2018屆高考數(shù)學(xué)中檔大題規(guī)范練（第02期）（打包10套）理.zip,2018,高考,數(shù)學(xué),中檔,規(guī)范,02,打包,10 專(zhuān)題2.10 中檔大題規(guī)范練10（數(shù)列 概率 立體幾何 選講） 類(lèi)型 試 題 亮 點(diǎn) 解題方法/思想/素養(yǎng) 數(shù)列大題 等差中項(xiàng)的應(yīng)用 累加法求通項(xiàng)公式 累加法求通項(xiàng)公式 概率大題 非線(xiàn)性回歸分析方程的求解及應(yīng)用 換元法求解非線(xiàn)性回歸方程 數(shù)據(jù)的處理和運(yùn)算能力 立體幾何 二面角、線(xiàn)面角的求解 存在性問(wèn)題 利用空間向量解決二面角、線(xiàn)面角 空間想象力和運(yùn)算能力的考查 選講1（極坐標(biāo)參數(shù)方程） 參數(shù)方程與普通方程的互化 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系 橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用 選講2（不等式） 由等量關(guān)系證明不等式 基本不等式的靈活應(yīng)用 1.數(shù)列大題 已知數(shù)列， 滿(mǎn)足，記的前項(xiàng)和為，已知， . （1）若，求； （2）若，求的通項(xiàng)公式. 【答案】（1）；（2）. 2.概率大題 大連市某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)（單位：千元）對(duì)年銷(xiāo)售量（單位：）和年利潤(rùn)（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值. 46.6 573 6.8 289.8 1.6 215083.4 31280 表中，. 根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類(lèi)型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由） 根據(jù)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程； 已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)與、的關(guān)系為.根據(jù)的結(jié)果回答下列問(wèn)題： 年宣傳費(fèi)時(shí)，年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？ 年宣傳費(fèi)為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？ 附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為： ，. 【答案】（1）（2）（3）年銷(xiāo)售量，年利潤(rùn).年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)預(yù)報(bào)值最大. 試題解析： 解：由散點(diǎn)圖可以判斷適宜作為年銷(xiāo)售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類(lèi)型. 令，先建立關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程 ， ， 所以關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程為， 所以關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程為. 由知，當(dāng)時(shí)，年銷(xiāo)售量的預(yù)報(bào)值為， 年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值為. 根據(jù)的結(jié)果知，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值 ， 當(dāng)，即時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大， 故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)預(yù)報(bào)值最大. 3.立體幾何 在四棱錐中， 平面， ， ， ， ， ， 是的中點(diǎn)， 在線(xiàn)段上，且滿(mǎn)足. （1）求證： 平面； （2）求二面角的余弦值； （3）在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的余弦值是，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3） （1）由題意可得， ， 兩兩互相垂直，如果，以為原點(diǎn)， ， ， 分別是， ， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則， ， ， ， 設(shè)平面的法向量為 ， ∴，令∴ 又，∴，∴ 平面 ∴ 平面 （3）設(shè)， ，∴ ∴ ∴ ∵與平面所成角的余弦值是∴其正弦值為 ∴，整理得： ，解得： ， （舍） ∴存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)， ，且 點(diǎn)睛：在解決立體幾何問(wèn)題時(shí)，尤其空間關(guān)系的時(shí)候，可以有兩種方法，一是常規(guī)法，二是空間向量法，在應(yīng)用面的法向量所成角來(lái)求二面角的時(shí)候，一定需要分清楚是其補(bǔ)角還是其本身，在涉及到是否存在類(lèi)問(wèn)題時(shí)，都是先假設(shè)存在，最后求出來(lái)就是有，推出矛盾就是沒(méi)有. 4.選講1（極坐標(biāo)參數(shù)方程） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為實(shí)數(shù)），直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn). （1）若，求的長(zhǎng)度； （2）當(dāng)面積取得最大值時(shí)（為原點(diǎn)），求的值. 【答案】(1)；(2)0. 故， 所以的長(zhǎng)度. 5.選講2（不等式） 已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，證明： （1）； （2）. 【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析. 【解析】試題分析：（1）由，化簡(jiǎn)得，再由，即可作出證明； （2）因?yàn)?，所以，利用基本不等式，得，進(jìn)而證的結(jié)論. 試題解析： （1）由，得， 所以， 即. 因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)， 所以， 所以， 即. 10 專(zhuān)題2.1 中檔大題規(guī)范練01（三角 概率 立體幾何 選講） 類(lèi)型 試 題 亮 點(diǎn) 解題方法/思想/素養(yǎng) 三角大題 多個(gè)三角形的求解問(wèn)題 線(xiàn)段比等價(jià)轉(zhuǎn)化為面積比的思想方法 選取合適的三角形進(jìn)行正余弦定理的應(yīng)用 概率大題 方案選取的優(yōu)化問(wèn)題 條件概率 從數(shù)學(xué)期望的角度選取方案 條件概率的公式應(yīng)用 立體幾何 面面垂直的性質(zhì)定理和線(xiàn)面垂直的判定定理 已知二面角求長(zhǎng)度 多解問(wèn)題 建系法解決二面角 方程思想，通過(guò)已知關(guān)系建立二面角的方程 選講1（極坐標(biāo)參數(shù)方程） 參數(shù)方程與普通方程的互化 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 求直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的靈活轉(zhuǎn)化 極坐標(biāo)系下的線(xiàn)段關(guān)系的方程問(wèn)題 選講2（不等式） 含兩個(gè)絕對(duì)值的函數(shù)的最值問(wèn)題 三元代數(shù)式的最值問(wèn)題 分段討論求函數(shù)最值的思想 利用基本不等式求最值 1.三角大題 如圖，在中，，，且點(diǎn)在線(xiàn)段上． （Ⅰ）若，求長(zhǎng)； （Ⅱ）若，，求的面積． 【答案】（I）；（II）. 【解析】試題分析： （II）由，得，所以, 因?yàn)?，，所? 由余弦定理, 可得或（舍去）, 所以：， 所以. 2.概率大題 單位計(jì)劃組織55名職工進(jìn)行一種疾病的篩查,先到本單位醫(yī)務(wù)室進(jìn)行血檢,血檢呈陽(yáng)性者再到醫(yī)院進(jìn)一步檢測(cè)．已知隨機(jī)一人血檢呈陽(yáng)性的概率為 1% ,且每個(gè)人血檢是否呈陽(yáng)性相互獨(dú)立. (Ⅰ) 根據(jù)經(jīng)驗(yàn),采用分組檢測(cè)法可有效減少工作量,具體操作如下：將待檢人員隨機(jī)等分成若干組,先將每組的血樣混在一起化驗(yàn),若結(jié)果呈陰性,則可斷定本組血樣全部為陰性,不必再化驗(yàn)；若結(jié)果呈陽(yáng)性,則本組中至少有一人呈陽(yáng)性,再逐個(gè)化驗(yàn)． 現(xiàn)有兩個(gè)分組方案： 方案一: 將 55 人分成 11 組,每組 5 人； 方案二：將 55 人分成5組,每組 11 人； 試分析哪一個(gè)方案工作量更少？ (Ⅱ) 若該疾病的患病率為 0.4% ,且患該疾病者血檢呈陽(yáng)性的概率為99% ,該單位有一職工血檢呈陽(yáng)性,求該職工確實(shí)患該疾病的概率.(參考數(shù)據(jù): ) 【答案】（1）方案二工作量更少.（2）39.6%. 詳解： (Ⅰ)方法1：設(shè)方案一中每組的化驗(yàn)次數(shù)為，則的取值為1，6. 所以， 所以的分布列為 1 6 0.951 0.049 所以. 故方案一的化驗(yàn)總次數(shù)的期望為: 次. 設(shè)方案二中每組的化驗(yàn)次數(shù)為，則的取值為1，12， 所以， 所以的分布列為 1 12 0.895 0.105 所以. 故方案二的化驗(yàn)總次數(shù)的期望為： 次. 因，所以方案二工作量更少. 3.立體幾何 如圖，在平行四邊形中， °，四邊形是矩形， ，平面平面. （1）若，求證： ； （2）若二面角的正弦值為，求的值. 【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）或. (2)以點(diǎn)為原點(diǎn)， 所在的直線(xiàn)分別為軸， 軸，過(guò)點(diǎn)與平面垂直的直線(xiàn)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 設(shè)平面的法向量為，則,即, 取，則，即, 同理可求得平面的法向量為 設(shè)二面角的平面角為，則 則，即，解之得或，又, 所以或 點(diǎn)睛：本題涉及到了立體幾何中的線(xiàn)面平行與垂直的判定與性質(zhì)，全面考查立體幾何中的證明與求解，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解. 4.選講1（極坐標(biāo)參數(shù)方程） 在直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)， ).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)上一點(diǎn)的極坐標(biāo)為，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為. (Ⅰ)求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程； (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上（異于極點(diǎn)），若四點(diǎn)依次在同一條直線(xiàn)上，且成等比數(shù)列,求 的極坐標(biāo)方程. 【答案】（1）.（2） 代入點(diǎn)得，解得或（舍去）. 所以曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為. (Ⅱ) 由題意知,設(shè)直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，設(shè)點(diǎn), 則. 聯(lián)立得， ，所以. 聯(lián)立得， . 因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即. 所以,解得. 經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足四點(diǎn)依次在同一條直線(xiàn)上,所以的極坐標(biāo)方程為. 5.選講2（不等式） 已知函數(shù)的最大值為. （1）求的值； （2）若， ，求的最大值. 【答案】（1）2（2）2 8 專(zhuān)題2.2 中檔大題規(guī)范練02（三角 概率 立體幾何 選講） 類(lèi)型 試 題 亮 點(diǎn) 解題方法/思想/素養(yǎng) 三角大題 余弦定理和面積公式的應(yīng)用 正弦定理解三角形的個(gè)數(shù)問(wèn)題 三角形面積最值問(wèn)題 數(shù)形結(jié)合思想解三角形個(gè)數(shù) 三角形面積公式的應(yīng)用：邊化角，統(tǒng)一角求最值 概率大題 頻率分布直方圖求中位數(shù)和均值 超幾何分布的應(yīng)用 用頻率分布直方圖估計(jì)總體的思想 超幾何分布模型的應(yīng)用 立體幾何 面面垂直的判定定理 椎體體積的求解 線(xiàn)面角的求解 空間向量法求解線(xiàn)面角 椎體的體積公式 選講1（極坐標(biāo)參數(shù)方程） 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系 直線(xiàn)的參數(shù)方程的應(yīng)用 理解直線(xiàn)參數(shù)的集合意義，并會(huì)求解線(xiàn)段的長(zhǎng)度問(wèn)題，理解參數(shù)正負(fù)的意義 選講2（不等式） 解含兩個(gè)絕對(duì)值的不等式 解含絕對(duì)值的恒成立問(wèn)題 解絕對(duì)值不等式的分段討論思想 不等式恒成立的常用方法：參變分離 1.三角大題 已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為其面積為,且. （Ⅰ）求角； （II）若,當(dāng)有且只有一解時(shí),求實(shí)數(shù)的范圍及的最大值. 【答案】(Ⅰ).(Ⅱ). (Ⅱ)由己知，當(dāng)有且只有一解時(shí)， 或,所以； 當(dāng)時(shí)，為直角三角形， 當(dāng)時(shí)， 由正弦定理， ， 所以，當(dāng)時(shí)， 綜上所述，. 點(diǎn)睛：本題在轉(zhuǎn)化有且只有一解時(shí),容易漏掉m=2這一種情況.此時(shí)要通過(guò)正弦定理和正弦函數(shù)的圖像分析，不能死記硬背.先由正弦定理得再畫(huà)正弦函數(shù)的圖像得到或. 2.概率大題 某大型商場(chǎng)去年國(guó)慶期間累計(jì)生成萬(wàn)張購(gòu)物單，從中隨機(jī)抽出張，對(duì)每單消費(fèi)金額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到下表： 消費(fèi)金額（單位：元） 購(gòu)物單張數(shù) 25 25 30 由于工作人員失誤，后兩欄數(shù)據(jù)無(wú)法辨識(shí)，但當(dāng)時(shí)記錄表明，根據(jù)由以上數(shù)據(jù)繪制成的頻率分布直方圖所估計(jì)出的每單消費(fèi)額的中位數(shù)與平均數(shù)恰好相等.用頻率估計(jì)概率，完成下列問(wèn)題： （1）估計(jì)去年國(guó)慶期間該商場(chǎng)累計(jì)生成的購(gòu)物單中，單筆消費(fèi)額超過(guò)元的概率； （2）為鼓勵(lì)顧客消費(fèi)，該商場(chǎng)計(jì)劃在今年國(guó)慶期間進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，凡單筆消費(fèi)超過(guò)元者，可抽獎(jiǎng)一次.抽獎(jiǎng)規(guī)則為：從裝有大小材質(zhì)完全相同的個(gè)紅球和個(gè)黑球的不透明口袋中，隨機(jī)摸出個(gè)小球，并記錄兩種顏色小球的數(shù)量差的絕對(duì)值，當(dāng)時(shí)，消費(fèi)者可分別獲得價(jià)值元、元和元的購(gòu)物券.求參與抽獎(jiǎng)的消費(fèi)者獲得購(gòu)物券的價(jià)值的數(shù)學(xué)期望. 【答案】(1) ;(2)見(jiàn)解析. （2）根據(jù)題意，，. 設(shè)抽獎(jiǎng)?lì)櫩瞳@得的購(gòu)物券價(jià)值為，則的分布列為 4 2 0 500 200 100 故（元）. 點(diǎn)睛：本題主要考查頻率分布直方圖和隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等知識(shí)，考查學(xué)生的分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題. 3.立體幾何 如圖，在四棱錐. （1）當(dāng)PB=2時(shí)，證明：平面平面ABCD. （2）當(dāng)四棱錐的體積為，且二面角為鈍角時(shí)，求直線(xiàn)PA與平面PCD所成角的正弦值. 【答案】（1）見(jiàn)解析. （2）. (2)解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，， 平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以過(guò)點(diǎn)作平面，垂足一定落在平面與平面的交線(xiàn)上. ∵四棱錐的體積為， ∴， ∴. ∵ ∴ 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸、軸，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作垂直于平面的直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由題意可知，故 ，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以. 設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則. 故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為. 點(diǎn)睛：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是面面垂直的判定，直線(xiàn)與平面所成的角.面面垂直的證明，往往利用線(xiàn)面垂直判定定理；解決有關(guān)線(xiàn)面角的問(wèn)題，一般利用空間向量數(shù)量積進(jìn)行處理比較方便，先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解出面的法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積求出直線(xiàn)向量與法向量夾角余弦值. 4.選講1（極坐標(biāo)參數(shù)方程） 以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，已知直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）. （1）若直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)交圓于兩點(diǎn)，求的值. 【答案】（1）（2） 詳解：（1）由， 得， 即， 故直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為. 由 得 所以圓的普通方程為. 若直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，則圓心到直線(xiàn)的距離，即， 故實(shí)數(shù)的取值范圍為. 5.選講2（不等式） 已知函數(shù). （1）當(dāng)，解不等式； （2）若，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）（2） （2），即，又且 所以，且 所以即 令，則， 所以時(shí)， ， 所以，解得， 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是. 9 專(zhuān)題2.3 中檔大題規(guī)范練03（三角 概率 立體幾何 選講） 類(lèi)型 試 題 亮 點(diǎn) 解題方法/思想/素養(yǎng) 三角大題 由三角函數(shù)的部分圖像求解析式 給值求值問(wèn)題 “五點(diǎn)作圖”思想的應(yīng)用 兩角和差公式的靈活應(yīng)用——配湊角 概率大題 古典概型 最優(yōu)方案問(wèn)題 古典概型的求解常用思想：求解對(duì)立事件的概率 方案選取的思想方法：比較期望或方程 立體幾何 線(xiàn)面角 二面角 傳統(tǒng)方法找線(xiàn)面角 空間向量法求解二面角 選講1（極坐標(biāo)參數(shù)方程） 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系 直線(xiàn)一側(cè)點(diǎn)的不等式關(guān)系 三角不等式恒成立求解 點(diǎn)在直線(xiàn)一側(cè)的不等轉(zhuǎn)化 選講2（不等式） 利用絕對(duì)值三角不等式求最值 三元的不等式證明問(wèn)題 作差法比較大小 1.三角大題 已知函數(shù) 的部分圖像如圖所示. (1)求的解析式； (2)設(shè)為銳角， ，求的值. 【答案】（1）；（2）. 2.概率大題 自2013年10月習(xí)近平主席提出建設(shè)“一帶一路”的合作倡議以來(lái)，我國(guó)積極建立與沿線(xiàn)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)合作伙伴關(guān)系.某公司為了擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，欲在海上絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶（南線(xiàn)）：泉州—福州—廣州—?？凇焙＃◤V西）—河內(nèi)—吉隆坡—雅加達(dá)—科倫坡—加爾各答—內(nèi)羅畢—雅典—威尼斯的13個(gè)城市中選擇3個(gè)城市建設(shè)自己的工業(yè)廠(chǎng)房，根據(jù)這13個(gè)城市的需求量生產(chǎn)產(chǎn)品，并將其銷(xiāo)往這13個(gè)城市. （1）求所選的3個(gè)城市中至少有1個(gè)在國(guó)內(nèi)的概率； （2）已知每間工業(yè)廠(chǎng)房的月產(chǎn)量為10萬(wàn)件，若一間廠(chǎng)房正常生產(chǎn)，則每月可獲得利潤(rùn)100萬(wàn)；若一間廠(chǎng)房閑置，則該廠(chǎng)房每月虧損50萬(wàn).該公司為了確定建設(shè)工業(yè)廠(chǎng)房的數(shù)目，統(tǒng)計(jì)了近5年來(lái)這13個(gè)城市中該產(chǎn)品的月需求量數(shù)據(jù)，得如下頻數(shù)分布表： 若以每月需求量的頻率代替每月需求量的概率，欲使該產(chǎn)品的每月總利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大，應(yīng)建設(shè)工業(yè)廠(chǎng)房多少間？ 【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元最大 （2）設(shè)該產(chǎn)品每月的總利潤(rùn)為， ①當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元． ②當(dāng)時(shí)，的分布列為 所以萬(wàn)元. ③當(dāng)時(shí)，的分布列為 所以萬(wàn)元. ④當(dāng)時(shí)，的分布列為 所以萬(wàn)元. 綜上可知，當(dāng)時(shí)萬(wàn)元最大，故建設(shè)廠(chǎng)房12間． 點(diǎn)睛：（1）離散型隨機(jī)變量的期望與方差的應(yīng)用，是高考的重要考點(diǎn)，不僅考查學(xué)生的理解能力與數(shù)學(xué)計(jì)算能力，而且不斷創(chuàng)新問(wèn)題情境，突出學(xué)生運(yùn)用概率、期望與方差解決實(shí)際問(wèn)題的能力． （2）在實(shí)際問(wèn)題中，一般地將期望最大(或最小)的方案作為最優(yōu)方案，若各方案的期望相同，則選擇方差最小(或最大)的方案作為最優(yōu)方案． 3.立體幾何 已知四棱錐，底面為菱形， 為上的點(diǎn)，過(guò)的平面分別交于點(diǎn)，且平面． （1）證明： ； （2）當(dāng)為的中點(diǎn)， ， 與平面所成的角為，求平面AMHN與平面ABCD所成銳二面角的余弦值． 【答案】(1)見(jiàn)解析;(2) . 試題解析： （1）證明：連交于點(diǎn)，連． 因?yàn)樗倪呅螢榱庑危? 所以，且為、的中點(diǎn)． 因?yàn)椋? 所以， 又且平面， 所以平面， 因?yàn)槠矫妫? 所以． 因?yàn)槠矫妫?平面，平面平面， 所以， 所以． 設(shè)，則 ， 所以 設(shè)平面的法向量為， 則，令，得． 由題意可得平面的法向量為， 所以． 所以平面AMHN與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為． 4.選講1（極坐標(biāo)參數(shù)方程） 在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），已知直線(xiàn)的方程為. （1）設(shè)是曲線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值； （2）若曲線(xiàn)上的所有點(diǎn)均在直線(xiàn)的右下方，求的取值范圍. 【答案】（1）. （2）. （Ⅱ）因?yàn)榍€(xiàn)上的所有點(diǎn)均在直線(xiàn)的右下方， 所以對(duì)，有恒成立， 即恒成立， 所以， 又，所以. 故的取值范圍為. 5.選講2（不等式） 已知，函數(shù)的最小值為3. （1）求的值； （2）若,且，求證：. 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析 8 專(zhuān)題2.4 中檔大題規(guī)范練04（三角 概率 立體幾何 選講） 類(lèi)型 試 題 亮 點(diǎn) 解題方法/思想/素養(yǎng) 三角大題 余弦定理應(yīng)用：角化邊求解邊 三角形中內(nèi)角范圍的確定 將方程中含角含邊的式子統(tǒng)一為邊的思想 利用三角函數(shù)求范圍的思想 概率大題 古典概型的概率求解 離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望 古典概型的概率求解：排列組合的應(yīng)用 立體幾何 線(xiàn)面垂直的判定定理 二面角的求解：含動(dòng)點(diǎn) 空間向量求解二面角 動(dòng)點(diǎn)的引參和建立方程求解的思想 選講1（極坐標(biāo)參數(shù)方程） 極坐標(biāo)系下的曲線(xiàn)軌跡問(wèn)題 極坐標(biāo)系下求面積的最值 相關(guān)的法求軌跡問(wèn)題 選講2（不等式） 含兩個(gè)絕對(duì)值的不等式求解問(wèn)題 不等式的有解問(wèn)題 數(shù)形結(jié)合求解不等式 1.三角大題 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，且. （1）求的值； （2）若， 為的面積，求的取值范圍. 【答案】(1) (2) （2）由正弦定理得 ， 在中，由 得 ， . 2.概率大題 某單位年會(huì)進(jìn)行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在抽獎(jiǎng)箱里裝有張印有“一等獎(jiǎng)”的卡片， 張印有“二等獎(jiǎng)”的卡片， 3張印有“新年快樂(lè)”的卡片，抽中“一等獎(jiǎng)”獲獎(jiǎng)元， 抽中“二等獎(jiǎng)”獲獎(jiǎng)元，抽中“新年快樂(lè)”無(wú)獎(jiǎng)金. （1）單位員工小張參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每次隨機(jī)抽取一張卡片，抽取后不放回.假如小張一定要將所有獲獎(jiǎng)卡片全部抽完才停止. 記表示“小張恰好抽獎(jiǎng)次停止活動(dòng)”，求的值； （2）若單位員工小王參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，一次隨機(jī)抽取張卡片. ①記表示“小王參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獎(jiǎng)”，求的值； ②設(shè)表示“小王參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)所獲獎(jiǎng)金數(shù)（單位：元）”，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析 ； 因此的分布列為 的數(shù)學(xué)期望是 點(diǎn)睛：解決該題的關(guān)鍵是 第一問(wèn)可以應(yīng)用排列數(shù)來(lái)解決，分析出對(duì)應(yīng)的滿(mǎn)足條件的排列，從而求得結(jié)果，第二問(wèn)注意反面思維的運(yùn)用，以及分布列的求法，最后應(yīng)用離散型隨機(jī)變量的期望公式求得結(jié)果. 3.立體幾何 如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn). （Ⅰ）求證：當(dāng)點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，平面； （Ⅱ）設(shè)，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，求出這個(gè)實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（2）或 試題解析： （Ⅰ）證明：連、， ∵點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)， ∴、、三點(diǎn)共線(xiàn). ∵點(diǎn)、分別為和的中點(diǎn)， ∴． 在直三棱柱中，， ∴平面， ∴， 又， ∴四邊形為正方形， ∴， ∵、平面， ∴平面， 而， ∴平面. 由題意得|， ∴， 解得或. ∴當(dāng)或時(shí)，平面與平面所成銳二面角的余弦值為． 點(diǎn)睛： 空間向量的引入為解決立體幾何中的探索性問(wèn)題提供了有力的工具．解決與平行、垂直有關(guān)的探索性問(wèn)題時(shí)，通常假定題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若能導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說(shuō)明假設(shè)成立，即存在，并可進(jìn)一步證明；若導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)果，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在． 4.選講1（極坐標(biāo)參數(shù)方程） 在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng). (I)若點(diǎn)在射線(xiàn)上,且,求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程; (Ⅱ)設(shè),求面積的最大值. 【答案】（Ⅰ）. (Ⅱ) . （Ⅱ）設(shè)，則 ， 的面積 ， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立 面積的最大值為． （用直角坐標(biāo)方程求解，參照給分） 5.選講2（不等式） 已知函數(shù). （1）解不等式； （2）若關(guān)于的不等式只有一個(gè)正整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1) 不等式的解集為{或};(2) . 8 專(zhuān)題2.5 中檔大題規(guī)范練05（三角 概率 立體幾何 選講） 類(lèi)型 試 題 亮 點(diǎn) 解題方法/思想/素養(yǎng) 三角大題 角平分線(xiàn)在解三角形中的處理方法 正余弦定理的邊角互化 數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想 面積和邊的等價(jià)轉(zhuǎn)化 概率大題 概率統(tǒng)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用 回歸方程的求解 信息的整合能力 數(shù)據(jù)分析能力 立體幾何 線(xiàn)面垂直的證明 立體幾何中的多解問(wèn)題 點(diǎn)面距的求解 利用空間向量求解點(diǎn)面距 方程思想 選講1（極坐標(biāo)參數(shù)方程） 普通方程與參數(shù)方程及極坐標(biāo)方程的互化 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系求解面積 數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想 選講2（不等式） 含兩個(gè)絕對(duì)值的不等式求解問(wèn)題 不等式恒成立問(wèn)題 含絕對(duì)值的最值問(wèn)題：絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用 二次函數(shù)的最值 1.三角大題 已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且. （1）求； （2）若角的平分線(xiàn)與交于點(diǎn)，且，求的值. 【答案】(1) ；(2) . （2）由（1）可知，且，所以， 同理可得， 設(shè)的面積分別為， 則， ， ， 由得，所以. 2.概率大題 隨著互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車(chē)應(yīng)運(yùn)而生，某市場(chǎng)研究人員為了了解共享單車(chē)運(yùn)營(yíng)公司的經(jīng)營(yíng)狀況，對(duì)該公司最近六個(gè)月的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了相應(yīng)的折線(xiàn)圖： （Ⅰ）由折線(xiàn)圖可以看出，可用線(xiàn)性回歸模型擬合月度市場(chǎng)占有率與月份代碼之間的關(guān)系，求關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程，并預(yù)測(cè)公司2017年4月的市場(chǎng)占有率； （Ⅱ）為進(jìn)一步擴(kuò)大市場(chǎng)，公司擬再采購(gòu)一批單車(chē)，現(xiàn)有采購(gòu)成本分別為元/輛和1200元/輛的、兩款車(chē)型可供選擇，按規(guī)定每輛單車(chē)最多使用4年，但由于多種原因(如騎行頻率等)會(huì)導(dǎo)致單車(chē)使用壽命各不相同，考慮到公司運(yùn)營(yíng)的經(jīng)濟(jì)效益，該公司決定先對(duì)這兩款車(chē)型的單車(chē)各100輛進(jìn)行科學(xué)模擬測(cè)試，得到兩款單車(chē)使用壽命的頻數(shù)表如下： 經(jīng)測(cè)算，平均每輛單車(chē)每年可以帶來(lái)收入500元，不考慮除采購(gòu)成本之外的其他成本，假設(shè)每輛單車(chē)的使用壽命都是整數(shù)年，且以頻率作為每輛單車(chē)使用壽命的概率，如果你是公司的負(fù)責(zé)人，以每輛單車(chē)產(chǎn)生利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，你會(huì)選擇采購(gòu)哪款車(chē)型？ 參考公式：回歸直線(xiàn)方程為，其中，. 【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）應(yīng)該采購(gòu)款車(chē). （Ⅱ）由頻率估計(jì)概率，每輛款車(chē)可使用1年，2年，3年，4年的概率分別為、、、. ∴每輛款車(chē)的利潤(rùn)數(shù)學(xué)期望為(元)，每輛款車(chē)可使用1年，2年，3年，4年的概率分別為，，，. ∴每輛款車(chē)的利潤(rùn)數(shù)學(xué)利潤(rùn)為(元) ∵ ∴應(yīng)該采購(gòu)款車(chē). 3.立體幾何 如圖，在三棱柱中，已知側(cè)面，，，，點(diǎn)在棱上. （1）求的長(zhǎng)，并證明平面； （2）若，試確定的值，使得到平面的距離為. 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 試題解析：（1）證明：因?yàn)?，，? 在△中，由余弦定理，得， 所以，即C1B⊥BC． 又AB⊥側(cè)面BCC1B1，BC1側(cè)面BCC1B1，故AB⊥BC1， 又，所以C1B⊥平面ABC． （2）解：由（Ⅰ）知，BC，BA，BC1兩兩垂直， 以B為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系， 4.選講1（極坐標(biāo)參數(shù)方程） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為. （1）求直線(xiàn)的普通方程與圓的直角坐標(biāo)方程； （2）若直線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，求弦與劣弧圍成的圖形的面積. 【答案】（1）；（2）. 【解析】試題分析：利用，，代入求出直角坐標(biāo)方程在直角坐標(biāo)方程下進(jìn)行求解，求出，然后計(jì)算出結(jié)果 解析：（1）由題意知， 由，，， 得圓的直角坐標(biāo)方程為， 由， 故直線(xiàn)的變通方程為. （2）由， 故圓心，半徑. 圓心到直線(xiàn)的距離為， 所以，， 所以弦與劣弧圍成的圖形的面積 . 5.選講2（不等式） 已知函數(shù)， （1）求，求的取值范圍； （2）若，對(duì)，都有不等式恒成立，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2） 8 專(zhuān)題2.6 中檔大題規(guī)范練06（數(shù)列 概率 立體幾何 選講） 類(lèi)型 試 題 亮 點(diǎn) 解題方法/思想/素養(yǎng) 數(shù)列大題 由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式 前項(xiàng)和為的最值問(wèn)題 利用項(xiàng)的正負(fù)變化研究和的最值，轉(zhuǎn)化的思想 概率大題 由頻率分布直方圖估計(jì)總體的平均數(shù)和中位數(shù) 抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金問(wèn)題 信息整合能力 立體幾何 折疊問(wèn)題 面面垂直的性質(zhì)定理 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 利用空間向量求解線(xiàn)面角 選講1（極坐標(biāo)參數(shù)方程） 參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 多解問(wèn)題 應(yīng)用極坐標(biāo)系的極經(jīng)極角的幾何意義解題 選講2（不等式） 含兩個(gè)絕對(duì)值的函數(shù)最值問(wèn)題 不等式證明問(wèn)題 分離討論的思想求分段函數(shù)最值 靈活應(yīng)用基本不等式證明不等式 1.數(shù)列大題 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足： . （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，試問(wèn)當(dāng)為何值時(shí)， 最??？并求出最小值. 【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）-10. 2.概率大題 某超市為調(diào)查會(huì)員某年度上半年的消費(fèi)情況制作了有獎(jiǎng)?wù){(diào)查問(wèn)卷發(fā)放給所有會(huì)員，并從參與調(diào)查的會(huì)員中隨機(jī)抽取名了解情況并給予物質(zhì)獎(jiǎng)勵(lì).調(diào)查發(fā)現(xiàn)抽取的名會(huì)員消費(fèi)金額（單位：萬(wàn)元）都在區(qū)間內(nèi)，調(diào)查結(jié)果按消費(fèi)金額分成組，制作成如下的頻率分布直方圖. （1）求該名會(huì)員上半年消費(fèi)金額的平均值與中位數(shù)；（以各區(qū)間的中點(diǎn)值代表該區(qū)間的均值） （2）若再?gòu)倪@名會(huì)員中選出一名會(huì)員參加幸運(yùn)大抽獎(jiǎng)，幸運(yùn)大抽獎(jiǎng)方案如下：會(huì)員最多有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)概率均為，第一次抽獎(jiǎng)，若未中獎(jiǎng)，則抽獎(jiǎng)結(jié)束.若中獎(jiǎng)，則通過(guò)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng).規(guī)定：拋出的硬幣，若反面朝上，則會(huì)員獲得元獎(jiǎng)金，不進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)；若正面朝上，會(huì)員需進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，且在第二次抽獎(jiǎng)中，如果中獎(jiǎng)，則獲得獎(jiǎng)金元，如果未中獎(jiǎng)，則所獲得的獎(jiǎng)金為元.若參加幸運(yùn)大抽獎(jiǎng)的會(huì)員所獲獎(jiǎng)金（單位：元）用表示，求的分布列與期望值. 【答案】（1）平均數(shù)，中位數(shù)分別為萬(wàn)元， 萬(wàn)元；（2）見(jiàn)解析. （2）由題意可知， 可能取值為， ， . 則， ， . 的分布列為： （元）. 3.立體幾何 在矩形中，，，點(diǎn)是線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.如圖，將沿折起至，使得平面平面. （1）當(dāng)時(shí)，求證：； （2）是否存在，使得與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1)見(jiàn)解析(2) （2）以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系. 則，，. 取的中點(diǎn)， ∵，∴， ∴ 易證得平面， ∵，∴，∴. ∴，，. 4.選講1（極坐標(biāo)參數(shù)方程） 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)的極坐標(biāo)為. (Ⅰ)求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程； (Ⅱ)若點(diǎn)在曲線(xiàn)上，,求的大小. 【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)或. 【解析】試題分析：(Ⅰ)先將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化為一般方程，再利用互化公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化；(Ⅱ)利用曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程的幾何意義和三角恒等變換進(jìn)行求解. 試題解析：(Ⅰ)∵曲線(xiàn)的普通方程為，即, 曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為. (Ⅱ)，且, 或或， 或. 5.選講2（不等式） 已知， ，且． （1）若恒成立，求的取值范圍； （2）證明： ． 【答案】(1) ；(2)證明見(jiàn)解析. 試題解析： （1）設(shè) 由，得， 8 專(zhuān)題2.7 中檔大題規(guī)范練07（數(shù)列 概率 立體幾何 選講） 類(lèi)型 試 題 亮 點(diǎn) 解題方法/思想/素養(yǎng) 數(shù)列大題 由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式 裂項(xiàng)相消法求前項(xiàng)和 裂項(xiàng)相消法的靈活應(yīng)用 概率大題 抽獎(jiǎng)問(wèn)題 獨(dú)立重復(fù)事件的應(yīng)用 二項(xiàng)分布的應(yīng)用 信息分析能力 二項(xiàng)分布模型的應(yīng)用 立體幾何 線(xiàn)面垂直的判定定理 斜棱柱的建系問(wèn)題 二面角的求解問(wèn)題 利用空間向量求解二面角 選講1（極坐標(biāo)參數(shù)方程） 極坐標(biāo)系方程與直角坐標(biāo)方程的互化 橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用 利用橢圓參數(shù)方程結(jié)合三角函數(shù)求最值 選講2（不等式） 含兩個(gè)絕對(duì)值的不等式求解問(wèn)題 含一個(gè)絕對(duì)值的不等式恒成立問(wèn)題求參 分類(lèi)討論思想去絕對(duì)值 最值思想求解不等式恒成立問(wèn)題 1.數(shù)列大題 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求. 【答案】（1）（2） 2.概率大題 2018年元旦期間，某運(yùn)動(dòng)服裝專(zhuān)賣(mài)店舉辦了一次有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，消費(fèi)每超過(guò)400元均可參加1次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種. 方案一：顧客轉(zhuǎn)動(dòng)十二等分且質(zhì)地均勻的圓形轉(zhuǎn)盤(pán)(如圖），轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)指針指向哪個(gè)扇形區(qū)域，則顧客可直接獲得該區(qū)域?qū)?yīng)面額(單位：元）的現(xiàn)金優(yōu)惠，且允許顧客轉(zhuǎn)動(dòng)3次. 方案二：顧客轉(zhuǎn)動(dòng)十二等分且質(zhì)地均勻的圓形轉(zhuǎn)盤(pán)（如圖〕，轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)指針若指向陰影部分，則未中獎(jiǎng)，若指向白色區(qū)域，則顧客可直接獲得40元現(xiàn)金，且允許顧客轉(zhuǎn)動(dòng)3次. （1）若兩位顧客均獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，且都選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求這兩位顧客均獲得180元現(xiàn)金優(yōu)惠的概率； （2）若某顧客恰好獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì). ①試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎(jiǎng)方案最終獲得現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)的數(shù)學(xué)期望； ②從概率的角度比較①中該顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？ 【答案】(1) (2) ①見(jiàn)解析②該顧客選擇第一種抽獎(jiǎng)方案更合算 【解析】試題分析：（1）由圖可知，每一次轉(zhuǎn)盤(pán)指向60元對(duì)應(yīng)區(qū)域的概率為，設(shè)“每位顧客獲得180元現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)”為事件，則，結(jié)合乘法概率公式得到這兩位顧客均獲得180元現(xiàn)金優(yōu)惠的概率； （2）①方案一： 可能的取值為60，100，140，180， 方案二： ，故； ②由①知，所以該顧客選擇第一種抽獎(jiǎng)方案更合算. （2）①若選擇抽獎(jiǎng)方案一，則每一次轉(zhuǎn)盤(pán)指向60元對(duì)應(yīng)區(qū)域的概率為，每一次轉(zhuǎn)盤(pán)指向20元對(duì)應(yīng)區(qū)域的概率為. 設(shè)獲得現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)金額為元， 則可能的取值為60，100，140，180. 則； ； ； . 所以選擇抽獎(jiǎng)方案一，該顧客獲得現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)金額的數(shù)學(xué)期望為（元）. 若選擇抽獎(jiǎng)方案二，設(shè)三次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的過(guò)程中，指針指向白色區(qū)域的次數(shù)為，最終獲得現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)金額為元，則，故， 所以選擇抽獎(jiǎng)方案二，該顧客獲得現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)金額的數(shù)學(xué)期望為（元）. ②由①知， 所以該顧客選擇第一種抽獎(jiǎng)方案更合算. 3.立體幾何 如圖，四棱柱的底面是正方形，為和的交點(diǎn)， 若。 （1）求證：平面； （2）求二面角的余弦值。 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 4.選講1（極坐標(biāo)參數(shù)方程） 直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是. （Ⅰ）求曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）設(shè)曲線(xiàn)與軸正半軸及軸正半軸交于點(diǎn)，在第一象限內(nèi)曲線(xiàn)上任取一點(diǎn)，求四邊形面積的最大值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） . 【解析】分析：（Ⅰ）把整合成，再利用就可以得到曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）因?yàn)樵跈E圓上且在第一象限，故可設(shè)，從而所求面積可用的三角函數(shù)來(lái)表示，求出該函數(shù)的最大值即可. 詳解：（Ⅰ）由題可變形為， ∵， ，∴，∴. 5.選講2（不等式） 已知函數(shù)． （1）求不等式的解集； （2）若 對(duì)恒成立，求的取值范圍． 【答案】(1) ；(2) . 8 專(zhuān)題2.8 中檔大題規(guī)范練08（數(shù)列 概率 立體幾何 選講） 類(lèi)型 試 題 亮 點(diǎn) 解題方法/思想/素養(yǎng) 數(shù)列大題 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 公式法求解等差等比數(shù)列 概率大題 正態(tài)分布的應(yīng)用 超幾何分布的概型問(wèn)題 正態(tài)分布概率求解的對(duì)稱(chēng)思想 超幾何分布的模型 立體幾何 不規(guī)則六面體的建系 線(xiàn)面平行的判定定理 已知二面角求解線(xiàn)面角 空間向量求解二面角、線(xiàn)面角 選講1（極坐標(biāo)參數(shù)方程） 圓的極坐標(biāo)方程 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 利用極徑和極角幾何意義求解長(zhǎng)度角度問(wèn)題 選講2（不等式） 含兩個(gè)絕對(duì)值的不等式恒成立問(wèn)題 含絕對(duì)值函數(shù)的最值問(wèn)題 利用絕對(duì)值三角不等式求最值 分段討論求分段函數(shù)最值 數(shù)形結(jié)合求面積 1.數(shù)列大題 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列中去掉數(shù)列的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原順序組成數(shù)列，求的值. 【答案】(1)；(2)11202. 2.概率大題 某鋼管生產(chǎn)車(chē)間生產(chǎn)一批鋼管，質(zhì)檢員從中抽出若干根對(duì)其直徑（單位： ）進(jìn)行測(cè)量，得出這批鋼管的直徑 服從正態(tài)分布. (1)當(dāng)質(zhì)檢員隨機(jī)抽檢時(shí)，測(cè)得一根鋼管的直徑為,他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設(shè)備，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)知識(shí)，判斷該質(zhì)檢員的決定是否有道理，并說(shuō)明判斷的依據(jù)； (2)如果鋼管的直徑滿(mǎn)足為合格品（合格品的概率精確到0.01），現(xiàn)要從60根該種鋼管中任意挑選3根，求次品數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望. （參考數(shù)據(jù)：若,則； . 【答案】（1）有道理；（2）分布列見(jiàn)解析， . 【解析】試題分析：（1）因?yàn)?(2) , 由題意可知鋼管直徑滿(mǎn)足： 為合格品， 故該批鋼管為合格品的概率約為0.95 60根鋼管中，合格品 57根，次品3根，任意挑選3根，則次品數(shù) 的可能取值為:0,1,2,3. . 則次品數(shù)的分布列列為： 0 1 2 3 得： . 3.立體幾何 在如圖所示的六面體中,面是邊長(zhǎng)為2的正方形,面是直角梯形,，. (1)求證:平面； (2)若二面角為60°,求直線(xiàn)和平面所成角的正弦值. 【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2). (2)是正方形,是直角梯形,, ,平面,同理可得平面. 又平面,所以平面平面, 又因?yàn)槎娼菫?0°， 所以,由余弦定理得, 所以，因?yàn)榘朊妫? ,所以平面, 以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標(biāo)系. 則, 所以, 設(shè)平面的一個(gè)法向量為, 則即令，則， 所以 設(shè)直線(xiàn)和平面所成角為， 則 4.選講1（極坐標(biāo)參數(shù)方程） 在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. （1）求直線(xiàn)和圓的極坐標(biāo)方程； （2）若射線(xiàn)與的交點(diǎn)為，與圓的交點(diǎn)為，，且點(diǎn)恰好為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求的值. 【答案】（1）直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，圓的極坐標(biāo)方程為；（2）. 5.選講2（不等式） 已知函數(shù); （Ⅰ）若對(duì)恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍； （Ⅱ）函數(shù)（），若函數(shù)的圖象與軸圍成的面積等于3，求實(shí)數(shù)的值. 【答案】（Ⅰ）或者;（Ⅱ）. 【解析】試題分析：（Ⅰ）若對(duì)恒成立，只需即可，由絕對(duì)值三角不等式可得解； 7