《二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理重點(diǎn)生通用版講義：第一部分 專題七 數(shù)　列 Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理重點(diǎn)生通用版講義：第一部分 專題七 數(shù)　列 Word版含解析（28頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題七專題七數(shù)數(shù)列列卷卷卷卷卷卷2018等差數(shù)列的基本運(yùn)算等差數(shù)列的基本運(yùn)算T4等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前前n 項(xiàng)和公式及最值項(xiàng)和公式及最值T17等比數(shù)列的通項(xiàng)公等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 、 前式 、 前 n 項(xiàng) 和 公項(xiàng) 和 公式式T17Sn與與 an的關(guān)系、等比數(shù)列的關(guān)系、等比數(shù)列求和求和T142017等差數(shù)列的基本運(yùn)算等差數(shù)列的基本運(yùn)算T4數(shù)學(xué)文化、等比數(shù)列的概數(shù)學(xué)文化、等比數(shù)列的概念、前念、前 n 項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式T3等差數(shù)列的通項(xiàng)公等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前式、前 n 項(xiàng)和公式及項(xiàng)和公式及等比中項(xiàng)等比中項(xiàng)T9等差數(shù)列等差數(shù)列、 等比數(shù)列前等比數(shù)列前 n 項(xiàng)項(xiàng)和 公 式 的 運(yùn)

2、用 、 創(chuàng) 新 問和 公 式 的 運(yùn) 用 、 創(chuàng) 新 問題題T12等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前前n 項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)相消法項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)相消法求和求和T15等比數(shù)列的通項(xiàng)公等比數(shù)列的通項(xiàng)公式式T142016等差數(shù)列的基本運(yùn)算等差數(shù)列的基本運(yùn)算T3等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前前n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式、 創(chuàng)新問題創(chuàng)新問題T17數(shù)列的遞推關(guān)系、等數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式公式T17等比數(shù)列的基本運(yùn)算及二等比數(shù)列的基本運(yùn)算及二次函數(shù)最值問題次函數(shù)最值問題T15縱向把握縱向把握趨勢(shì)趨勢(shì)卷卷3 年年 6 考，題型為選擇考，題型為選擇題和填空題題和填空題

3、，難度適中難度適中涉涉及等差及等差、 等比數(shù)列的基本運(yùn)等比數(shù)列的基本運(yùn)算，算，Sn與與 an的關(guān)系，預(yù)的關(guān)系，預(yù)計(jì)計(jì)2019 年會(huì)以解答題的形式年會(huì)以解答題的形式考查等差考查等差、 等比數(shù)列的基本等比數(shù)列的基本關(guān)系及等差關(guān)系及等差、 等比數(shù)列的判等比數(shù)列的判定與證明定與證明卷卷3 年年 4 考，題型既有考，題型既有選擇題選擇題、 填空題和解答題填空題和解答題，涉及數(shù)學(xué)文化、等差數(shù)列涉及數(shù)學(xué)文化、等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算、與等比數(shù)列的基本運(yùn)算、數(shù)列前數(shù)列前 n 項(xiàng)和的求法預(yù)項(xiàng)和的求法預(yù)計(jì)計(jì) 2019 年高考題仍以考年高考題仍以考查等差、等比數(shù)列的基本查等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算為主，同時(shí)考查數(shù)

4、列運(yùn)算為主，同時(shí)考查數(shù)列求和問題，且三種題型均求和問題，且三種題型均有可能有可能卷卷3 年年 4 考，題型考，題型既有選擇題既有選擇題、 填空題填空題，也有解答題，涉及等也有解答題，涉及等差、等比數(shù)列的基本差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算運(yùn)算、 數(shù)列求和問題數(shù)列求和問題，難度適中難度適中預(yù)計(jì)預(yù)計(jì) 2019年高考會(huì)以小題的形年高考會(huì)以小題的形式考查等差、等比數(shù)式考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及基本運(yùn)列的性質(zhì)及基本運(yùn)算，難度適中算，難度適中橫向把握橫向把握重點(diǎn)重點(diǎn)1.高考主要考查等差數(shù)列及等比數(shù)列的基本運(yùn)算，兩類數(shù)列求和方法高考主要考查等差數(shù)列及等比數(shù)列的基本運(yùn)算，兩類數(shù)列求和方法(裂項(xiàng)求和裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)位相減法

5、法、錯(cuò)位相減法)、兩類綜合、兩類綜合(與函數(shù)綜合、與不等式綜合與函數(shù)綜合、與不等式綜合)，主要突出數(shù)學(xué)思想，主要突出數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用的應(yīng)用2.若以解答題形式考查若以解答題形式考查，數(shù)列往往與解三角形在數(shù)列往往與解三角形在 17 題的位置上交替考查題的位置上交替考查，試題試題難度中等難度中等；若以客觀題考查若以客觀題考查，難度中等的題目較多難度中等的題目較多，但有時(shí)也出現(xiàn)在第但有時(shí)也出現(xiàn)在第 12 題題或或16 題位置上，難度偏大，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起關(guān)注題位置上，難度偏大，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起關(guān)注.等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算和性質(zhì)等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算和性質(zhì)題組全練題組全練1(2017全國(guó)卷全國(guó)卷)記記 Sn為

6、等差數(shù)列為等差數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和若項(xiàng)和若 a4a524，S648，則，則an的公差為的公差為()A1B2C4D8解析：解析：選選 C設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的公差為的公差為 d，則由則由a4a524，S648，得得a13da14d24，6a1652d48，即即2a17d24，2a15d16，解得解得 d4.2已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列an滿足滿足 a13，a1a3a521，則，則 a3a5a7()A21B42C63D84解析：解析：選選 B設(shè)設(shè)an的公比為的公比為 q，由，由 a13，a1a3a521，得，得 1q2q47，解得，解得 q22(負(fù)值舍去負(fù)值舍去)a3a5a7a1q2a3q

7、2a5q2(a1a3a5)q221242.3(2017全國(guó)卷全國(guó)卷)等差數(shù)列等差數(shù)列an的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為 1，公差不為公差不為 0.若若 a2，a3，a6成等比數(shù)列成等比數(shù)列，則則an前前 6 項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為()A24B3C3D8解析：解析：選選 A設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的公差為的公差為 d，因?yàn)橐驗(yàn)?a2，a3，a6成等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，所以 a2a6a23，即即(a1d)(a15d)(a12d)2.又又 a11，所以，所以 d22d0.又又 d0，則，則 d2，所以所以an前前 6 項(xiàng)的和項(xiàng)的和 S661652(2)24.4若若an是等差數(shù)列，首項(xiàng)是等差數(shù)列，首項(xiàng) a10，a2

8、017a2 0180，a2 017a2 0180，則使前，則使前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Sn0 成立的最大正整數(shù)成立的最大正整數(shù) n 是是()A2 017B2 018C4 034D4 035解析解析：選選 C因?yàn)橐驗(yàn)?a10，a2 017a2 0180，a2 017a2 0180，所以，所以 d0，a2 0170，a2 0180，所以所以 S4 0344 034 a1a4 034 24 034 a2 017a2 018 20，S4 0354 035 a1a4 035 24 035a2 0180，所以使前所以使前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Sn0 成立的最大正整數(shù)成立的最大正整數(shù) n 是是 4 034.5(2018

9、全國(guó)卷全國(guó)卷)等比數(shù)列等比數(shù)列an中，中，a11，a54a3.(1)求求an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)記記 Sn為為an的前的前 n 項(xiàng)和若項(xiàng)和若 Sm63，求，求 m.解：解：(1)設(shè)設(shè)an的公比為的公比為 q，由題設(shè)得，由題設(shè)得 anqn1.由已知得由已知得 q44q2，解得，解得 q0(舍去舍去)或或 q2 或或 q2.故故 an(2)n1或或 an2n1.(2)若若 an(2)n1，則，則 Sn1 2 n3.由由 Sm63，得，得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解，此方程沒有正整數(shù)解若若 an2n1，則，則 Sn12n122n1.由由 Sm63，得，得 2m64，解得，解得 m6.

10、綜上，綜上，m6.系統(tǒng)方法系統(tǒng)方法1等差等差(比比)數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路(1)設(shè)基本量設(shè)基本量 a1和公差和公差 d(公比公比 q)(2)列列、解方程解方程(組組)：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于 a1和和 d(q)的方程的方程(組組)，求出求出 a1和和 d(q)后代入相應(yīng)后代入相應(yīng)的公式計(jì)算的公式計(jì)算2等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略(1)抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解行求解(2)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一

11、些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題的性質(zhì)解題(3)利用數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)利用數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，要注意整體思想的應(yīng)用要注意整體思想的應(yīng)用(如第如第 2 題題)，可以減少計(jì)算量可以減少計(jì)算量，此此方法還適用于求函數(shù)值、求函數(shù)的解析式等問題方法還適用于求函數(shù)值、求函數(shù)的解析式等問題.以數(shù)學(xué)文化為背景的數(shù)列問題以數(shù)學(xué)文化為背景的數(shù)列問題題組全練題組全練1 張丘建算經(jīng)張丘建算經(jīng)卷上第卷上第 22 題為題為：“今有女善織今有女善織，日益功疾日益功疾初日織五尺初日織五尺，今一月日今一月日織九匹三丈織九匹三丈”其意思為今有

12、一女子擅長(zhǎng)織布，且從第其意思為今有一女子擅長(zhǎng)織布，且從第 2 天起，每天比前一天多織相同量天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織的布，若第一天織 5 尺布，現(xiàn)在一個(gè)月尺布，現(xiàn)在一個(gè)月(按按 30 天計(jì)天計(jì))共織共織 390 尺布則該女子最后一天織布尺布則該女子最后一天織布的尺數(shù)為的尺數(shù)為()A18B20C21D25解析：解析：選選 C依題意得，織女每天所織的布的尺數(shù)依次排列形成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)為依題意得，織女每天所織的布的尺數(shù)依次排列形成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)為an，其中其中 a15，前前 30 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 390，于是有于是有30 5a30 2390，解得解得 a3021，即該織女最后即該

13、織女最后一天織一天織 21 尺布尺布2(2017全國(guó)卷全國(guó)卷)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗算法統(tǒng)宗中有如下問題中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座意思是：一座 7 層塔共掛了層塔共掛了 381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的 2 倍，則塔的頂層共有燈倍，則塔的頂層共有燈()A1 盞盞B3 盞盞C5 盞盞D9 盞盞解析：解析：選選 B每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列，記為每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列

14、，記為an，則前，則前 7 項(xiàng)的和項(xiàng)的和 S7381，公比，公比 q2，依題意，得，依題意，得 S7a1 127 12381，解得，解得 a13.3我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)九章算術(shù)中中，有已知長(zhǎng)方形面積求一邊的算法有已知長(zhǎng)方形面積求一邊的算法，其方法的前其方法的前兩步為：兩步為：第一步：構(gòu)造數(shù)列第一步：構(gòu)造數(shù)列 1，12，13，14，1n.第二步：將數(shù)列的各項(xiàng)乘以第二步：將數(shù)列的各項(xiàng)乘以 n，得數(shù)列，得數(shù)列(記為記為)a1，a2，a3，an.則則 a1a2a2a3an1an等于等于()An2B(n1)2Cn(n1)Dn(n1)解析：解析：選選 Ca1a2a2a3an1ann1n

15、2n2n3nn1nnn21121231 n1 nn211212131n11nn2n1nn(n1)系統(tǒng)方法系統(tǒng)方法解決數(shù)列與數(shù)學(xué)文化問題的解決數(shù)列與數(shù)學(xué)文化問題的 3 步驟步驟等差、等比數(shù)列的判定與證明等差、等比數(shù)列的判定與證明由題知法由題知法典例典例(2017全國(guó)卷全國(guó)卷)記記 Sn為等比數(shù)列為等比數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和已知項(xiàng)和已知 S22，S36.(1)求求an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)求求 Sn，并判斷，并判斷 Sn1，Sn，Sn2是否成等差數(shù)列是否成等差數(shù)列解解(1)設(shè)設(shè)an的公比為的公比為 q.由題設(shè)可得由題設(shè)可得a1 1q 2，a1 1qq2 6.解得解得a12，q2.故故a

16、n的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為 an(2)n.(2)由由(1)可得可得 Sn 2 1 2 n1 2 23(1)n2n13.由于由于 Sn2Sn143(1)n2n32n23223 1 n2n132Sn，故故 Sn1，Sn，Sn2成等差數(shù)列成等差數(shù)列類題通法類題通法證明證明an是等差或等比數(shù)列的基本方法是等差或等比數(shù)列的基本方法等差等差數(shù)列數(shù)列(1)利用定義，證明利用定義，證明 an1an(nN*)為一常數(shù)；為一常數(shù)；(2)利用等差中項(xiàng)，證明利用等差中項(xiàng)，證明 2anan1an1(n2)等比等比數(shù)列數(shù)列(1)利用定義，證明利用定義，證明an1an(nN*)為一常數(shù)；為一常數(shù)；(2)利用等比中項(xiàng)，證明利

17、用等比中項(xiàng)，證明 a2nan1an1(n2)應(yīng)用通關(guān)應(yīng)用通關(guān)(2018全國(guó)卷全國(guó)卷)已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足滿足 a11，nan12(n1)an.設(shè)設(shè) bnann.(1)求求 b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由；是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求求an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式解：解：(1)由條件可得由條件可得 an12 n1 nan.將將 n1 代入得，代入得，a24a1，而，而 a11，所以，所以 a24.將將 n2 代入得，代入得，a33a2，所以，所以 a312.從而從而 b11，b22，b34.(2)數(shù)列數(shù)列bn是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 1，公比為，公比為 2

18、 的等比數(shù)列的等比數(shù)列由條件可得由條件可得an1n12ann，即，即 bn12bn，又，又 b11，所以數(shù)列所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 1，公比為，公比為 2 的等比數(shù)列的等比數(shù)列(3)由由(2)可得可得ann2n1，所以，所以 ann2n1.數(shù)列求和數(shù)列求和多維例析多維例析角度一角度一公式法求和公式法求和例例 1(2018廈門質(zhì)檢廈門質(zhì)檢)已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足滿足 a11，an13an2an3，nN*.(1)求證：數(shù)列求證：數(shù)列1an為等差數(shù)列；為等差數(shù)列；(2)設(shè)設(shè) T2n1a1a21a2a31a3a41a4a51a2n1a2n1a2na2n1，求，求 T2n.解解(1)證明：由證明

19、：由 an13an2an3，得得1an12an33an1an23，所以，所以1an11an23.又又 a11，則，則1a11，所以數(shù)列所以數(shù)列1an是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 1，公差為，公差為23的等差數(shù)列的等差數(shù)列(2)設(shè)設(shè) bn1a2n1a2n1a2na2n11a2n11a2n11a2n，由由(1)得，數(shù)列得，數(shù)列1an是公差為是公差為23的等差數(shù)列，的等差數(shù)列，所以所以1a2n11a2n143，即即 bn1a2n11a2n11a2n431a2n，所以所以 bn1bn431a2n21a2n4343169.又又 b1431a2431a123 209，所以數(shù)列所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為209，公差為

20、，公差為169的等差數(shù)列，的等差數(shù)列，所以所以 T2nb1b2bn209nn n1 2169 49(2n23n)類題通法類題通法公式法求數(shù)列和問題需過公式法求數(shù)列和問題需過“三關(guān)三關(guān)”角度二角度二分組求和法求和分組求和法求和例例 2(2018珠海模擬珠海模擬)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為 a，公差為公差為 d，nN*，且不等式且不等式 ax23x20)由已知由已知 b2b312，得，得 b1(qq2)12，而而 b12，所以，所以 q2q60.又因?yàn)橛忠驗(yàn)?q0，解得，解得 q2.所以所以 bn2n.由由 b3a42a1，可得，可得 3da18.由由 S1111b4，可得，可得

21、 a15d16.由由，解得，解得 a11，d3，由此可得，由此可得 an3n2.所以數(shù)列所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為 an3n2，數(shù)列，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為 bn2n.(2)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Tn，由由 a2n6n2，b2n124n1，得得 a2nb2n1(3n1)4n，故故 Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1，得，得3Tn2434234334n(3n1)4n112 14n 144(3n1)4n1(3n2)4n18.故故 Tn3n234n183.所以數(shù)列所以數(shù)列a2nb2n1的前的前

22、 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為3n234n183.類題通法類題通法錯(cuò)位相減法求數(shù)列和問題的步驟錯(cuò)位相減法求數(shù)列和問題的步驟重難增分重難增分(一一)數(shù)列遞推公式的應(yīng)用數(shù)列遞推公式的應(yīng)用考法全析考法全析一、曾經(jīng)這樣考一、曾經(jīng)這樣考1 利用利用 an與與 Sn的關(guān)系求的關(guān)系求 Sn(2015全國(guó)卷全國(guó)卷)設(shè)設(shè) Sn是數(shù)列是數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和， 且且 a11，an1SnSn1，則，則 Sn_.解析：解析：由已知得由已知得 an1Sn1SnSn1Sn，兩邊同時(shí)除以兩邊同時(shí)除以 Sn1Sn，得，得1Sn11Sn1，故數(shù)列故數(shù)列1Sn是以是以1 為首項(xiàng)，為首項(xiàng)，1 為公差的等差數(shù)列，為公差的等差數(shù)列，則則1

23、Sn1(n1)(1)n，所以，所以 Sn1n.答案：答案：1n啟思啟思維維本題通過等式本題通過等式 an1SnSn1考查了考查了 an與與 Sn關(guān)系的轉(zhuǎn)化及應(yīng)用，通過構(gòu)造新關(guān)系的轉(zhuǎn)化及應(yīng)用，通過構(gòu)造新數(shù)列 來求解 一般地， 對(duì)于既 有數(shù)列 來求解 一般地， 對(duì)于既 有 an，又 有，又 有 Sn的數(shù) 列題，應(yīng) 充分利用 公式的數(shù) 列題，應(yīng) 充分利用 公式 anS1，n1，SnSn1，n2，有時(shí)將有時(shí)將 an轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為 Sn，有時(shí)將有時(shí)將 Sn轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為 an，要根據(jù)題中所給條件靈活變要根據(jù)題中所給條件靈活變動(dòng)應(yīng)注意對(duì)動(dòng)應(yīng)注意對(duì) n1 的檢驗(yàn)的檢驗(yàn)二、還可能這樣考二、還可能這樣考2 累加法或

24、累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)累加法或累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足滿足 a12， anan1n(n2， nN*)，則則 an_.解析：解析：由題意可知，由題意可知，a2a12，a3a23，anan1n(n2)，以上式子累加得，以上式子累加得，ana123n.因?yàn)橐驗(yàn)?a12，所以所以 an2(23n)2 n1 2n 2n2n22(n2)因?yàn)橐驗(yàn)?a12 滿足上式，所以滿足上式，所以 ann2n22.答案：答案：n2n22啟思維啟思維(1)本題數(shù)列的遞推公式可轉(zhuǎn)化為本題數(shù)列的遞推公式可轉(zhuǎn)化為 an1anf (n)，通常采用等差數(shù)列通項(xiàng)公通常采用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法式的求解方法累加法累加法

25、(逐差相加法逐差相加法)求解即先將遞推公式化成求解即先將遞推公式化成 an1anf (n)，然后分，然后分別把別把 n1,2,3，n1 代入上式代入上式，便會(huì)得到便會(huì)得到(n1)個(gè)等式個(gè)等式，最后添加關(guān)于最后添加關(guān)于 a1的等式的等式，把把 n個(gè)等式相加之后，就會(huì)直接得到該數(shù)列的通項(xiàng)公式個(gè)等式相加之后，就會(huì)直接得到該數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)對(duì)于遞推公式可轉(zhuǎn)化為對(duì)于遞推公式可轉(zhuǎn)化為an1anf (n)的數(shù)列的數(shù)列，因?yàn)槠漕愃朴诘缺葦?shù)列因?yàn)槠漕愃朴诘缺葦?shù)列，故通常采用等比故通常采用等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法累乘法累乘法(逐商相乘法逐商相乘法)求解求解即分別將即分別將 n1,2,3

26、，n1 代入代入上式，便會(huì)得到上式，便會(huì)得到(n1)個(gè)等式，最后添加關(guān)于個(gè)等式，最后添加關(guān)于 a1的等式，這的等式，這 n 個(gè)等式相乘之后，就會(huì)直接個(gè)等式相乘之后，就會(huì)直接得到該數(shù)列的通項(xiàng)公式如得到該數(shù)列的通項(xiàng)公式如增分集訓(xùn)增分集訓(xùn)第第 2 題題3 構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)已知數(shù)列已知數(shù)列an滿滿足足 a12， an12an2an(nN*)， 則則 an_.解析：解析：因?yàn)橐驗(yàn)?an12an2an，所以，所以1an11an12.因?yàn)橐驗(yàn)?a12，即，即1a112，所以數(shù)列所以數(shù)列1an是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為12，公差為，公差為12的等差數(shù)列，的等差數(shù)列，所以所以1an12(n1)12n2

27、，故，故 an2n.答案：答案：2n啟思維啟思維(1)本題遞推公式是形如本題遞推公式是形如 an1santans的遞推關(guān)系，可采用取倒數(shù)的方法，將的遞推關(guān)系，可采用取倒數(shù)的方法，將遞推式變形為遞推式變形為1an11ants，從而可構(gòu)造出數(shù)列從而可構(gòu)造出數(shù)列1an，其首項(xiàng)為其首項(xiàng)為1a1，公差為公差為ts.(2)對(duì)于遞推式對(duì)于遞推式 an1panq(p，q 為常數(shù)為常數(shù))，當(dāng)當(dāng) p1 時(shí)時(shí)，an為等差數(shù)列為等差數(shù)列；當(dāng)當(dāng) p0，q0 時(shí)時(shí)，an為等比數(shù)列；為等比數(shù)列；當(dāng)當(dāng) p0，q0 時(shí)，可利用待定系數(shù)法時(shí)，可利用待定系數(shù)法，將遞推式轉(zhuǎn)化為將遞推式轉(zhuǎn)化為 an1qp1panqp1 ，從而可構(gòu)造出

28、數(shù)列從而可構(gòu)造出數(shù)列anqp1 ，其首項(xiàng)為其首項(xiàng)為 a1qp1(不等于不等于 0)，公比公比為為 p.如如 增分集訓(xùn)增分集訓(xùn) 第第 3 3 題題增分集訓(xùn)增分集訓(xùn)1(2018全國(guó)卷全國(guó)卷)記記 Sn為數(shù)列為數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和若項(xiàng)和若 Sn2an1，則，則 S6_.解析：解析：Sn2an1，當(dāng)當(dāng) n2 時(shí)，時(shí)，Sn12an11，anSnSn12an2an1，即即 an2an1.當(dāng)當(dāng) n1 時(shí)，時(shí)，a1S12a11，得，得 a11.數(shù)列數(shù)列an是首項(xiàng)是首項(xiàng) a1為為1，公比，公比 q 為為 2 的等比數(shù)列，的等比數(shù)列，Sna1 1qn 1q1 12n 1212n，S612663.答案：答案：

29、632已知在數(shù)列已知在數(shù)列an中，中，an1nn2an(nN*)，且，且 a14，則數(shù)列，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式 an_.解析：解析：由由 an1nn2an，得，得an1annn2，故故a2a113，a3a224，a4a335，anan1n1n1(n2)，以上式子累乘得，以上式子累乘得，ana1132435n2nn1n12n n1 .因?yàn)橐驗(yàn)?a14，所以，所以 an8n n1 (n2)因?yàn)橐驗(yàn)?a14 滿足上式，所以滿足上式，所以 an8n n1 .答案：答案：8n n1 3(2019 屆高三屆高三陜西實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬陜西實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)已知數(shù)列已知數(shù)列an中，中，a13，且點(diǎn)，且點(diǎn) Pn

30、(an，an1)(nN*)在直線在直線 4xy10 上，則數(shù)列上，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式 an_.解析：解析：因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn) Pn(an，an1)在直線在直線 4xy10 上，上，所以所以 4anan110.所以所以 an1134an13 .因?yàn)橐驗(yàn)?a13，所以，所以 a113103.故數(shù)列故數(shù)列an13 是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為103，公比為，公比為 4 的等比數(shù)列的等比數(shù)列所以所以 an131034n1，故數(shù)列故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為 an1034n113.答案：答案：1034n113重難增分重難增分(二二)數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問題數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問題 典例細(xì)解典例細(xì)解 例例

31、 1(2017全國(guó)卷全國(guó)卷)幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召， 開發(fā)了一款應(yīng)用軟件開發(fā)了一款應(yīng)用軟件 為為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)這款軟件的的活動(dòng)這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)是是20，接下來的兩項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是 20,21，再接下來的三項(xiàng)是，再接下來的三項(xiàng)是 20,21,22，依此類推求滿足如下條件的最小，依此類推求滿足如下條件的最

32、小整數(shù)整數(shù) N：N100 且該數(shù)列的前且該數(shù)列的前 N 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 2 的整數(shù)冪那么該款軟件的激活碼是的整數(shù)冪那么該款軟件的激活碼是()A440B330C220D110解析解析設(shè)第一項(xiàng)為第設(shè)第一項(xiàng)為第 1 組組，接下來的兩項(xiàng)為第接下來的兩項(xiàng)為第 2 組組，再接下來的三項(xiàng)為第再接下來的三項(xiàng)為第 3 組組，依此依此類推，則第類推，則第 n 組的項(xiàng)數(shù)為組的項(xiàng)數(shù)為 n，前，前 n 組的項(xiàng)數(shù)和為組的項(xiàng)數(shù)和為n n1 2.由題意可知，由題意可知，N100，令，令n n1 2100，得得 n14，nN*，即，即 N 出現(xiàn)在第出現(xiàn)在第 13 組之后組之后易得第易得第 n 組的所有項(xiàng)的和為組的所有項(xiàng)的和為12

33、n122n1，前前 n 組的所有項(xiàng)的和為組的所有項(xiàng)的和為2 12n 12n2n1n2.設(shè)滿足條件的設(shè)滿足條件的 N 在第在第 k1(kN*， k13)組組， 且第且第 N 項(xiàng)為第項(xiàng)為第 k1 組的第組的第 t(tN*)個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)，若要使前若要使前 N 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 2 的整數(shù)冪，則第的整數(shù)冪，則第 k1 組的前組的前 t 項(xiàng)的和項(xiàng)的和 2t1 應(yīng)與應(yīng)與2k 互為相反互為相反數(shù)，即數(shù)，即 2t1k2，2tk3，tlog2(k3)，當(dāng)當(dāng) t4，k13 時(shí)，時(shí)，N13 131 24955 時(shí)，時(shí)，N440.故所求故所求 N 的最小值為的最小值為 440.答案答案A啟思維啟思維本題在創(chuàng)新情境中考查了等差

34、數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式本題在創(chuàng)新情境中考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式， 是具有綜合拓展是具有綜合拓展性的客觀題的壓軸題數(shù)列試題的創(chuàng)新多是材料背景創(chuàng)新，通常融入性的客觀題的壓軸題數(shù)列試題的創(chuàng)新多是材料背景創(chuàng)新，通常融入“和和”與與“通項(xiàng)通項(xiàng)”的的關(guān)系，與生產(chǎn)生活、社會(huì)熱點(diǎn)相結(jié)合，考查考生的閱讀能力的同時(shí)，也考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的關(guān)系，與生產(chǎn)生活、社會(huì)熱點(diǎn)相結(jié)合，考查考生的閱讀能力的同時(shí)，也考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的邏輯推理、計(jì)算能力，培養(yǎng)了考生的創(chuàng)新意識(shí)另外，創(chuàng)新遷移類型試題還有以下特點(diǎn)：邏輯推理、計(jì)算能力，培養(yǎng)了考生的創(chuàng)新意識(shí)另外，創(chuàng)新遷移類型試題還有以下特點(diǎn)：(1)(1)新知識(shí)新知識(shí)“開幕開幕” ，別

35、開生面，新的知識(shí)主要是新的符號(hào)、定義、法則、圖表等，或介紹，別開生面，新的知識(shí)主要是新的符號(hào)、定義、法則、圖表等，或介紹新的思維方法新的思維方法，著眼于應(yīng)用著眼于應(yīng)用；(2)(2)類比類比、推廣推廣；(3)(3)以高中數(shù)學(xué)內(nèi)容為材料以高中數(shù)學(xué)內(nèi)容為材料， “偷梁換柱偷梁換柱” “移移花接木花接木” ，創(chuàng)設(shè)新情境，演化新問題，創(chuàng)設(shè)新情境，演化新問題例例 2(2013全國(guó)卷全國(guó)卷)設(shè)設(shè)AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為的三邊長(zhǎng)分別為 an，bn，cn，AnBnCn的面積的面積為為 Sn，n1,2,3，.若若 b1c1，b1c12a1，an1an，bn1cnan2，cn1bnan2，則則()ASn為遞減數(shù)列

36、為遞減數(shù)列BSn為遞增數(shù)列為遞增數(shù)列CS2n1為遞增數(shù)列，為遞增數(shù)列，S2n為遞減數(shù)列為遞減數(shù)列DS2n1為遞減數(shù)列，為遞減數(shù)列，S2n為遞增數(shù)列為遞增數(shù)列解析解析由由 bn1ancn2，cn1bnan2，得得 bn1cn1an12(bncn)，(*)bn1cn112(bncn)，由由 an1an得得 ana1，代入代入(*)得得 bn1cn1a112(bncn)，bn1cn12a112(bncn2a1)，b1c12a12a12a10，bncn2a1|BnCn|a1，所以點(diǎn)所以點(diǎn) An在以在以 Bn，Cn為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 2a1的橢圓上的橢圓上(如圖如圖)由由 b1c1得得 b

37、1c10，所所以以|bn1cn1|12(bncn)，即，即|bncn|(b1c1)12n1，所以當(dāng)，所以當(dāng) n 增大時(shí)增大時(shí)|bncn|變小，即變小，即點(diǎn)點(diǎn)An向點(diǎn)向點(diǎn) A 處移動(dòng)，即邊處移動(dòng)，即邊 BnCn上的高增大，又上的高增大，又|BnCn|ana1不變，所以不變，所以Sn為遞增數(shù)列為遞增數(shù)列答案答案B啟思維啟思維交匯問題是將各主干知識(shí)交匯問題是將各主干知識(shí)“聯(lián)姻聯(lián)姻”“”“牽手牽手”、 交叉滲透等綜合考查主干知識(shí)交叉滲透等綜合考查主干知識(shí)的常見問題，覆蓋面廣本題將數(shù)列與幾何交匯，增大了試題難度，較好地考查了考生的的常見問題，覆蓋面廣本題將數(shù)列與幾何交匯，增大了試題難度，較好地考查了考生

38、的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力，其實(shí)質(zhì)是考查數(shù)列的遞推關(guān)系式、橢圓的定義及性質(zhì)，此數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力，其實(shí)質(zhì)是考查數(shù)列的遞推關(guān)系式、橢圓的定義及性質(zhì)，此題對(duì)考生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象要求較高題對(duì)考生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象要求較高知能升級(jí)知能升級(jí)1數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問題主要體現(xiàn)在以下兩點(diǎn)：數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問題主要體現(xiàn)在以下兩點(diǎn)：(1)以數(shù)列知識(shí)為紐帶，在數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何的交匯處命題，主要以數(shù)列知識(shí)為紐帶，在數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何的交匯處命題，主要考查利用函數(shù)觀點(diǎn)、不等式的方法解決數(shù)列問題，往往涉及與數(shù)列相關(guān)的不等式證明、參考查利用函數(shù)觀點(diǎn)

39、、不等式的方法解決數(shù)列問題，往往涉及與數(shù)列相關(guān)的不等式證明、參數(shù)的范圍等數(shù)的范圍等(2)以數(shù)列知識(shí)為背景的新概念、創(chuàng)新型問題，除了需要用到數(shù)列知識(shí)外，還要運(yùn)用函以數(shù)列知識(shí)為背景的新概念、創(chuàng)新型問題，除了需要用到數(shù)列知識(shí)外，還要運(yùn)用函數(shù)、不等式等相關(guān)知識(shí)和方法，特別是題目條件中的數(shù)、不等式等相關(guān)知識(shí)和方法，特別是題目條件中的“新知識(shí)新知識(shí)”是解題的鑰匙，此類問題是解題的鑰匙，此類問題往往思維難度較大，通常作為壓軸題出現(xiàn)往往思維難度較大，通常作為壓軸題出現(xiàn)2解決此類問題的關(guān)鍵是理解題意解決此類問題的關(guān)鍵是理解題意，將核心問題提煉出來將核心問題提煉出來，運(yùn)用數(shù)列運(yùn)用數(shù)列、函數(shù)函數(shù)、解析幾解析幾何的相

40、關(guān)知識(shí)求解，主要考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用何的相關(guān)知識(shí)求解，主要考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用增分集訓(xùn)增分集訓(xùn)1斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列an滿足：滿足：a11，a21，anan1an2(n3，nN*)若將數(shù)列的若將數(shù)列的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長(zhǎng)為每一小格子的邊長(zhǎng)為 1，記前記前 n 項(xiàng)所占的格子的面積之和項(xiàng)所占的格子的面積之和為為 Sn，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為 cn，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()ASn1a2n1an1anBa1a2a3anan21Ca1a3a5a2n1

41、a2n1D4(cncn1)an2an1解析解析：選選 C對(duì)于選項(xiàng)對(duì)于選項(xiàng) A，由題圖可知由題圖可知，S2a2a3，S3a3a4，S4a4a5，則則 Sn1an1an2an1(an1an)a2n1an1an，故，故 A 項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng) B，a1a2a3anan21an1an1a1a2a3an1an11a1a2a3an2an1a1a2a3an3an11a1a31121，故，故 B 項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng) C，當(dāng)，當(dāng) n1 時(shí)，時(shí)，a1a21，故，故 C 項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng) D,4(cncn1)4a2n4a2n14(anan1)(anan1)an2an1，故

42、，故 D 項(xiàng)正確項(xiàng)正確2已知函數(shù)已知函數(shù) f (x)在在 R R 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，當(dāng)當(dāng) x0 時(shí)時(shí)，f (x)2，對(duì)任意對(duì)任意的的x，yR R，f (x)f (y)f (xy)2 成立，若數(shù)列成立，若數(shù)列an滿足滿足 a1f (0)，且，且 f (an1)fanan3 ，nN*，則，則 a2 018的值為的值為()A2B.6232 0171C.2232 0171D.2232 0161解析：解析：選選 C令令 xy0 得得 f (0)2，所以，所以 a12.設(shè)設(shè) x1，x2是是 R R 上的任意兩個(gè)數(shù)，且上的任意兩個(gè)數(shù)，且 x10，因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng) x0 時(shí)

43、，時(shí)，f (x)2，所以，所以 f (x2x1)2，即即 f (x2)f (x2x1x1)f (x2x1)f (x1)22f (x1)2f (x1)，所以所以 f (x)在在 R R 上是減函數(shù)上是減函數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)?f (an1)fanan3 ，所以所以 an1anan3，即，即1an13an1，所以所以1an11231an12 ，因?yàn)?，因?yàn)?a1121，所以所以1an12 是以是以 1 為首項(xiàng)，為首項(xiàng)，3 為公比的等比數(shù)列，為公比的等比數(shù)列，所以所以1an123n1，即，即 an223n11.所以所以 a2 0182232 0171.3數(shù)列數(shù)列an中中，a112，an1nan n1 nan1

44、(nN*)，若不等式若不等式3n21ntan0 恒成立恒成立，則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù) t 的取值范圍是的取值范圍是_解析：解析：由由 an1nan n1 nan1 ，得得1 n1 an11nan1，又，又1a12，所以數(shù)列所以數(shù)列1nan是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 2，公差為，公差為 1 的等差數(shù)列，的等差數(shù)列，則則1nann1，即，即 an1n n1 ，從而不等式從而不等式3n21ntan0 恒成立等價(jià)于恒成立等價(jià)于t3nn4 恒成立，恒成立，易知當(dāng)易知當(dāng) n2 時(shí)，時(shí)，3nn4 取得最小值取得最小值152，所以所以t152，即，即 t152.所以實(shí)數(shù)所以實(shí)數(shù) t 的取值范圍是的取值范圍是152，.答案：答案：

45、152，高考大題通法點(diǎn)撥高考大題通法點(diǎn)撥數(shù)列問題重在數(shù)列問題重在“歸歸”化歸化歸思維流程思維流程策略指導(dǎo)策略指導(dǎo)利用化歸思想可探索一些一般數(shù)列的簡(jiǎn)單性質(zhì)等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列中的兩個(gè)利用化歸思想可探索一些一般數(shù)列的簡(jiǎn)單性質(zhì)等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列中的兩個(gè)特殊的基本數(shù)列，高考中通常考查的是非等差、等比數(shù)列問題，應(yīng)對(duì)的策略就是通過化歸特殊的基本數(shù)列，高考中通?？疾榈氖欠堑炔?、等比數(shù)列問題，應(yīng)對(duì)的策略就是通過化歸思想，將其轉(zhuǎn)化為這兩種數(shù)列思想，將其轉(zhuǎn)化為這兩種數(shù)列典例典例已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Sn3n28n，bn是等差數(shù)列是等差數(shù)列，且且 anbnbn1.(1)求數(shù)列求數(shù)列b

46、n的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)令令 cn an1 n1 bn2 n，求數(shù)列，求數(shù)列cn的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Tn.破題思路破題思路第第(1)問問求什么想什么求什么想什么求數(shù)列求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，想到求首項(xiàng)的通項(xiàng)公式，想到求首項(xiàng) b1和公差和公差 d給什么用什么給什么用什么題目中給出題目中給出an的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Sn，anbnbn1.用用 Sn3n28n 求出求出 an，由，由 bnbn1an的關(guān)系求的關(guān)系求 b1，d差什么找什么差什么找什么要求要求bn的通項(xiàng)公式，還需要求的通項(xiàng)公式，還需要求 b1和和 d.可令可令 bnbn1an中的中的 n1 和和 n2，建立，建立 b1和和

47、d 的的方程組求解方程組求解第第(2)問問求什么求什么想什么想什么求求cn的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Tn，想到根據(jù)，想到根據(jù)cn的通項(xiàng)公式的特征選擇求和公式的通項(xiàng)公式的特征選擇求和公式給什么給什么用什么用什么已知已知 cn an1 n1 bn2 n，用第，用第(1)問中所求問中所求 an及及 bn可化簡(jiǎn)得可化簡(jiǎn)得 cn規(guī)范解答規(guī)范解答(1)由題意知當(dāng)由題意知當(dāng) n2 時(shí)，時(shí)，anSnSn16n5.當(dāng)當(dāng) n1 時(shí)，時(shí)，a1S111，符合上式符合上式所以所以 an6n5.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列bn的公差為的公差為 d.由由a1b1b2，a2b2b3，即即112b1d，172b13d，解得解得b14，d3.所以

48、所以 bn3n1.(2)由由(1)知知 cn 6n6 n1 3n3 n3(n1)2n1.由由 Tnc1c2cn，得得 Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，兩式作差，兩式作差，得得Tn3222232n1(n1)2n2344 12n 12 n1 2n23n2n2，所以所以 Tn3n2n2.關(guān)鍵點(diǎn)撥關(guān)鍵點(diǎn)撥等差、等比數(shù)列基本量的計(jì)算模型等差、等比數(shù)列基本量的計(jì)算模型設(shè)置中設(shè)置中間問題間問題分析已知條件和求解目標(biāo)分析已知條件和求解目標(biāo)，確定為最終解決問題需要首先求解的中間問題確定為最終解決問題需要首先求解的中間問題如為如為求和需要先求出通項(xiàng)、為求出通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和

49、公差求和需要先求出通項(xiàng)、為求出通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比公比)等，確定解題的等，確定解題的邏輯次序邏輯次序注意解注意解題細(xì)節(jié)題細(xì)節(jié)在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定如果等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是則要看其是否有等于否有等于 1 的可能的可能，在數(shù)列的通項(xiàng)問題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表在數(shù)列的通項(xiàng)問題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等示等對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2018福州模擬福州模擬)已知數(shù)列已知數(shù)列an中中，a11，a22，an13an2an1(n2，nN*)設(shè)設(shè)bnan1an.(1)證明：數(shù)列證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列

50、；是等比數(shù)列；(2)設(shè)設(shè) cnbn 4n21 2n，求數(shù)列，求數(shù)列cn的前的前 n 項(xiàng)的和項(xiàng)的和 Sn.解：解：(1)證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)?an13an2an1(n2，nN*)，bnan1an，所以所以bn1bnan2an1an1an 3an12an an1an1an2 an1an an1an2，又又 b1a2a1211，所以數(shù)列所以數(shù)列bn是以是以 1 為首項(xiàng)，以為首項(xiàng)，以 2 為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列(2)由由(1)知知 bn12n12n1，因?yàn)橐驗(yàn)?cnbn 4n21 2n，所以所以 cn12 2n1 2n1 1412n112n1 ，所以所以 Snc1c2cn1411313151

51、2n112n114112n1 n4n2.總結(jié)升華總結(jié)升華對(duì)于數(shù)列的備考對(duì)于數(shù)列的備考： 一是準(zhǔn)確掌握數(shù)列中一是準(zhǔn)確掌握數(shù)列中 an與與 Sn之間的關(guān)系之間的關(guān)系， 這是解決數(shù)列問題的基礎(chǔ)這是解決數(shù)列問題的基礎(chǔ)；二是重視等差與等比數(shù)列的復(fù)習(xí)，熟悉其基本概念、公式和性質(zhì)，這是解決數(shù)列問題的根二是重視等差與等比數(shù)列的復(fù)習(xí)，熟悉其基本概念、公式和性質(zhì)，這是解決數(shù)列問題的根本；三是注意數(shù)列與函數(shù)、不等式等的綜合問題，掌握解決此類問題的通法；四是在知識(shí)本；三是注意數(shù)列與函數(shù)、不等式等的綜合問題，掌握解決此類問題的通法；四是在知識(shí)的復(fù)習(xí)和解題過程中體會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的復(fù)習(xí)和解題過程中體會(huì)其中所蘊(yùn)含

52、的數(shù)學(xué)思想方法，如分類討論如分類討論、數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想等函數(shù)與方程思想等專題跟蹤檢測(cè)專題跟蹤檢測(cè)(對(duì)應(yīng)配套卷對(duì)應(yīng)配套卷 P180)一、全練保分考法一、全練保分考法保大分保大分1已知等差數(shù)列的前已知等差數(shù)列的前 3 項(xiàng)依次為項(xiàng)依次為 a，a2,3a，前，前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Sn，且，且 Sk110，則，則 k 的值的值為為()A9B11C10D12解析解析：選選 C由由 a，a2,3a 成等差數(shù)列成等差數(shù)列，得公差為得公差為 2，且且 2(a2)a3a，解得解得 a2，所以所以 Sk2kk k1 22k2k110，解得，解得 k10 或或 k11(舍去舍去)2

53、(2018云南模擬云南模擬)已知數(shù)列已知數(shù)列an是等差數(shù)列是等差數(shù)列，若若 a11，a33，a55 依次構(gòu)成公比依次構(gòu)成公比為為q 的等比數(shù)列，則的等比數(shù)列，則 q()A2B1C1D2解析解析：選選 C依題意，注意到依題意，注意到 2a3a1a5,2a36a1a56，即有，即有 2(a33)(a11)(a55)，即即 a11，a33，a55 成等差數(shù)列；成等差數(shù)列；又又 a11，a33，a55 依次構(gòu)成公比為依次構(gòu)成公比為 q 的等比數(shù)列，的等比數(shù)列，因此有因此有 a11a33a55(若一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列若一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列是一個(gè)則該數(shù)列是一個(gè)非零的常數(shù)列

54、非零的常數(shù)列)，qa33a111.3中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問題中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)三百七十八里關(guān)，初行健步初行健步不為難次日腳痛減一半，六朝方得至其關(guān)要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還不為難次日腳痛減一半，六朝方得至其關(guān)要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”其意其意思是思是“有一個(gè)人走有一個(gè)人走 378 里，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程是前一天的里，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程是前一天的一半，走了一半，走了 6 天后到達(dá)目的地天后到達(dá)目的地”則第三天走了則第三天走了()A60 里里B48 里里C36 里里D24 里里解析

55、：解析：選選 B由題意得每天走的路程構(gòu)成等比數(shù)列由題意得每天走的路程構(gòu)成等比數(shù)列an，其中，其中 q12，S6378，則，則 S6a11126112378，解得，解得 a1192，所以，所以 a31921448.4已知遞減的等差數(shù)列已知遞減的等差數(shù)列an中，中，a31，a1，a4，a6成等比數(shù)列若成等比數(shù)列若 Sn為數(shù)列為數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和，則項(xiàng)和，則 S7的值為的值為()A14B9C5D1解析：解析：選選 A設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的公差為的公差為 d，由題可知，由題可知 d0.由由 a2a41，得，得 a231，a31.S37，a1a2a31q21q17，即，即 6q2q10，解得，解得

56、q12或或 q13(舍舍去去)故故 q12.答案答案：128在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，中，am1am12am(m2)，數(shù)列，數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)積項(xiàng)積為為Tn.若若 T2m1512，則，則 m 的值為的值為_解析解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)由等比數(shù)列的性質(zhì)，得得 am1am1a2m2am.又?jǐn)?shù)列又?jǐn)?shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以所以 am2.又又 T2m1(am)2m122m1512，所以，所以 2m19，所以，所以 m5.答案答案：59設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Sn，且，且 a11，anan112n(nN*)，則，則 S2n1_.解析：

57、解析：因?yàn)橐驗(yàn)?a11，anan112n(nN*)，所以，所以 S2n1a1(a2a3)(a2n2a2n1)1122124122n2114n11443114n.答案答案：43114n10(2018成都模擬成都模擬)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Sn，a23，S416，nN*.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)設(shè) bn1anan1，求數(shù)列，求數(shù)列bn的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Tn.解：解：(1)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的公差為的公差為 d，a23，S416，a1d3,4a16d16，解得解得 a11，d2.an2n1.(2)由題意，由題意，bn1 2n1 2n

58、1 1212n112n1 ，Tnb1b2bn12113 1315 12n112n112112n1n2n1.11(2019 屆高三屆高三南寧二中、柳州高中聯(lián)考南寧二中、柳州高中聯(lián)考)已知已知 a12，a24，數(shù)列，數(shù)列bn滿足：滿足：bn12bn2 且且 an1anbn.(1)求證：數(shù)列求證：數(shù)列bn2是等比數(shù)列；是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式解解：(1)證明：由題知，證明：由題知，bn12bn22bn22bn22，b1a2a1422，b124，數(shù)列數(shù)列bn2是以是以 4 為首項(xiàng)，為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列(2)由由(1)可得，可得，bn242n1，故，

59、故 bn2n12.an1anbn，a2a1b1，a3a2b2，a4a3b3，anan1bn1.累加得，累加得，ana1b1b2b3bn1(n2)，an2(222)(232)(242)(2n2)2 12n 122(n1)2n12n，故故 an2n12n(n2)a12 符合上式，符合上式，數(shù)列數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為 an2n12n(nN*)12已知數(shù)列已知數(shù)列an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，a26，前，前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Sn，bn是等比數(shù)列，是等比數(shù)列，b22，a1b312，S3b119.(1)求求an，bn的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列求數(shù)列bncos(an)的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)

60、和 Tn.解解：(1)數(shù)列數(shù)列an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，a26，S3b13a2b118b119，b11，b22，數(shù)列，數(shù)列bn是等比數(shù)列，是等比數(shù)列，bn2n1.b34，a1b312，a13，a26，數(shù)列，數(shù)列an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，an3n.(2)由由(1)得，令得，令 Cnbncos(an)(1)n2n1，Cn1(1)n12n，Cn1Cn2，又，又 C11，數(shù)列數(shù)列bncos(an)是以是以1 為首項(xiàng)，為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列，為公比的等比數(shù)列，Tn11 2 n12131(2)n二、強(qiáng)化壓軸考法二、強(qiáng)化壓軸考法拉開分拉開分1已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Sn，且

61、，且 a12，Sn14an2，則，則 a12()A20 480B49 152C60 152D89 150解析解析：選選 B由由 S24a12，得得 a1a24a12，聯(lián)立聯(lián)立 a12，解得解得 a28.又又 an2Sn2Sn14an14an，an22an12(an12an)，數(shù)列數(shù)列an12an是以是以 a22a14 為首為首項(xiàng)項(xiàng)，以以 2 為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列，an12an42n12n1，an12an2n11，an12n1an2n1，數(shù)列數(shù)列an2n是以是以a121 為首項(xiàng)，以為首項(xiàng)，以 1 為公差的等差數(shù)列，為公差的等差數(shù)列，an2n1(n1)n，ann2n，a12122124

62、9 152.2已知已知 a11，ann(an1an)(nN*)，則數(shù)列，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是的通項(xiàng)公式是()A2n1B.n1nn1Cn2Dn解析解析： 選選 D因?yàn)橐驗(yàn)?ann(an1an)nan1nan， 所以所以 nan1(n1)an， 所以所以an1ann1n，所以所以 ananan1an1an2a2a1a1nn1n1n2211n.3(2018鄭州模擬鄭州模擬)已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足滿足 a11，|an1an|1n n2 .若若 a2n1a2n1，a2n20，a2n2a2na2n2a2n，所以所以 a2n1a2n2a2n1a2n.而而|a2n1a2n2|1 2n1 2n3 ，|a2n

63、1a2n|1 2n1 2n1 ，即即|a2n1a2n2|a2n1a2n|.綜合綜合，得，得 a2n1a2n0，即即 a2n1a2n1 2n1 2n1 .裂項(xiàng)，得裂項(xiàng)，得 a2na2n11212n112n1 .綜上可得，數(shù)列綜上可得，數(shù)列(1)nan的前的前 40 項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為(a2a1)(a4a3)(a40a39)12113 1315 1391412041.4(2019 屆高三屆高三河北河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟五個(gè)一名校聯(lián)盟”聯(lián)考聯(lián)考)在正整數(shù)數(shù)列中在正整數(shù)數(shù)列中，由由 1 開始依次按如下開始依次按如下規(guī)則，將某些數(shù)染成紅色先染規(guī)則，將某些數(shù)染成紅色先染 1；再染兩個(gè)偶數(shù)；再染兩個(gè)偶數(shù) 2,4

64、；再染；再染 4 后面最鄰近的后面最鄰近的 3 個(gè)連續(xù)奇?zhèn)€連續(xù)奇數(shù)數(shù)5,7,9；再染；再染 9 后面的最鄰近的后面的最鄰近的 4 個(gè)連續(xù)偶數(shù)個(gè)連續(xù)偶數(shù) 10,12,14,16；再染此后最鄰近的；再染此后最鄰近的 5 個(gè)連續(xù)奇?zhèn)€連續(xù)奇數(shù)數(shù)17,19,21,23,25.按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列 1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，則，則在這個(gè)紅色子數(shù)列中，由在這個(gè)紅色子數(shù)列中，由 1 開始的第開始的第 2 018 個(gè)數(shù)是個(gè)數(shù)是()A3 971B3 972C3 973D3 974解析解析：選選 B由題意可知由題意可知，第第 1 組有組

65、有 1 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)，第第 2 組有組有 2 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的根據(jù)等差數(shù)列的前前n 項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式，可知前可知前 n 組共有組共有n n1 2個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)由于由于 2 01663 631 22 01864 641 22080，因此因此，第第 2 018 個(gè)數(shù)是第個(gè)數(shù)是第 64 組的第組的第 2 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)由于第由于第 1 組最后一個(gè)數(shù)是組最后一個(gè)數(shù)是 1，第第 2 組最后組最后一個(gè)數(shù)是一個(gè)數(shù)是 4，第，第 3 組最后一個(gè)數(shù)是組最后一個(gè)數(shù)是 9，第，第 n 組最后一個(gè)數(shù)是組最后一個(gè)數(shù)是 n2，因此，第，因此，第 63 組最后一組最后一個(gè)數(shù)為個(gè)數(shù)為 632,6323 969，第，第 64 組為偶數(shù)

66、組，其第組為偶數(shù)組，其第 1 個(gè)數(shù)為個(gè)數(shù)為 3 970，第，第 2 個(gè)數(shù)為個(gè)數(shù)為 3 972，故選，故選B.5(2019 屆高三屆高三南昌調(diào)研南昌調(diào)研)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Sn，若，若 a13 且當(dāng)且當(dāng) n2 時(shí)，時(shí)，2anSnSn1(nN*)，則數(shù)列，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式 an_.解析解析： 當(dāng)當(dāng) n2 時(shí)時(shí)， 由由 2anSnSn1可得可得 2(SnSn1)SnSn1， 1Sn11Sn12， 即即1Sn1Sn112，數(shù)列數(shù)列1Sn是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為13，公差為公差為12的等差數(shù)列的等差數(shù)列，1Sn1312 (n1)53n6，Sn653n.當(dāng)當(dāng) n2 時(shí)，時(shí)，an12SnSn112653n653 n1 18 53n 83n ，又，又 a13，an3，n1，18 53n 83n ，n2.答案答案：3，n1，18 53n 83n ，n26(2018開封模擬開封模擬)已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足滿足2(1)nan2(1)nan11(1)n3n(nN*)，則，則 a25a1_.解析：解析：2(1)nan2(1)nan11(1)n3n，當(dāng)當(dāng) n2k(kN*)時(shí)，時(shí)，