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第3章 三角函數(shù)、解三角形
第3節(jié) 三角函數(shù)圖像與性質(zhì)
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)
1. (2013新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,5分)函數(shù)f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]的圖像大致為( )
解析:本題主要考查數(shù)形結(jié)合思想,以及對(duì)問題的分析判斷能力.首先知函數(shù)為奇函數(shù),排除B.其次只需考慮x∈[0,π]的情形,又當(dāng)x∈[0,π]時(shí),f(x)≥0,于是排除A.∵f(x)=(1-cos x)sin x,∴f′(x)=sin xsin x+(1-cos x)cos x=1-cos2x+cos
2、x-cos2x=-2cos2x+cos x+1,令f′(x)=0,則cos x=1或cos x=-,結(jié)合x∈[-π,π],求得f(x)在[0,π]上的極大值點(diǎn)為π,靠近π,可知C對(duì).
答案:C
2.(2013浙江,5分)函數(shù)f(x)=sin xcos x+cos 2x的最小正周期和振幅分別是( )
A.π,1 B.π,2
C.2π,1 D.2π,2
解析:本題主要考查三角變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度,以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化與化歸能力、運(yùn)算求解能力.由f(x)=sin xcos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=
3、sin,得最小正周期為π,振幅為1.
答案:A
3.(2013天津,5分)函數(shù)f(x)=sin在區(qū)間上的最小值為( )
A.-1 B.-
C. D.0
解析:本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì),意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力.由已知x∈,得2x-∈,所以sin∈,故函數(shù)f(x)=sin在區(qū)間上的最小值為-.
答案:B
4.(2013江西,5分)設(shè)f(x)=sin 3x+cos 3x,若對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有|f(x)|≤a,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析:本題主要考查兩角和與差的公式、輔助角公式的應(yīng)用、三角函數(shù)的基本性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.由題意知f(x)=2sin,則
4、|f(x)|≤2,所以a≥2.
答案:[2,+∞)
5.(2013安徽,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=sin x+sin.
(1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合;
(2)不畫圖,說明函數(shù)y=f(x)的圖像可由y=sin x的圖像經(jīng)過怎樣的變化得到.
解:本題主要考查三角恒等變換,三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)與三角函數(shù)圖像的變換等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能,考查邏輯推理和運(yùn)算求解能力.
(1)因?yàn)閒(x)=sin x+sin x+cos x=sin x+cos x=sin,
所以當(dāng)x+=2kπ-,即x=2kπ-(k∈Z)時(shí),f(x)取最小值-.
此時(shí)x的取值集合為xx=2kπ-
5、,k∈Z.
(2)先將y=sin x的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍(橫坐標(biāo)不變),得y=sin x的圖像;再將y=sin x的圖像上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位,得y=f(x)的圖像.
6.(2012新課標(biāo)全國(guó),5分)已知ω>0,0<φ<π,直線x=和x=是函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖像的兩條相鄰的對(duì)稱軸,則 φ=( )
A. B.
C. D.
解析:由于直線x=和x=是函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖像的兩條相鄰的對(duì)稱軸,所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π,所以ω=1,所以+φ=kπ+(k∈Z),
又0<φ<π,所以φ=.
答案:A
7.(2012山東,5
6、分)函數(shù)y=2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為( )
A.2- B.0
C.-1 D.-1-
解析:當(dāng)0≤x≤9時(shí),-≤-≤,-≤sin (-)≤1,所以函數(shù)的最大值為2,最小值為-,其和為2-.
答案:A
8.(2012安徽,5分)要得到函數(shù)y=cos(2x+1)的圖象,只要將函數(shù)y=cos 2x的圖象( )
A.向左平移1個(gè)單位
B.向右平移1個(gè)單位
C.向左平移個(gè)單位
D.向右平移個(gè)單位
解析:y=cos 2x的圖象向左平移個(gè)單位后即變成y=cos 2(x+)=cos(2x+1)的圖象.
答案:C
9.(2012天津,5分)將函數(shù)f(x)=s
7、in ωx(其中ω>0)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖像經(jīng)過點(diǎn)(,0),則ω的最小值是( )
A. B.1
C. D.2
解析:將函數(shù)f(x)=sin ωx的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為f(x)=sin ω(x-)=sin(ωx-).又因?yàn)楹瘮?shù)圖像過點(diǎn)(,0),所以sin(-)=sin=0,所以=kπ,即ω=2k(k∈Z),因?yàn)棣?0,所以ω的最小值為2.
答案:D
10.(2011新課標(biāo)全國(guó),5分)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),則( )
A.y=f(x)在(0,)單調(diào)遞增,其圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱
B.y=f(x)在(0
8、,)單調(diào)遞增,其圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱
C.y=f(x)在(0,)單調(diào)遞減,其圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱
D.y=f(x)在(0,)單調(diào)遞減,其圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱
解析:因?yàn)閥=sin(2x+)+cos(2x+)=sin(2x+)=cos2x,所以y=cos2x,在(0,)單調(diào)遞減,對(duì)稱軸為2x=kπ,即x=(k∈Z).
答案:D
11.(2011山東,5分)若函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)在區(qū)間[0,]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[,]上單調(diào)遞減,則ω=( )
A. B.
C.2 D.3
解析:由于函數(shù)f(x)=sinωx的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),根據(jù)已知并結(jié)合函數(shù)圖像可知,為這個(gè)函
9、數(shù)的四分之一周期,故=,解得ω=.
答案:B
12.(2009山東,5分)將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式是( )
A.y=cos2x B.y=2cos2x
C.y=1+sin(2x+) D.y=2sin2x
解析:y=sin2x圖象向左平移個(gè)單位得到y(tǒng)=sin2(x+)=sin(2x+)=cos2x的圖象,再向上平移1個(gè)單位得到y(tǒng)=cos2x+1=2cos2x-1+1=2cos2x的圖象.故選B.
答案:B
13.(2010廣東,14分)設(shè)函數(shù)f(x)=3sin(ωx+),ω>0,x∈(-∞,+∞),且以為最小正周期.
(1)求f(0);
(2)求f(x)的解析式;
(3)已知f(+)=,求sinα的值.
解:(1)由題設(shè)可知f(0)=3sin=.
(2)∵f(x)的最小正周期為,
∴ω==4.
∴f(x)=3sin(4x+).
(3)由f(+)=3sin(α++)=3cos α=,
∴cos α=.
∴sin α==.
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