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【備戰(zhàn)】湖北版高考數(shù)學分項匯編 專題03 導數(shù)含解析理

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1、專題3 導數(shù) 一.選擇題 1.【2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷7】若f(x)=上是減函數(shù),則b的取值范圍是 ( ) A.[-1,+∞] B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,-1) 2. 【2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷9】設球的半徑為時間t的函數(shù)。若球的體積以均勻速度c增長,則球的表面積的增長速度與球半徑( ) A.成正比,比例系數(shù)為C B. 成正比,比例系數(shù)為2C C.成反比,比例系數(shù)為C

2、 D. 成反比,比例系數(shù)為2C 3.【2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷10】放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其它元素,其含量不斷減少,這種現(xiàn)象稱為衰變。假設在放射性同位素銫137衰變過程中,其含量M(太貝克/年)與時間t(單位:年)滿足函數(shù)關系:,其中M0為t=0時銫137的含量,已知t=30時,銫137含量的變化率為-10ln2(太貝克/年),則M(60)=( ) A. 5太貝克 B. 75ln2太貝克 C. 150ln2太貝克 D. 150太貝克 【答案】A 【解析】 試題分析:,因為t=30時,銫137含量的變化

3、率為-10ln2, 所以,故. 4.【2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷3】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則它與軸所圍圖形的面積為( ) y x O 第3題圖 A. B. C. D. 5. 【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷7】一輛汽車在高速公路上行駛,由于遇到緊急情況而剎車,以速度(的單位:,的單位:)行駛至停止。在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離(單位;)是( ) A. B. C.

4、 D. 【答案】C 【解析】 試題分析:令 ,則。汽車剎車的距離是,故選C. 6. 【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷10】已知為常數(shù),函數(shù)有兩個極值點,則( ) A. B. C. D. 7. 【2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷6】若函數(shù)、滿足,則稱、在區(qū)間上的一組正交函數(shù),給出三組函數(shù):①;②;③.其中為區(qū)間的正交函數(shù)的組數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 二.填空題 1.

5、【2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷14】已知函數(shù)則的值為 . 【答案】1 【解析】 試題分析:因為所以 ,故. 三.解答題 1.【2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷】設是函數(shù)的一個極值點. (Ⅰ)、求與的關系式(用表示),并求的單調區(qū)間; (Ⅱ)、設,。若存在使得成立,求的取值范圍. 2.【2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷20】水庫的蓄水量隨時間而變化,現(xiàn)用t表示時間,以月為單位,年初為起點,根據(jù)歷年數(shù)據(jù),某水庫的蓄水量(單位:億立方米)關于t的近似函數(shù)關系式為 V(t)= (Ⅰ)該水庫的蓄求量小于50的時期稱為枯水期.

6、以i-1<t<t表示第1月份(i=1,2,…,12),同一年內哪幾個月份是枯水期? (Ⅱ)求一年內該水庫的最大蓄水量(取e=2.7計算). 【解析】(Ⅰ)①當0<t10時,V(t)=(-t2+14t-40), 化簡得t2-14t+40>0, 解得t<4,或t>10,又0<t10,故0<t<4. ②當10<t12時,V(t)=4(t-10)(3t-41)+50<50, 化簡得(t-10)(3t-41)<0, 解得10<t<,又10<t12,故 10<t12. 綜合得0

7、(t)的最大值只能在(4,10)內達到. 由V′(t)= 令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去). 當t變化時,V′(t) 與V (t)的變化情況如下表: t (4,8) 8 (8,10) V′(t) + 0 - V(t) 極大值 由上表,V(t)在t=8時取得最大值V(8)=8e2+50-108.52(億立方米). 故知一年內該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米. 考點:本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)和不等式等基本知識,考查用導數(shù)求最值和綜合運用數(shù)學知識解決實際問題能力. 3.【2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】在R上定義運算(

8、b、c為實常數(shù))。記,,.令. 如果函數(shù)在處有極什,試確定b、c的值; 求曲線上斜率為c的切線與該曲線的公共點; 記的最大值為.若對任意的b、c恒成立,試示的最大值。 【解析】(I) ,由在處有極值 可得 解得或 若,則,此時沒有極值; 若,則 當變化時,,的變化情況如下表: 1 0 + 0 極小值 極大值 當時,有極大值,故,即為所求. 考點:本小題主要考查函數(shù)、函數(shù)的導數(shù)和不等式等基礎知識,考查綜合運用數(shù)學知識進行推理論證的能力和分類討論的思想. 4. 【2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷17】

9、為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元。該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關系:C(x)=若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元。設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和。 (Ⅰ)求k的值及f(x)的表達式。 (Ⅱ)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最小,并求最小值。 當隔熱層修建厚時, 總費用達到最小值為70萬元. 考點:本題主要考察函數(shù)、導數(shù)等基礎知識,同時考查運用數(shù)學知識解決實際問題的能力. 5.【2011年普通高等學

10、校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】 (Ⅰ)已知函數(shù)求函數(shù)的最大值; (Ⅱ)設均為正數(shù),證明: (1)若,則 (2)若,則。 6.【2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷22】 (Ⅰ)已知函數(shù),其中為有理數(shù),且. 求的最小值; (Ⅱ)試用(Ⅰ)的結果證明如下命題: 設,為正有理數(shù). 若,則; (Ⅲ)請將(Ⅱ)中的命題推廣到一般形式,并用數(shù)學歸納法證明你所推廣的命題. 注:當為正有理數(shù)時,有求導公式. 7.【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷22】設是正整數(shù),為正有理數(shù). (I)求函數(shù)的最小值; (II)證明:; (III)設,記為不小

11、于的最小整數(shù),例如,,. 令,求的值. (參考數(shù)據(jù):,,,) 【證明】(I) 在上單減,在上單增。 (III)由(II)可知:當時, . 8.【2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷22】為圓周率,為自然對數(shù)的底數(shù). (1)求函數(shù)的單調區(qū)間; (2)求,,,,,這6個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù); (3)將,,,,,這6個數(shù)按從小到大的順序排列,并證明你的結論. 由①得,, 即,亦即,所以, 又由①得,,即,所以, 綜上所述,,即6個數(shù)從小到大的順序為,,,,,. 考點:導數(shù)法求函數(shù)的單調性、單調區(qū)間,對數(shù)函數(shù)的性質,比較大小. 9. 【2

12、015高考湖北,理22】已知數(shù)列的各項均為正數(shù),,為自然對數(shù)的底數(shù). (Ⅰ)求函數(shù)的單調區(qū)間,并比較與的大?。? (Ⅱ)計算,,,由此推測計算的公式,并給出證明; (Ⅲ)令,數(shù)列,的前項和分別記為,, 證明:. 【答案】(Ⅰ)的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為. ;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)詳見解析. 【解析】(Ⅰ)的定義域為,. 當,即時,單調遞增; 當,即時,單調遞減. 故的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為. 當時,,即. 令,得,即. ① (Ⅱ);; . 由此推測: ② 下面用數(shù)學歸納法證明②. (1)當時,左邊右邊,②成立.

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