利用點P在直線上進行化簡；②利用根與系數(shù)的關(guān)系將用表示出來，將用表示出來，再由可得關(guān)于的方程，再聯(lián)立結(jié)論（1）可求出，最終可求出點P的坐標. 【規(guī)范解答】（1）因為橢圓過點（），，所以. 又，所以， 故 所求橢圓方程為 . (2) ①方法一：　由于，，，的斜率分別為，，且點P不在軸上，所以. 又直線，的方程分別為，，聯(lián)立方程組得 由于在直線上，所以，因此 即結(jié)論成立. 方法二：設(shè)，則，，因為點P不在軸上，所以， 又，所以結(jié)論成立. ②:設(shè) 聯(lián)立直線與橢圓的方程得化簡得, 因此 由于OA,OB的斜率存在,所

15、以因此k12 相似地可以得到, 若，則有. 當時，結(jié)合①的結(jié)論可得，所以解得點P的坐標為（0,2）； 當時，結(jié)合②的結(jié)論可得（此時，不滿足，舍去），此時直線CD的方程為，聯(lián)立方程得，因此點P的坐標為. 綜上所述，滿足條件的點P的坐標分別為（0,2），. 【方法技巧】解析幾何中的存在判斷型問題 1.基本特征：要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對象(數(shù)值、圖形)是否存在或某一結(jié)論和參數(shù)無關(guān). 2.基本策略：通常假定題中的數(shù)學(xué)對象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個前提下進行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論.其中反證法在解題中起著重要的作用.或者將該問題涉及

16、的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式來證明該式是恒成立的. 9.（20xx天津高考理科Ｔ20）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4. 求橢圓的方程. 設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標為（），點在線段的垂直平分線上，且，求的值. 【命題立意】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，平面向量等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運算和推理能力. 【思路點撥】（1）建立關(guān)于a,b的方程組求出a,b.（2）構(gòu)造新的一元二次方程求解. 【規(guī)范解答】（1）由，得，再由，得， 由題意可知， . 解方程組，得 a=2,b=1，所以橢

17、圓的方程為. (2)由（1）可知A（-2,0）.設(shè)B點的坐標為（x1,,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2), 于是A,B兩點的坐標滿足方程組 由方程組消去整理，得, 由得. 設(shè)線段AB的中點為M，則M的坐標為. 以下分兩種情況： （1）當k=0時，點B的坐標為（2,0）.線段AB的垂直平分線為y軸，于是 （2）當k時，線段AB的垂直平分線方程為 令x=0，解得 由 . 整理得，. 綜上. 10.（20xx天津高考文科Ｔ21）已知橢圓（a>b>0）的離心率e=，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4. （Ⅰ）求橢圓的方程. （Ⅱ）設(shè)

18、直線l與橢圓相交于不同的兩點A，B，已知點A的坐標為（-a，0）. （i）若，求直線l的傾斜角； （ii）若點Q在線段AB的垂直平分線上，且.求的值. 【命題立意】本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點間的距離公式、直線的傾斜角、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查綜合分析與運算能力. 【思路點撥】（1）建立關(guān)于a,b的方程組求出a,b；（2）構(gòu)造新方程綜合運用兩點間的距離公式、 平面向量等知識求解. 【規(guī)范解答】（Ⅰ）由e＝，得.再由，得a＝2b. 由題意可知，即ab＝2. 解方程組得a=2，b=1.

19、 所以橢圓的方程為. (Ⅱ)(i)由（Ⅰ）可知點A的坐標是（-2,0）.設(shè)點B的坐標為，直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+2）. 于是A，B兩點的坐標滿足方程組消去y并整理，得 . 由，得，從而. 所以. 由，得. 整理得，即，解得k＝. 所以直線l的傾斜角為或. （ii）設(shè)線段AB的中點為M，由（i）得到M的坐標為. 以下分兩種情況： （1）當k=0時，點B的坐標是（2,0），線段AB的垂直平分線為y軸，于是 由，得. （2）當時，線段AB的垂直平分線方程為. 令，解得. 由，， ， 整理得，故，所以. 綜上y0=或. 11.（20xx

20、北京高考文科Ｔ１9）已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是，，離心率是，直線與橢圓C交于不同的兩點M，N，以線段MN為直徑作圓P,圓心為P. （Ⅰ）求橢圓C的方程. （Ⅱ）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標. （Ⅲ）設(shè)Q（x,y）是圓P上的動點，當變化時，求y的最大值. 【命題立意】本題考查了求橢圓方程，直線與圓的位置關(guān)系，函數(shù)的最值.要求學(xué)生掌握橢圓標準方程中的關(guān)系，離心率.直線與圓相切問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于半徑來求解.第（Ⅲ）問中最大值的求法用到了三角代換，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想. 【思路點撥】由焦點可求出，再利用離心率可求出.直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離.

21、用換元法求y的最大值. 【規(guī)范解答】（Ⅰ）因為，且，所以， 所以橢圓C的方程為. （Ⅱ）由題意知P 由得， 所以圓P的半徑為. 由，解得.所以點P的坐標是（0，）. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，圓P的方程為.因為點在圓P上，所以由圖可知.設(shè)，則， 當，即時，取最大值2. 【方法技巧】（1）直線與圓的位置關(guān)系：時相離；時相切；時相交. （2）求無理函數(shù)的最值時三角代換是一種常用的去根號的技巧. 12.（20xx遼寧高考文科Ｔ20） 設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C:=1(a>b>0)的左右焦點，過F2的直線l與橢圓C相交于A,B兩點，直線l的傾斜角為60,F1到直線l的距離為2. (

22、Ⅰ)求橢圓C的焦距. (Ⅱ)如果，求橢圓C的方程. 【命題立意】本題考查了直線的點斜式方程，直角三角形中的邊角關(guān)系，考查了橢圓的離心率，橢圓的標準方程，平面向量的坐標以及推理運算能力. 【思路點撥】（1）利用直角三角形中的邊角關(guān)系直接求解. （2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去x,解出兩個交點的縱坐標，利用這兩個縱坐標間的關(guān)系，求出a ,進而求出橢圓方程. 【規(guī)范解答】 【方法技巧】1.第（I）問利用直角三角形中的邊角關(guān)系比用點到直線的距離要簡單，做題時要根據(jù)題目特點，靈活選擇解題策略. 2.直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立成方程組是一種常用的方法. 13.（20xx遼寧高考理科

23、Ｔ20）設(shè)橢圓C：的右焦點為F，過點F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60o,. 求橢圓C的離心率. 如果|AB|=，求橢圓C的方程. 【命題立意】本題考查了直線的點斜式方程，考查了橢圓的離心率，橢圓的標準方程，考查了圓錐曲線中的弦長問題，以及推理運算能力. 【思路點撥】（I）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去x,解出兩個交點的縱坐標，利用這兩個縱坐標間的關(guān)系，得出a，b，c間的關(guān)系，求出離心率. （II）利用弦長公式表示出|AB|，再結(jié)合離心率和，求出a，b，寫出橢圓方程. 【規(guī)范解答】 【方法技巧】 1.直線、圓錐曲線的綜合問題，往往是

24、聯(lián)立成方程組消去一個x(或y),得到關(guān)于y(或x)的一元二次方程，使問題得以解決. 2.弦長問題，注意使用弦長公式，并結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來解決問題. 14.（20xx福建高考理科Ｔ17）已知中心在坐標原點O的橢圓C經(jīng)過點A（2 , 3），且點F（2 ，0）為其右焦點. （I）求橢圓C的方程. （II）是否存在平行于OA的直線，使得直線與橢圓C有公共點，且直線OA與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由. 【命題立意】本小題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與 方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想. 【

25、思路點撥】第一步先求出左焦點，進而求出a,c,然后求解橢圓的標準方程；第二步依題意假設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用判別式限制參數(shù)t的范圍，再由直線OA與直線的距離等于4列出方程，求解出t的值，注意判別式對參數(shù)t的限制. 【規(guī)范解答】（I）依題意，可設(shè)橢圓的方程為，且可知左焦點為，從而有又，故橢圓的方程為. （II）假設(shè)存在符合題意的直線，其方程為，由，得，因為直線與橢圓C有公共點，所以，解得.另一方面，由直線OA與直線的距離等于4可得，由于，所以符合題意的直線不存在. 【方法技巧】在求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的相交弦問題時，我們一定要注意判別式的限制，因為橢圓與直線有交點

26、，注意應(yīng)用進行驗證可避免增根也可以用來限制參數(shù)的范圍. 15.（20xx湖南高考文科Ｔ19）為了考查冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川山上相距8Km的A，B兩點各建一個考查基地，視冰川面為平面形，以過A，B兩點的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系（圖4）.考查范圍為到A，B兩點的距離之和不超過10Km的區(qū)域. 求考查區(qū)域邊界曲線的方程. 如圖4所示，設(shè)線段 是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考查區(qū)域平行移動，第一年移動0.2km，以后每年移動的距離為前一年的2倍.問：經(jīng)過多長時間，點A恰好在冰川邊界線上？ 【命題立意】

27、把直線和圓錐曲線的關(guān)系問題放在生活實際中考查充分體現(xiàn)了知識的應(yīng)用性，能很好地體現(xiàn)學(xué)生應(yīng)用知識的能力，而且打破了解析幾何的固定命題模式. 【思路點撥】題目的闡述比較新穎，把求曲線的方程闡述成求區(qū)域的邊界，不受表面闡述所干擾，還是利用定義法求軌跡即可.第二問是數(shù)列問題，巧妙地把解析幾何和數(shù)列的求和結(jié)合起來. 【規(guī)范解答】 (Ⅰ) 設(shè)邊界曲線上點P的坐標為（x,y），則由|PA|+|PB|=10知，點P在以A,B為焦點，長軸為2a=10的橢圓上.此時短半軸長. 所以考查區(qū)域邊界曲線的方程為. (Ⅱ) 易知過點P1,P2的直線方程為，因此點A到直線P1P2的距離為 .

28、 設(shè)經(jīng)過n年，點A恰好落在冰川邊界線上，則利用等比數(shù)列求和公式可得 . 解得n=5，即經(jīng)過5年，點A恰好在冰川邊界線上. 【方法技巧】1、求曲線的軌跡方程時常用的方法有：直譯法，定義法，待定系數(shù)法，相關(guān)點法和參數(shù)法等.注意各種方法的使用條件以及步驟.2、曲線上的點到直線的最短距離的求法：直線和圓常常轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離；直線和橢圓（雙曲線、拋物線）常常利用平移直線，使直線和橢圓（雙曲線、拋物線）相切.當然也還有別的方法. 16. （20xx湖南高考理科Ｔ4）為了考查冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川上相距8km的A,B兩點各建一個考查基地.視冰川面為平面形，以過A,B兩點的直線為x軸

29、，線段AB的的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系（圖6）.在直線x=2的右側(cè)，考查范圍為到點B的距離不超過km的區(qū)域；在直線x=2的左側(cè)，考查范圍為到A,B兩點的距離之和不超過km的區(qū)域. （Ⅰ）求考查區(qū)域邊界曲線的方程. （Ⅱ）如圖6所示，設(shè)線段P1P2,P2P3是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界線），當冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考查區(qū)域平行移動，第一年移動0.2km,以后每年移動的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動到考查區(qū)域所需的最短時間. 【命題立意】把直線和圓錐曲線的關(guān)系問題放在生活實際中考查充分體現(xiàn)了知識的應(yīng)用性.能很好地體現(xiàn)學(xué)生應(yīng)用知識的能力，而且打破了解析幾

30、何的固定命題模式. 【思路點撥】題目的闡述比較新穎，把求曲線的方程闡述成求區(qū)域的邊界，不受表面闡述所干擾，還是利用定義法求軌跡即可.第二問是數(shù)列問題，巧妙地把解析幾何和數(shù)列的求和結(jié)合起來. 【規(guī)范解答】（1）設(shè)邊界曲線上點P的坐標為(x,y). 當x≥2時，由題意知(x-4)2+y2=. 當x<2時，由|PA|+|PB|=4知，點P在以A，B為焦點，長軸長為2a=4的橢圓上.此時短半軸長b=2.因而其方程為故考查區(qū)域邊界曲線的方程為 C1：(x-4)2+y2=(x≥2)和C2: (x<2). (2)設(shè)過點P1，P2的直線為L1，過點P2，P3的直線為L2，則直線L1，L2的方程分別

31、為 y= 設(shè)直線L平行于直線L1，其方程為消去y, 得16x2+10 由△=1003m2-4165(m2-4)=0,解得m=8,或m=-8. 可以得到，當m=8時，直線L與C2的公共點到直線L1的距離最近，此時直線L的方程為 又直線L2到C1和C2的最短距離d′=6-,而d′>3，所以考查區(qū)域邊界到冰川邊界線的最短距離為3. 設(shè)冰川邊界線移動到考查區(qū)域所需的時間為n年，則由題設(shè)及等比數(shù)列求和公式，得故冰川邊界線移動到考查區(qū)域所需的最短時間為4年. 【方法技巧】1.求曲線的軌跡方程時常用的方法有：直譯法，定義法，待定系數(shù)法，相關(guān)點法和參數(shù)法等. 注意各種方法的使用條件以及步驟. 2.曲線上的點到直線的最短距離的求法：直線和圓常常轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離.直線和橢圓（雙曲線、拋物線）常常利用平移直線，使直線和橢圓（雙曲線、拋物線）相切.當然也還有別的方法.