《2020版高考理科數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)講義：第九章 第五節(jié) 橢圓 第二課時　直線與橢圓的位置關(guān)系 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考理科數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)講義：第九章 第五節(jié) 橢圓 第二課時　直線與橢圓的位置關(guān)系 Word版含答案（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二課時第二課時 直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系 考點一考點一 直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān) 題組練透題組練透 1若直線若直線 ykx1 與橢圓與橢圓x25y2m1 總有公共點，則總有公共點，則 m 的取值范圍是的取值范圍是( ) A(1，) B(0，) C(0,1)(1,5) D1,5)(5，) 解析：解析：選選 D 由于直線由于直線 ykx1 恒過點恒過點(0,1)， 所以點所以點(0,1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上必在橢圓內(nèi)或橢圓上， 則則 01m1 且且 m5， 故故 m1 且且 m5. 2已知直線已知直線 l：y2xm，橢圓，橢圓 C：x24y

2、221.試問當(dāng)試問當(dāng) m 取何值時，直線取何值時，直線 l 與橢圓與橢圓 C： (1)有兩個不重合的公共點；有兩個不重合的公共點； (2)有且只有一個公共點；有且只有一個公共點； (3)沒有公共點沒有公共點 解：解：將直線將直線 l 的方程與橢圓的方程與橢圓 C 的方程聯(lián)立，得方程組的方程聯(lián)立，得方程組 y2xm， x24y221， 將將代入代入，整理得，整理得 9x28mx2m240. 方程方程根的判別式根的判別式 (8m)249(2m24)8m2144. (1)當(dāng)當(dāng) 0，即，即3 2m3 2時，方程時，方程有兩個不同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組不有兩個不同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的

3、實數(shù)解同的實數(shù)解 這時直線這時直線 l 與橢圓與橢圓 C 有兩個不重合的公共點有兩個不重合的公共點 (2)當(dāng)當(dāng) 0，即，即 m 3 2時，方程時，方程有兩個相同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實有兩個相同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實數(shù)解數(shù)解 這時直線這時直線 l 與橢圓與橢圓 C 有兩個互有兩個互相重合的公共點，即直線相重合的公共點，即直線 l 與橢圓與橢圓 C 有且只有一個公共點有且只有一個公共點 (3)當(dāng)當(dāng) 0， 即， 即 m3 2或或 m3 2時， 方程時， 方程沒有實數(shù)根， 可知原方程組沒有實數(shù)解 這沒有實數(shù)根， 可知原方程組沒有實數(shù)解 這時直線時直線 l 與橢圓與橢圓 C

4、沒有公共點沒有公共點 名師微點名師微點 判斷直線與橢圓位置關(guān)系的方法判斷直線與橢圓位置關(guān)系的方法 (1)判斷直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與橢圓方程組成的方程組解判斷直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個數(shù)的個數(shù) (2)對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點 考點二考點二 弦長問題弦長問題 師生師生共研過關(guān)共研過關(guān) 典例精析典例精析 如圖，在平面直角坐標系如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，橢圓中，橢圓x2a2y2b21(ab0)的離心的離心

5、率為率為12，過橢圓右焦點，過橢圓右焦點 F 作兩條互相垂直的弦作兩條互相垂直的弦 AB 與與 CD.當(dāng)直線當(dāng)直線 AB 的的斜率為斜率為 0 時，時，|AB|4. (1)求橢圓的方程；求橢圓的方程； (2)若若|AB|CD|487，求直線，求直線 AB 的方程的方程 解解 (1)由題意知由題意知 eca12，2a4. 又又 a2b2c2，解得，解得 a2，b 3， 所以橢圓方程為所以橢圓方程為x24y231. (2)當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為 0 時，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題時，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知意知|AB|CD|7，不滿足

6、條件，不滿足條件 當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為 0 時， 設(shè)直線時， 設(shè)直線 AB 的方程為的方程為 yk(x1)， A(x1， y1)，B(x2，y2)， 則直線則直線 CD 的方程為的方程為 y1k(x1) 將直線將直線 AB 的方程代入橢圓方程中并整理得的方程代入橢圓方程中并整理得(34k2)x28k2x4k2120，則，則 x1x28k234k2，x1 x24k21234k2， 所以所以|AB| k21|x1x2| k21 x1x2 24x1x212 k21 34k2. 同理，同理，|CD|12 1k2134k212 k21 3k24. 所以所以|A

7、B|CD|12 k21 34k212 k21 3k24 84 k21 2 34k2 3k24 487，解得，解得 k 1， 所以直線所以直線 AB 的方程為的方程為 xy10 或或 xy10. 解題技法解題技法 1弦長的求解方法弦長的求解方法 (1)當(dāng)弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解當(dāng)弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解 (2)當(dāng)直線的斜率存在時，斜率為當(dāng)直線的斜率存在時，斜率為 k 的直線的直線 l 與橢圓相交于與橢圓相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個不同兩個不同的點，則弦長公式的常見形式有如下幾種：的點，則弦長公式的常見形式有如下幾種： |A

8、B| 1k2|x1x2|； |AB| 11k2|y1y2|(k0)； |AB| 1k2 x1x2 24x1x2； |AB| 11k2 y1y2 24y1y2. 2弦長公式的運用技巧弦長公式的運用技巧 弦長公式的運用需要利用曲線方程和直線方程聯(lián)立建立一元二次方程，設(shè)直線方程也很弦長公式的運用需要利用曲線方程和直線方程聯(lián)立建立一元二次方程，設(shè)直線方程也很考究，不同形式的直線方程直接關(guān)系到計算量的大小我們的經(jīng)驗是：若直考究，不同形式的直線方程直接關(guān)系到計算量的大小我們的經(jīng)驗是：若直線經(jīng)過的定點在線經(jīng)過的定點在縱軸上，一般設(shè)為斜截式方程縱軸上，一般設(shè)為斜截式方程 ykxb 便于運算，即便于運算，即“定

9、點落在縱軸上，斜截式幫大忙定點落在縱軸上，斜截式幫大忙”；若直線經(jīng)過的定點在橫軸上，一般設(shè)為若直線經(jīng)過的定點在橫軸上，一般設(shè)為 myxa 可以減小運算量，即可以減小運算量，即“直線定點落橫軸，斜直線定點落橫軸，斜率倒數(shù)作參數(shù)率倒數(shù)作參數(shù)” 口訣記憶口訣記憶 弦長公式形式多，巧設(shè)直線是杰作；弦長公式形式多，巧設(shè)直線是杰作； 定點落在縱軸上，斜截式幫大忙；定點落在縱軸上，斜截式幫大忙； 直線定點落橫軸，斜率倒數(shù)作參數(shù)直線定點落橫軸，斜率倒數(shù)作參數(shù) 過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練 1已知斜率為已知斜率為 2 的直線經(jīng)過橢圓的直線經(jīng)過橢圓x25y241 的右焦點的右焦點 F1，與橢圓相交于，與橢圓相交于 A，B 兩

10、點，則兩點，則弦弦 AB 的長為的長為_ 解析：解析：由題意知，橢圓由題意知，橢圓的右焦點的右焦點 F1的坐標為的坐標為(1,0)，直線，直線 AB 的方程為的方程為 y2(x1) 由方程組由方程組 y2 x1 ，x25y241，消去消去 y，整理得，整理得 3x25x0. 解得解得 x0 或或 x53， 取取 A(0，2)，B 53，43， 則則|AB| 0532 24325 53. 答案：答案：5 53 2經(jīng)過橢圓經(jīng)過橢圓 M：x2a2y2b21(ab0)的右焦點的直線的右焦點的直線 xy 30 交橢圓交橢圓 M 于于 A，B 兩兩 點，點，P 為為 AB 的中點，且直線的中點，且直線 O

11、P 的斜率為的斜率為12. (1)求橢圓求橢圓 M 的方程；的方程； (2)C，D 為橢圓為橢圓 M 上兩點，若四邊形上兩點，若四邊形 ACBD 的對角線的對角線 CDAB，求四邊形，求四邊形 ACBD 的面積的面積的最大值的最大值 解：解：(1)令令 A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知右焦點為，易知右焦點為( 3，0) 聯(lián)立聯(lián)立 b2x2a2y2a2b20，x 3y， 得得(a2b2)y22 3b2yb2(3a2)0， 則則 y1y22 3b2a2b2，x1x22 3(y1y2)， 即即 kOPyPxPy1y2x1x2y1y22 3 y1y2 b2a212a22b2. 因為因為 a2b

12、23，所以，所以 a26，b23. 所以橢圓所以橢圓 M 的方程為的方程為x26y231. (2)由由(1)知方程知方程為為 3y22 3y30. 由弦長公式得：由弦長公式得：|AB| 2 |y1y2| 2 y1y2 24y1y2 2 4344 63. 令令 CD 的方程為：的方程為：xym. 由由 x26y231，xym，得得 3y22mym260， 則則 y1y22m3，y1y2m263. 由弦長公式得由弦長公式得|CD| 2 y1y2 24y1y2 2728m234. 所以所以 S四邊形四邊形ACBD12|AB| |CD|8 63(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) m0 時取最大值時取最大值) 故四邊形

13、故四邊形 ACBD 的面積的最大值為的面積的最大值為8 63. 考點三考點三 中點弦問題中點弦問題師生共研過關(guān)師生共研過關(guān) 典例精析典例精析 (1)過橢圓過橢圓x216y241 內(nèi)一點內(nèi)一點 P(3,1)，且被點，且被點 P 平分的弦所在直線的方程是平分的弦所在直線的方程是( ) A4x3y130 B3x4y130 C4x3y50 D3x4y50 (2)如圖，已知橢圓如圖，已知橢圓x22y21 的左焦點為的左焦點為 F，O 為坐標原點，設(shè)過點為坐標原點，設(shè)過點F 且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于 A，B 兩點，線段兩點，線段 AB 的垂直平分線的垂直平分線與與 x

14、軸交于點軸交于點 G，則點，則點 G 橫坐標的取值范圍為橫坐標的取值范圍為_ 解析解析 (1)設(shè)所求直線與橢圓交于設(shè)所求直線與橢圓交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，由于兩點，由于 A，B 兩點均在橢圓上，兩點均在橢圓上，故故x2116y2141，x2216y2241，兩式相減得，兩式相減得 x1x2 x1x2 16 y1y2 y1y2 40. P(3,1)是是 A(x1，y1)，B(x2，y2)的中點，的中點， x1x26，y1y22，故，故 kABy1y2x1x234， 直線直線 AB 的方程為的方程為 y134(x3)， 即即 3x4y130，故選，故選 B. (2)設(shè)直線設(shè)直

15、線 AB 的方程為的方程為 yk(x1)(k0)，代入，代入x22y21，整理得，整理得(12k2)x24k2x2k220. 因為直線因為直線 AB 過橢圓的左焦點過橢圓的左焦點 F，所以方程有兩個不等實根，設(shè)，所以方程有兩個不等實根，設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中點中點 N(x0，y0)， 則則 x1x24k22k21，x012(x1x2)2k22k21，y0k(x01)k2k21， 所以所以 AB 的垂直平分線的垂直平分線 NG 的方程為的方程為 yy01k(xx0) 令令 y0，得，得 xGx0ky02k22k21k22k21k22k211214k22. 因為因為 k0

16、，所以，所以12xG0， 所以點所以點 G 橫坐標的取值范圍為橫坐標的取值范圍為 12，0 . 答案答案 (1)B (2) 12，0 解題技法解題技法 1處理有關(guān)中點弦及對應(yīng)直線斜率關(guān)系的問題時，常用處理有關(guān)中點弦及對應(yīng)直線斜率關(guān)系的問題時，常用“點差法點差法”，步驟如下：，步驟如下： 2解決對稱問題除掌握解決中點弦問題的方法外，還要注意解決對稱問題除掌握解決中點弦問題的方法外，還要注意“如果點如果點 A，B 關(guān)于直線關(guān)于直線 l對稱，則對稱，則 l 垂直于直線垂直于直線 AB 且且 A，B 的中點在直線的中點在直線 l 上上”的應(yīng)用的應(yīng)用 過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練 1(2018 南寧模擬南寧模擬)已

17、知橢圓已知橢圓x2a2y2b21(ab0)的一條弦所在的直線方程是的一條弦所在的直線方程是 xy50，弦的中點坐標是弦的中點坐標是 M(4,1)，則橢圓的離心率是，則橢圓的離心率是( ) A.12 B.22 C.32 D.55 解析：解析：選選 C 設(shè)直線與橢圓的交點為設(shè)直線與橢圓的交點為 A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別代入橢圓方程，得，分別代入橢圓方程，得 x21a2y21b21，x22a2y22b21，兩式相減得兩式相減得y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2.因為因為 kABy1y2x1x21，且，且 x1x28，y1y22，所以，所以b2a214，eca 1 ba232，故

18、選，故選 C. 2已知橢圓已知橢圓x22y21 上兩上兩個不同的點個不同的點 A，B 關(guān)于直線關(guān)于直線 ymx12對對稱，求實數(shù)稱，求實數(shù) m 的取值范圍的取值范圍 解：解：由題意知由題意知 m0，可設(shè)直線，可設(shè)直線 AB 的方程為的方程為 y1mxb. 由由 x22y21，y1mxb消去消去 y，得，得 121m2x22bmxb210. 因為直線因為直線 y1mxb 與與橢圓橢圓x22y21 有兩個不同的交點，所以有兩個不同的交點，所以 2b224m20. 將線段將線段 AB 中點中點 2mbm22，m2bm22代入直線方程代入直線方程 ymx12解得解得 bm222m2. 由由得得 m63

19、或或 m63. 故故 m 的取值范圍為的取值范圍為 ，63 63， . 考點四考點四 直線與橢圓位置關(guān)系的綜合問題直線與橢圓位置關(guān)系的綜合問題師生共研過關(guān)師生共研過關(guān) 典例精析典例精析 設(shè)橢圓設(shè)橢圓x2a2y2b21(ab0)的左焦點為的左焦點為 F，離心率為，離心率為33，過點，過點 F 且與且與 x 軸垂直的直線被橢軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為圓截得的線段長為4 33. (1)求橢圓的方程；求橢圓的方程； (2)設(shè)設(shè) A，B 分別為橢圓的左、右頂點，過點分別為橢圓的左、右頂點，過點 F 且斜率為且斜率為 k 的直線與橢圓交于的直線與橢圓交于 C，D 兩點，兩點，若若 AC DB AD

20、CB 8，O 為坐標原點，求為坐標原點，求OCD 的面積的面積 解解 (1)因為過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為因為過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為4 33，所以，所以2b2a4 33. 因為橢圓的離心率為因為橢圓的離心率為33，所以，所以ca33， 又又 a2b2c2，可解得，可解得 b 2，c1，a 3. 所以橢圓的方程為所以橢圓的方程為x23y221. (2)由由(1)可知可知 F(1,0)， 則直線則直線 CD 的方程為的方程為 yk(x1) 聯(lián)立聯(lián)立 yk x1 ，x23y221， 消去消去 y 得得(23k2)x26k2x3k260. 設(shè)設(shè) C(x1，y1)

21、，D(x2，y2)， 所以所以 x1x26k223k2，x1x23k2623k2. 又又 A( 3，0)，B( 3，0)， 所以所以 AC DB AD CB (x1 3，y1) ( 3x2，y2)(x2 3，y2) ( 3x1，y1) 62x1x22y1y2 62x1x22k2(x11)(x21) 6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k2 62k21223k28， 解得解得 k 2. 從而從而 x1x26223232，x1x23262320. 所以所以|x1x2| x1x2 24x1x2 3224032， |CD| 1k2|x1x2| 12323 32. 而原點而原點 O 到直線到直線

22、CD 的距離為的距離為 d|k|1k221263， 所以所以O(shè)CD 的面積為的面積為 S12|CD|d123 32633 24. 解題技法解題技法 1由直線與橢圓的位置關(guān)系解決離心率問題的思路由直線與橢圓的位置關(guān)系解決離心率問題的思路 (1)由題中直線、直線與橢圓的條件尋找由題中直線、直線與橢圓的條件尋找 a，b，c 間的關(guān)系式間的關(guān)系式(等式或不等式等式或不等式) (2)借助借助 a2b2c2轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為ca的方程或不等式即可的方程或不等式即可 2直線與橢圓相交時有關(guān)弦問題的處理方法直線與橢圓相交時有關(guān)弦問題的處理方法 (1)合理消元，消元時可以合理消元，消元時可以選擇消去選擇消去 y，也可

23、以消去，也可以消去 x. (2)利用弦長公式、點到直線的距離公式等將所求量表示出來利用弦長公式、點到直線的距離公式等將所求量表示出來 (3)構(gòu)造不等式或利用函數(shù)知識求解構(gòu)造不等式或利用函數(shù)知識求解 過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練 設(shè)設(shè) F1，F(xiàn)2分別是橢圓分別是橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點，的左、右焦點，M 是是 C 上一點且直線上一點且直線 MF2與與 x 軸垂直，直線軸垂直，直線 MF1與與 C 的另一個交點為的另一個交點為 N. (1)若直線若直線 MN 的斜率為的斜率為34，求，求 C 的離心率；的離心率； (2)若直線若直線 MN 在在 y 軸上的截距為軸上的截距為 2，且，

24、且|MN|5|F1N|，求，求 a，b. 解：解：(1)根據(jù)題設(shè)知根據(jù)題設(shè)知 M c，b2a，即，即b2a0c c 34， 整理得整理得 2b23ac. 將將 b2a2c2代入代入 2b23ac， 解得解得ca12或或ca2(舍去舍去) 故故 C 的離心率為的離心率為12. (2)由題意，原點由題意，原點 O 為為 F1F2的中點，的中點，MF2y 軸，軸， 所以直線所以直線 MF1與與 y 軸的交點軸的交點 D(0,2)是線段是線段 MF1的中點，故的中點，故b2a4，即，即 b24a. 由由|MN|5|F1N|得得|DF1|2|F1N|. 設(shè)設(shè) N(x1，y1)，由題意知，由題意知 y10，則，則 2 cx1 c，2y12，即即 x132c，y11. 代入代入 C 的方程，得的方程，得9c24a21b21. 將將及及 c a2b2代入代入得得9 a24a 4a214a1， 解得解得 a7，b24a28， 故故 a7，b2 7.