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第五節(jié) 橢 圓
考點(diǎn)一
橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程
[例1] (1)(2013廣東高考)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率等于,則C的方程是( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
(2)(2014岳陽模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在x軸上,離心率為.過F1的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),且△ABF2的周長為16,那么橢圓C的方程為________.
[自主解答] (1)由右焦點(diǎn)為F(1,0),可知c=1,
2、因?yàn)殡x心率為,即=,故a=2,由a2=b2+c2,知b2=a2-c2=3,因此橢圓C的方程為+=1.
(2)由△ABF2的周長為4a=16,得a=4,又知離心率為,即=,c=a=2,所以a2=16,b2=a2-c2=16-8=8,所以橢圓C的方程為+=1.
[答案] (1)D (2)+=1
【互動探究】[來源:]
在本例(2)中若將條件“焦點(diǎn)在x軸上”去掉,結(jié)果如何?
解:由例1(2)知:當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),橢圓的方程為+=1;當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),橢圓的方程為+=1.
綜上可知C的方程為+=1或+=1.
【方法規(guī)律】[來源:]
用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟[來源:]
3、
(1)作判斷:根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)是在x軸上,還是在y軸上,還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能;
(2)設(shè)方程:根據(jù)上述判斷設(shè)方程+=1(a>b>0),+=1(a>b>0)或mx2+ny2=1(m>0,n>0).
(3)找關(guān)系:根據(jù)已知條件,建立關(guān)于a,b,c或m,n的方程組;
(4)得方程:解方程組,將解代入所設(shè)方程,即為所求.
注意:用待定系數(shù)法求橢圓的方程時(shí),要“先定型,再定量”,不能確定焦點(diǎn)的位置時(shí),可進(jìn)行分類討論或把橢圓的方程設(shè)為mx2+ny2=1(m>0,n>0).
1.已知△ABC的頂點(diǎn)B,C在橢圓+y2=1上,頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上,則△
4、ABC的周長是( )
A.2 B.6 C.4 D.12
解析:選C 根據(jù)橢圓定義,△ABC的周長等于橢圓長軸長的2倍,即4.
2.(2012山東高考)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2-y2=1的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn),以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析:選D ∵橢圓的離心率為,
∴==,∴a=2b.
∴橢圓的方程為x2+4y2=4b2.
∵雙曲線x2-y2=1的漸近線方程為xy=
5、0,
∴漸近線xy=0與橢圓x2+4y2=4b2在第一象限的交點(diǎn)為,
∴由圓錐曲線的對稱性得四邊形在第一象限部分的面積為bb=4,
∴b2=5,∴a2=4b2=20.
∴橢圓C的方程為+=1.
考點(diǎn)二
橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用
[例2] (1)已知點(diǎn)F1,F(xiàn)2分別是橢圓x2+2y2=2的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P是該橢圓上的一個(gè)動點(diǎn),那么|+|的最小值是( )
A.0 B.1 C.2 D.2
(2)(2013遼寧高考)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,C與過原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn),連接AF,BF.若|AB|=10,|
6、BF|=8,cos∠ABF=,則C的離心率為 ( )
A. B. C. D.
[自主解答] (1)設(shè)P(x0,y0),
則=(-1-x0,-y0),=(1-x0,-y0),
∴+=(-2x0,-2y0),
∴|+|==2=2.
∵點(diǎn)P在橢圓上,∴0≤y≤1,
∴當(dāng)y=1時(shí),|+|取最小值為2.
(2)
如圖,設(shè)|AF|=x,
則cos∠ABF==.
解得x=6,∴∠AFB=90,由橢圓及直線關(guān)于原點(diǎn)對稱可知|AF1|=8,且∠FAF1=∠FAB+∠FBA=90,△FAF1是直角三角形,所以|F1F|=10,故2
7、a=8+6=14,2c=10,∴C的離心率e==.
答案:(1)C (2)B
【方法規(guī)律】
1.利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點(diǎn)及技巧
(1)注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系
在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍,或者最大值、最小值時(shí),經(jīng)常用到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x,y的范圍,離心率的范圍等不等關(guān)系.
(2)利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧
求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí),要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時(shí),要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.
2.求橢圓的離心率問題的一般思路
求橢圓的離心率或其范圍時(shí),一般是依據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于a,b,c的等式或不等式,利用a2=b2+c2消去b,即可
8、求得離心率或離心率的范圍.
如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),A是橢圓C的頂點(diǎn),B是直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn),∠F1AF2=60.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)已知△AF1B的面積為40,求a,b的值.
解:(1)由題意可知,△AF1F2為等邊三角形,a=2c,
所以e==.
(2)法一:a2=4c2,b2=3c2,
直線AB的方程為y=-(x-c).
將其代入橢圓方程3x2+4y2=12c2,
得B.又A(0,c),
所以|AB|= =c.
由S△AF1B=|AF1||AB|sin ∠F1AB
=ac
=a2=40
9、,
解得a=10,c=5,則b2=75,即b=5.
法二:設(shè)|AB|=t.
因?yàn)閨AF2|=a,所以|BF2|=t-a.
由橢圓定義|BF1|+|BF2|=2a,可知|BF1|=3a-t.
再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60,可得
t=a.
由S△AF1B=|AF1||AB|sin∠F1AB
=aa=a2=40,
解得a=10,則c=5,b=5.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)三 直線與橢圓的綜合問題
1.直線與橢圓的綜合問題,是近年來高考命題的熱點(diǎn),多以解答題的形式出現(xiàn),試題難度較高,多為中檔題.
2.高考對直線與橢圓的綜合問題的考
10、查主要有以下幾個(gè)命題角度:
(1)已知某條件,求直線的方程;
(2)求三角形(或其他幾何圖形)的面積;
(3)判斷幾何圖形的形狀;
(4)弦長問題;
(5)中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)問題.
[例3] (2013陜西高考)已知動點(diǎn)M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍.
(1)求動點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點(diǎn),若A是PB的中點(diǎn),求直線m的斜率.
[自主解答]
(1)設(shè)M到直線l的距離為d,根據(jù)題意,d=2|MN|.
由此得
|4-x|=2,
化簡得+=1,
所以,動點(diǎn)M的軌跡C的方程為+=1.
(
11、2)法一:由題意,設(shè)直線m的方程為y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).
將y=kx+3代入+=1中,有(3+4k2)x2+24kx+24=0,
其中,Δ=(24k)2-424(3+4k2)=96(2k2-3)>0,
即k2>.
x1+x2=-,①
x1x2=.②
又因A是PB的中點(diǎn),故x2=2x1,③
將③代入①②,得x1=-,x=,
可得2=,且k2>,
解得k=-或k=,
所以直線m的斜率為-或.
法二:由題意,設(shè)直線m的方程為y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).
因?yàn)锳是PB的中點(diǎn),
所以x1=,①
y1=.②
又+=1,③
12、
+=1,④
聯(lián)立①②③④解得或
即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)或(-2,0),
所以直線m的斜率為-或.
直線與橢圓綜合問題的常見題型及解題策略
(1)求直線方程.可依題條件,尋找確定該直線的兩個(gè)條件,進(jìn)而得到直線方程.
(2)求面積.先確定圖形的形狀,再利用條件尋找確定面積的條件,進(jìn)而得出面積的值.
(3)判斷圖形的形狀.可依據(jù)平行、垂直的條件判斷邊角關(guān)系,再依據(jù)距離公式得出邊之間的關(guān)系.
(4)弦長問題.利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式求解.
(5)中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn).一般利用點(diǎn)差法求解,注意判斷直線與方程是否相交.
(2013重慶高考)
如圖,橢圓的中心為原點(diǎn)O,
13、長軸在x軸上,離心率e=,過左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A,A′兩點(diǎn),|AA′|=4.
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P,P′,過P,P′作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外.求△PP′Q的面積S的最大值,并寫出對應(yīng)的圓Q 的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解:(1)設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0),
由題意知點(diǎn)A(-c,2)在橢圓上,則+=1.從而e2+=1.[來源:]
由e=,得b2==8,從而a2==16.
故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)由橢圓的對稱性,可設(shè)Q(x0,0).
又設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn),則
|QM|2=(x
14、-x0)2+y2
=x2-2x0x+x+8
=(x-2x0)2-x+8(x∈[-4,4]).
設(shè)P(x1,y1),由題意知,點(diǎn)P是橢圓上到點(diǎn)Q的距離最小的點(diǎn),因此,上式當(dāng)x=x1時(shí)取最小值,又因x1∈(-4,4),所以上式當(dāng)x=2x0時(shí)取最小值,從而x1=2x0,且|QP|2=8-x.
由對稱性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,所以
S=|2y1||x1-x0|=2 |x0|=
=
當(dāng)x0=時(shí),△PP′Q的面積S取到最大值2.
此時(shí)對應(yīng)的圓Q的圓心坐標(biāo)為Q(,0),半徑|QP|==,
因此,這樣的圓有兩個(gè),其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x+)2+y2=6,(x-)2+
15、y2=6.
——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個(gè)規(guī)律——橢圓焦點(diǎn)位置與x2,y2系數(shù)之間的關(guān)系
給出橢圓方程+=1時(shí),橢圓的焦點(diǎn)在x軸上?a>b>0;橢圓的焦點(diǎn)在y軸上?0
16、橢圓方程.
(2)待定系數(shù)法:根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在x軸還是y軸上,設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后根據(jù)條件確定關(guān)于a,b,c的方程組,解出a2,b2,從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
3種技巧——與橢圓性質(zhì)、方程相關(guān)的三種技巧
(1)橢圓上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的所有距離中,長軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別為最大距離和最小距離,且最大距離為a+c,最小距離為a-c.
(2)求橢圓離心率e時(shí),只要求出a,b,c的一個(gè)齊次方程,再結(jié)合b2=a2-c2就可求得e(0