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萬變不離其宗:高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修一:專題四 基本初等函數(shù) Word版含解析

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1、 一、題之源:課本基礎(chǔ)知識(shí) 1.求二次函數(shù)的解析式 利用已知條件求二次函數(shù)的解析式常用的方法是待定系數(shù)法,但須根據(jù)不同條件選取適當(dāng)形式的f(x),一般規(guī)律是: ①已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),宜用一般式; ②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最大(小)值時(shí),常用頂點(diǎn)式; ③若已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),且橫坐標(biāo)已知時(shí),選用零點(diǎn)式更方便. 2.含有參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值或值域 二次函數(shù)在區(qū)間[m,n]上的最值或值域問題,通常有兩種類型:其一是定函數(shù)(解析式確定),動(dòng)區(qū)間(區(qū)間的端點(diǎn)含有參數(shù));其二是動(dòng)函數(shù)(解析式中含有參數(shù)),定區(qū)間(區(qū)間是確定的).無論哪種情況,解題的關(guān)鍵都是抓住“三

2、點(diǎn)一軸”,“三點(diǎn)”即區(qū)間兩端點(diǎn)與區(qū)間中點(diǎn),“一軸”即為拋物線的對(duì)稱軸.對(duì)于動(dòng)函數(shù)、動(dòng)區(qū)間的類型同樣是抓住“三點(diǎn)一軸”,只不過討論要復(fù)雜一些而已 3.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (,且) (1).如;(2) . 如;(3); (4)當(dāng)為奇數(shù)時(shí),; 當(dāng)為偶數(shù)時(shí),. 4.有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)() (1); (2); (3) 5.指數(shù)函數(shù)(且),其中是自變量,叫做底數(shù),定義域是R x y 0 1 y 圖 象 1 0 x 性 質(zhì) (1)定義域:R (2)值域:(0,+∞) (3)過定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí),y=1 (4)

3、在 R上是增函數(shù) (4)在R上是減函數(shù) 6.若,則 叫做以 為底的對(duì)數(shù)。記作:(,) 其中,叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),叫做對(duì)數(shù)的真數(shù)。 注:指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化公式: 7.對(duì)數(shù)的性質(zhì) (1)零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù),即中; (2)1的對(duì)數(shù)等于0,即 ;底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1,即 8.常用對(duì)數(shù):以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù),記為: 自然對(duì)數(shù):以e(e=2.71828…)為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù),記為: 9.對(duì)數(shù)恒等式: 10.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(a>0,a≠1,M>0,N>0) (1); (2) ; (3) (注意公式的逆用) 11.對(duì)數(shù)的換底公式

4、(,且,,且, ). 推論①或; ②. 12.對(duì)數(shù)函數(shù)(,且):其中,是自變量,叫做底數(shù),定義域是 圖像 x 1 y 0 1 x 0 性質(zhì) 定義域:(0, ∞) 值域:R 過定點(diǎn)(1,0) 增函數(shù) 減函數(shù) 取值范圍 01時(shí),y>0 00 x>1時(shí),y<0 13.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù);它們圖象關(guān)于直線對(duì)稱. 14.冪函數(shù)(),其中是自變量。要求掌握這五種情況(如下圖) 15.冪函數(shù)的性質(zhì)及圖象變化規(guī)律: (Ⅰ)所有冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義,

5、并且圖象都過點(diǎn)(1,1); (Ⅱ)當(dāng)時(shí),冪函數(shù)的圖象都通過原點(diǎn),并且在區(qū)間上是增函數(shù). (Ⅲ)當(dāng)時(shí),冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù). 二、題之本:思想方法技巧 1.底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱. 2.對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)應(yīng)滿足的條件是求解對(duì)數(shù)問題時(shí)必須予以特別重視的. 3. 比較冪形式的兩個(gè)數(shù)的大小,一般的思路是:(1)若能化為同指數(shù),則用冪函數(shù)的單調(diào)性;(2)若能化為同底數(shù),則用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;(3)若既不能化為同指數(shù),也不能化為同底數(shù),則需尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)作為橋梁來比較大小. 4.比較幾個(gè)數(shù)的大小是對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用的常

6、見題型.在具體比較時(shí),可以首先將它們與零比較,分出正負(fù);正數(shù)通常都再與1比較分出大于1還是小于1,然后在各類中間兩兩相比較. 5.冪函數(shù)的圖象特征與指數(shù)的大小關(guān)系,大都可通過冪函數(shù)的圖象與直線x=2或x=的交點(diǎn)縱坐標(biāo)的大小反映.一般地,在區(qū)間(0,1)上,冪函數(shù)中指數(shù)越大,函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大、圖低”),在區(qū)間(1,+∞)上,冪函數(shù)中指數(shù)越大,圖象越遠(yuǎn)離x軸(不包括冪函數(shù)y=x0). 6.冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi),一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限,至于是否出現(xiàn)在二、三象限內(nèi),則要看函數(shù)的定義域和奇偶性.函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi),如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交,則交點(diǎn)

7、一定是原點(diǎn). 7.判斷一個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)或冪函數(shù),一定要根據(jù)三種函數(shù)定義中的“標(biāo)準(zhǔn)”形式.如f(x)=2x2不是指數(shù)函數(shù),而f(x)=23x是指數(shù)函數(shù),因?yàn)閒(x)=23x=8x,此時(shí)a=8,同樣f(x)=2x+1也不是指數(shù)函數(shù),因?yàn)閒(x)=2x+1=22x,不是f(x)=ax(a>0,且a≠1)的形式. 8.若,則,。 三、題之變:課本典例改編 1. 原題(必修1第五十九頁習(xí)題2.1第8題)已知下列不等式,比較,的大小 (1) (2) 改編1 設(shè),那么 ( ) A.a<a<b B.a< b<a C.a<a<

8、b D.a<b<a 【答案】C. 改編2 已知,則 ( ) A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】 由已知,因?yàn)樵诙x域內(nèi)是單調(diào)遞增的,所以,故答案為A. 改編3 已知函數(shù)的圖象與函數(shù)(且)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,記.若在區(qū)間上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A.   B.     C. D. 【答案】D. 【解析】 本題根據(jù)反函數(shù)的定義求出的解析式,再用換元法判斷的單調(diào)性,結(jié)合條件在區(qū)間上是增函數(shù),求出實(shí)數(shù)的取值范圍是,故答案為D.  2. 原題(必修1第七十五頁習(xí)題2.

9、2 B組第2題)若,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 改編1 若,則的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】 當(dāng)時(shí),若,則,∴ 當(dāng)時(shí),若,則,此時(shí)無解!故選C. 改編2 設(shè),函數(shù),則使的的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C. 3. 原題(必修1第七十五頁習(xí)題2.2 B組第4題)已知函數(shù),,且(1)求函數(shù)定義域;(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由. 改編1 已知是偶函數(shù),定義域?yàn)?則 , . 【答案】,. 【解析】 函數(shù)是偶函數(shù),所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.∴,. 改編2 函

10、數(shù)的圖象關(guān)于 ( ) A.軸對(duì)稱 B.軸對(duì)稱 C.原點(diǎn)對(duì)稱 D.直線對(duì)稱 【答案】B. 【解析】 函數(shù)定義域?yàn)椋?,所以函?shù)為偶函數(shù),圖像關(guān)于軸對(duì)稱.故選B. 改編3 若函數(shù)是奇函數(shù),則 【答案】 4.原題(必修1第八十二頁復(fù)習(xí)參考題A組第七題)已知,求證:(1),(2). 改編 給出下列三個(gè)等式:.下列選項(xiàng)中,不滿足其中任何一個(gè)等式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】依據(jù)指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)的性質(zhì)可知,滿足,滿足,

11、滿足,而不滿足其中任何一個(gè)等式.故選B. 5.原題(必修1第八十二頁復(fù)習(xí)參考題A組第八題)已知,,求證:(2). 改編 定義在上的函數(shù)滿足對(duì),都有成立,且當(dāng)時(shí),,給出下列命題:①;②函數(shù)是奇函數(shù);③函數(shù) 只有一個(gè)零點(diǎn);④,其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C. 6.原題(必修1第八十三頁復(fù)習(xí)參考題B組第一題)已知集合, ,則=( ) A. B. C. D. 改編 在平面直角坐標(biāo)系中,集合,且,設(shè)集合中的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為,則有( ) A. B.

12、 C. D. 【答案】B. 【解析】由圖知與圖象交于不同的兩點(diǎn),設(shè)為,不妨設(shè),則,∵在R上遞減,∴,當(dāng)時(shí),,,;當(dāng)時(shí),,,,故選B. 7.原題(必修1第八十三頁復(fù)習(xí)參考題B組第三題)對(duì)于函數(shù).(a R) (1)探索函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)是否存在實(shí)數(shù)a使f(x)為奇函數(shù)? 改編1 對(duì)于函數(shù)f(x)=a+ (x∈R),(1)用定義證明:f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù);(2)若f(x)是奇函數(shù),求a值;(3)在(2)的條件下,解不等式f(2t+1)+f(t-5)≤0. 【解析】(1):設(shè)<,則f()-f()=-=∵->0,>0,>0.即f()-f()>0.∴f(x)

13、在R上是單調(diào)減函數(shù) (2)∵f(x)是奇函數(shù),∴f(0)=0?a=-1. (3)由(1)(2)可得f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù)且是奇函數(shù),∴f(2t+1)+f(t-5)≤0.轉(zhuǎn)化為f(2t+1)≤-f(t-5)=f(-t+5),?2t+1≥-t+5?t≥,故所求不等式f(2t+1)+f(t-5)≤0的解集為:{t|t≥}. 改編2 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).(1)求a,b的值;(2)若對(duì)任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范圍. 8.原題(必修1第八十三頁復(fù)習(xí)參考題B組第四題)設(shè),求證:(1);(2);(3); 改編1 設(shè),給出如下結(jié)論:①對(duì)任意,有;②存在實(shí)數(shù),使得;③不存在實(shí)數(shù),使得;④對(duì)任意,有; 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 【答案】①③④. 改編2 已知函數(shù)滿足,且,分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù),若使得不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 【答案】. 【解析】,得, 即,解得,,即得 ,參數(shù)分離得,因?yàn)? (當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),的解滿足), 所以. 改編3 已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足:,則 . 【答案】

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