《【備戰(zhàn)】北京中國人民大學附中高考數(shù)學(題型預測范例選講)綜合能力題選講 第03講 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)(含詳解)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《【備戰(zhàn)】北京中國人民大學附中高考數(shù)學(題型預測范例選講)綜合能力題選講 第03講 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)(含詳解)(3頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)
題型預測
指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)都是非常重要的初等函數(shù),也是我們在高中階段研究函數(shù)問題時主要的載體.其它初等函數(shù)與之相復合,所得到的新函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性,以及它們與不等式的綜合常常成為考查的核心.
范例選講
例1.已知,其中.
(1)試求的定義域和值域;求出的反函數(shù);
(2)求出的反函數(shù);
(3)判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性;
(4)若實數(shù)滿足,求的取值范圍.
講解 (1) 由于,所以,函數(shù)的定義域為R.
為求的值域,觀察函數(shù)的解析式.注意到其實是一個單調(diào)函數(shù)()和一個非單調(diào)函數(shù)()之和,因此,的單調(diào)性并不能通過簡單判斷很快
2、得到.
解決這個問題,我們可以有下面的兩種選擇:
一、從單調(diào)性的定義出發(fā).即任取,且,比較的大小關(guān)系,這種方法留給同學自己完成.
二、通過剛才的觀察,很快可以看出:在上單調(diào)遞增,此時,的取值范圍為;
當時,,因此,若令,則
由,則可知:此時的取值范圍為.
又時,.所以,函數(shù)的值域為.
所以,函數(shù)的值域為R.
(2)設(shè),則=,利用與互為倒數(shù),可得=,所以,.
所以,=,R.
(3)任取R,則==,所以,函數(shù)為奇函數(shù).
任取,且,則由及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知:
,,
所以,,即.
所以,在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.
(4)由得:,即:
結(jié)合的單調(diào)性可知:上式等價于
3、:,解之得:.
點評 ①定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ).求值域、判斷奇偶性、單調(diào)性、研究函數(shù)圖象等都應(yīng)先從定義域出發(fā).②從定義域出發(fā),利用函數(shù)的單調(diào)性,是求函數(shù)值域常用的方法.
例2.已知函數(shù),對定義域內(nèi)的任意都有成立.
(1)求實數(shù)的值;
(2)若當時,的取值范圍恰為,求實數(shù)的值.
講解:(1)由及可得:
解之得:.
當時,函數(shù)無意義,所以,只有.
(2)時, ,其定義域為.
所以,或.
①若,則.
為研究時的值域,可考慮在上的單調(diào)性.下證在上單調(diào)遞減.
任取,且,則
又,所以,,即.
所以,當,在上單調(diào)遞減
由題:時,的取值范圍恰為,所以,必有,解之得:(因為,所以舍去)
②若,則.又由于,所以,.
此時,同上可證在上單調(diào)遞增(證明過程略).
所以,在上的取值范圍應(yīng)為,而為常數(shù),故的取值范圍不可能恰為.
所以,在這種情況下,無解.
綜上,符合題意的實數(shù)的值為,
點評 本題(2)中,充分的運用已知條件,可以減少分類討論的次數(shù).
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