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2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期入學(xué)考試試題 理 (II) 注意事項(xiàng)： 1.答題時(shí)，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置。 2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。 3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。 4.選做題的作答：先把所做題目的題號(hào)在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑。答案寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。 5.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交； 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1.已知集合，若，則a的值為 A. 1 B. 2 C.3 D.1或2 2. 已知復(fù)數(shù)z滿足zi=2i+x（x∈R），若z的虛部為2，則|z|= A．2 B．2 C． D． 3.等差數(shù)列的公差為2，若,,成等比數(shù)列，則的前8項(xiàng)和= A.72 B.56 C.36 D. 16 4.若函數(shù)為奇函數(shù)，則 A.-2 B.2 C.-1 D.1 5.某學(xué)校高三年級(jí)有2個(gè)文科班，3個(gè)理科班，現(xiàn)每個(gè)班指定1人對(duì)各班的衛(wèi)生進(jìn)行檢查，若每班只安排一人檢查，且文科班學(xué)生不檢查文科班，理科班學(xué)生不檢查自己所在的班，則不同安排方法的種數(shù)是 A.24 B.32 C.48 D. 84 6. “牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體．它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）．其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線．當(dāng)其主視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的俯視圖可能是 A． B． C． D． 7.已知函數(shù)與互為反函數(shù)，函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，若，則實(shí)數(shù)的值為 A． B． C． D． 8.已知命題;命題,則下列命題中為真命題的是 A. B. C. D. 9.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)， ,設(shè),則a, b, c的大小關(guān)系是 A. a>b>c B. c>b>a C. b>c>a D. b>a>c 10.如右圖,在邊長為2的正方形ABCD中,M是AB的中點(diǎn),則過三點(diǎn)的拋物線與CD圍成陰影部分的面積是 A. B. C.2 D. 11、過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓的方程為，則 A．1 B．2 C．3 D．4 12.已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的兩條互相垂直的直線，，與橢圓相交于點(diǎn)，，與橢圓相交于點(diǎn)，，則下列敘述不正確的是 A．存在直線，使得值為7 B．存在直線，使得值為 C．四邊形的面積存在最大值，且最大值為6 D．四邊形的面積存在最小值，且最小值為 第Ⅱ卷（非選擇題部分，共90分） 二、填空題：本題共4題，每小題5分，共20分 13.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為 . 14．在的展開式中，的系數(shù)為_________（用數(shù)字作答）． 15.已知點(diǎn)M（a,b）由確定的平面區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)N（a+b,a-b）所在平面區(qū)域的面積為______________. 16.已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為.以為圓心，為半徑的圓交的右支于，兩點(diǎn)，的一個(gè)內(nèi)角為，則的離心率為 ． 三、解答題:（本題包括6小題，共70分。要求寫出證明過程或演算步驟） 17.（本小題滿分10分） 在△ABC中，、、分別為角、、所對(duì)的邊，，且． (Ⅰ)求角的大小； (Ⅱ)求△ABC外接圓的圓心到AC邊的距離． 18．（本小題滿分10分） 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且對(duì)一切正整數(shù)恒成立． （1）求當(dāng)為何值時(shí),數(shù)列是等比數(shù)列,并求出它的通項(xiàng)公式； （2）在（1）的條件下，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求． 19.（本小題滿分10分） 為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與抽象能力(指標(biāo)x)、推理能力(指標(biāo)y)、建模能力(指標(biāo)z的相關(guān)性，將它們各自量化為1、2、3三個(gè)等級(jí)，再用綜合指標(biāo)w=x+y+x的值評(píng)定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，若,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級(jí)；若則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級(jí)：若,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級(jí)，為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機(jī)訪問了某校10名學(xué)生，得到如下數(shù)據(jù)： (1)在這10名學(xué)生中任取兩人，求這兩人的建棋能力指標(biāo)相同條件下綜合指標(biāo)值也相同的概率； (2)在這10名學(xué)生中任取三人，其中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級(jí)足一級(jí)的學(xué)生人數(shù)記為X,求隨機(jī)變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望。 20．(本小題滿分12分） 如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1為矩形,AB=1,AA1=,D是AA1的中點(diǎn),BD與AB1交于點(diǎn)O,且CO⊥平面ABB1A1. （1）證明BC⊥AB1; （2）若OC=OA,求直線CD與平面ABC所成角的正弦值. 21．（本小題滿分10分） 設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象過點(diǎn)(0,1)和(1,4)，且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，不等式f(x)≥4x恒成立． (1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式； (2)設(shè)g(x)＝kx＋1，若F(x)＝log2[g(x)－f(x)]在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 22.（本小題滿分10分） 已知函數(shù)， （其中，且）. （I）求函數(shù)的定義域. （II）判斷函數(shù)的奇偶性，并予以證明. （III）求使成立的的集合. 成都經(jīng)開區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)xx級(jí)高三上學(xué)期入學(xué)考試試題 數(shù)學(xué)（理工類）參考答案 1—5 BBABA 6—10 BCBAD 11—12 BD 13.30 14. 120 15. 16 16. 17.（本小題滿分10分） 解：（Ⅰ）由，結(jié)合余弦定理得： ，………………2分 ，………………3分 則，………………4分 ∵ ∴. ………………5分 (Ⅱ) 設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，由正弦定理知 ，………………7分 故,………………8分 則△ABC外接圓的圓心到AC邊的距離.………………10分 18.（本小題滿分12分） 【答案】（1）；（2） 【解析】試題分析：（1）再寫一個(gè)式子，利用可求得．（2）由（1）可得，所以，用裂項(xiàng)求和求和． （2） 19．（本小題滿分12分） 解： x 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2 y 2 2 3 2 3 3 2 3 1 2 z 3 3 3 2 2 3 2 3 1 2 w 7 8 9 5 7 8 6 8 4 6 （1）由題可知:建模能力一級(jí)的學(xué)生是；建模能力二級(jí)的學(xué)生是；建模能力三級(jí)的學(xué)生是. 記“所取的兩人的建模能力指標(biāo)相同”為事件，記“所取的兩人的綜合指標(biāo)值相同”為事件. 則………………6分 (2)由題可知，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一級(jí)的學(xué)生為:，非一級(jí)的學(xué)生為余下4人 的所有可能取值為0,1，2，3. 隨機(jī)變量的分布列為： 0 1 2 3 ………………10分 ………………12分 20. （本小題滿分12分） 解:(1)證明:由題意,因?yàn)樗倪呅蜛BB1A1是矩形, D為AA1中點(diǎn),AB=1,AA1=,AD=,所以在直角三角形ABB1中,tan∠AB1B= 在直角三角形ABD中,tan∠ABD=,所以∠AB1B=∠ABD. 又∠BAB1+∠AB1B=90,∠BAB1+∠ABD=90, 所以在三角形ABO中,∠BOA=90,即BD⊥AB1.………………4分 又因?yàn)镃O⊥平面ABB1A1,AB1?平面ABB1A1, 所以CO⊥AB1.所以AB1⊥面BCD, 因?yàn)锽C?面BCD,所以BC⊥AB1. ………………6分 (2)如圖,分別以O(shè)D,OB1,OC所在的直線為x,y,z軸,以O(shè)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則A,B,C,B1,D,………………-7分 又因?yàn)?2,所以C1. 所以 設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z), 則根據(jù)可得n=(1, ,-)是平面ABC的一個(gè)法向量,………10分 設(shè)直線CD與平面ABC所成角為α,則sin α=, 所以直線CD與平面ABC所成角的正弦值為.………………12分 21.（本小題滿分12分） 解：(1)f(0)＝c＝1，f(1)＝a＋b＋c＝4，. ……………….2分 ∴f(x)＝ax2＋(3－a)x＋1. f(x)≥4x即ax2－(a＋1)x＋1≥0恒成立得 解得a＝1. ∴f(x)＝x2＋2x＋1. . ……………….6分 (2)F(x)＝log2[g(x)－f(x)]＝log2[－x2＋(k－2)x]． 由F(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)， 得h(x)＝－x2＋(k－2)x在區(qū)間[1,2]上為增函數(shù)且恒為正實(shí)數(shù)，. ………….8分 ∴解得k≥6. ∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為[6，＋∞)．. ……………….12分 22.（本小題滿分12分） 解：（I）由題意得： ， ∴， ∴所求定義域?yàn)椋? （II）函數(shù)為奇函數(shù)， 令， 則， ∵，，． ∴函數(shù)為奇函數(shù)． （III）∵， ，， ∴當(dāng)時(shí)， ， ∴或． 當(dāng)時(shí)， ，不等式無解， 綜上：當(dāng)時(shí)，使成立的的集合為或．