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第一章行列式和線性方程組的求解 1 1二階 三階行列式 1 2n階行列式的概念 2011 9 19 設(shè)二元一次線性方程組為 其中 行列式是一種算式 是根據(jù)線性方程組求解的需要引進(jìn)的 二階和三階行列式 對(duì)方程組用加減消元法求出解 此解不易記憶 因此有必要引進(jìn)新的符號(hào) 行列式 來表示解 如果定義二階行列式如下 對(duì)角線法則 當(dāng)系數(shù)行列式D0時(shí) 則方程組有唯一解 其解可表示為 解 則方程組的解為 例1求解方程組 由于 如果定義三階行列式如下 對(duì)角線法則 那么對(duì)三元一次方程組 其中 例2 在系數(shù)行列式D0時(shí) 方程組有唯一解 其解可表示為 問題 4階行列式應(yīng)如何定義 用對(duì)角線法則可以嗎 問題 怎樣定義n階行列式 定義由1 2 n組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)n階 全 排列 一般記為 例如自然數(shù)1 2 3的排列共有六種 例如12 n是一個(gè)n階排列 叫自然排列 全排列的逆序數(shù) 對(duì)換 在一個(gè)排列中 如果一個(gè)大 數(shù)排在小數(shù)的前面 則稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序 一個(gè)排列的逆序總數(shù)稱為逆序數(shù) 表示為 如果 為偶數(shù) 則稱為偶排列 為奇數(shù) 則稱為奇排列 定義 如果 例3 因?yàn)?所以23541是一個(gè)奇排列 例4 對(duì)換 在一個(gè)排列中互換兩個(gè)數(shù)位置的變動(dòng) 其它數(shù)不動(dòng) 對(duì)換改變排列的奇偶性 需要進(jìn)行2s 1次相鄰對(duì)換 證 1 相鄰對(duì)換 2 不相鄰對(duì)換 定理1 所以對(duì)換改變排列的奇偶性 奇排列s個(gè) 偶排列t個(gè) 1 2 對(duì)換 1 2 對(duì)換 證 全部n 2 階排列中奇偶排列各占一半 定理2 用排列觀點(diǎn)總結(jié)三階行列式 n階行列式的定義 為3 項(xiàng)代數(shù)和 每項(xiàng)為取自不同行列的3個(gè)元素之積 行按自然順序取時(shí) 每項(xiàng)符號(hào)由列標(biāo)排列的奇偶性決定 定義 n階行列式定義 為n 項(xiàng)代數(shù)和 每項(xiàng)為取自不同行列的n個(gè)元素之積 行按自然順序取時(shí) 每項(xiàng)符號(hào)由列標(biāo)排列的奇偶性決定 歸納如下 注用定義只能計(jì)算一些簡(jiǎn)單的行列式 1 一階行列式 2 二 三階行列式 不是絕對(duì)值 注意 對(duì)角線法則 3 四階行列式 計(jì)算上三角形行列式 例5 計(jì)算行列式 例6 例7在下面的四階行列式中 求 4和 3的系數(shù) 問題 如何決定下面一般項(xiàng)的符號(hào) 根據(jù)這個(gè)結(jié)論 也可以把行列式表示為 行列式還有其它的定義方式一般行列式不用定義來求值主要利用行列式性質(zhì)求值 注