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1、課時提升作業(yè)(七十四) 一、選擇題 1.在△ABC中,MN∥BC,MC,NB交于O,則圖中相似三角形的對數(shù)為　 　(　　) (A)1　　　 (B)2 (C)3　　　 (D)4 2.如圖所示,給出下列條件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB; ③ACCD=ABBC;④AC2=ADAB,其中單獨能夠判定△ABC∽△ACD的個數(shù)為 　(　　) (A)1　　　 (B)2　　　 (C)3　　　 (D)4　 3.如圖,在平行四邊形ABCD中,已知AE∶EB=1∶2,△AEF的面積為6,則△CDF的面積為　(　　) (A)12 (B)24 (C)1

2、8 (D)54 二、填空題 4.如圖,已知D為△ABC中AC邊的中點,AE∥BC,ED交AB于G,交BC延長線于F,若BG∶GA=3∶1,BC=8,則AE=　　　　. 5.(2013西安模擬)如圖所示,已知在△ABC中,∠C=90,正方形DEFC內(nèi)接于△ABC,DE∥AC,EF∥BC,AC=1,BC=2,則AF∶FC等于　　　　. 6.(2013永州模擬)如圖,△ABC中,BC=4,∠BAC=120,AD⊥BC,過B作CA的垂線,交CA的延長線于E,交DA的延長線于F,則AF=　　　. 三、解答題 7.已知如圖,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,點D是垂足,求證

3、:BC2=2CDAC. 8.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD與AC相交于點O,過點O的直線分別交AB,CD于點E,F,且EF∥BC,若AD=12,BC=20,求EF. 9.(2013宿州模擬)如圖,在正△ABC中,點D,E分別在邊AC,AB上,且AD=13AC,AE=23AB,BD,CE相交于點F. (1)求證:A,E,F,D四點共圓. (2)若正△ABC的邊長為2,求A,E,F,D所在圓的半徑. 10.如圖,在?ABCD中,AE,BF分別平分∠DAB和∠ABC,交CD于點E,F,AE,BF相交于點M. (1)試說明:AE⊥BF. (2)判斷線段DF與CE的大

4、小關(guān)系,并予以證明. 　 11.如圖,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90,E,F是BC邊上的兩點,∠EAF=45. 求證:EF2=BE2+CF2. 12.如圖,?ABCD中,E是CD的延長線上一點,BE與AD交于點F,DE=12CD. (1)求證:△ABF∽△CEB. (2)若△DEF的面積為2,求?ABCD的面積. 答案解析 1.【解析】選B.根據(jù)條件知,△MNO∽△CBO,△AMN∽△ABC. 2.【解析】選C.①②利用有兩角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似;③兩邊對應(yīng)成比例不能判斷兩個三角形相似;④利用有一角相等且此角的兩邊對應(yīng)

5、成比例的兩個三角形相似. 3.【解析】選D.由題設(shè),AE∶EB=1∶2, ∴AE∶AB=1∶3,∴AE∶CD=1∶3. 又AE∥CD,∴△AEF∽△CDF, ∴S△AEFS△CDF=AE2CD2=19. 又∵△AEF的面積為6, ∴S△CDF=9S△AEF=54,故選D. 4.【解析】∵AE∥BC,D為AC的中點, ∴AE=CF,AEBF=AGBG=13.　 設(shè)AE=x, 又BC=8,∴xx+8=13, ∴x=4,∴AE=4. 答案:4 5.【解析】設(shè)正方形邊長為x,則由△AFE∽△ACB,可得AFAC=FEBC,即1-x1=x2,所以x=23,于是AF∶FC=1∶2

6、. 答案:1∶2 6.【解析】設(shè)AE=x, ∵∠BAC=120,∴∠EAB=60. 又AE⊥EB,∴AB=2x,BE=3x, ∴AEBE=x3x=13. 在Rt△AEF與Rt△BEC中,　 ∠F=90-∠EAF=90-∠DAC=∠C, ∴△AEF∽△BEC,∴AFBC=AEBE, ∴AF=413=433. 答案:433 7.【證明】過點A作AE⊥BC,垂足為E, ∴CE=BE=12BC. 由BD⊥AC,AE⊥BC, 又∵∠C=∠C, ∴△AEC∽△BDC, ∴ECDC=ACBC,∴12BCCD=ACBC, 即BC2=2CDAC. 8.【解析】∵AD∥BC,∴

7、OBOD=BCAD=2012=53. ∴OBBD=58.∵OE∥AD,∴OEAD=OBBD=58, ∴OE=58AD=5812=152, 同理可得OF=38BC=3820=152, ∴EF=OE+OF=15. 9.【解析】(1)∵AE=23AB,∴BE=13AB. ∵在正△ABC中,AD=13AC,∴AD=BE. 又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,∴△BAD≌△CBE, ∴∠ADB=∠BEC,即∠ADF+∠AEF=π, ∴A,E,F,D四點共圓. (2)取AE中點G,連結(jié)GD, 則AG=GE=12AE. ∵AE=23AB,∴AG=GE=13AB=23, AD=13A

8、C=23,∠DAE=60. ∴△AGD為正三角形,∴GD=GA=AD=23, 即GA=GE=GD=23,∴G是△AED外接圓圓心. 且圓G的半徑為23, ∵A,E,F,D四點共圓, 即A,E,F,D四點共圓G,其半徑為23. 10.【解析】(1)∵在?ABCD中,AD∥BC, ∴∠DAB+∠ABC=180. ∵AE,BF分別平分∠DAB和∠ABC, ∴∠DAB=2∠BAE,∠ABC=2∠ABF, ∴2∠BAE+2∠ABF=180, 即∠BAE+∠ABF=90, ∴∠AMB=90,∴AE⊥BF. (2)線段DF與CE是相等關(guān)系,即DF=CE. ∵在?ABCD中,CD∥

9、AB, ∴∠DEA=∠EAB. 又∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠EAB, ∴∠DEA=∠DAE,∴DE=AD. 同理CF=BC. 又∵在?ABCD中,AD=BC, ∴DE=CF, ∴DE-EF=CF-EF,即DF=CE. 11.【證明】如圖,以AE為邊作△AEG≌△AEB,連接FG. ∵△AEG≌△AEB, ∴∠1=∠2,∠5=∠B=45, AG=AB=AC. ∵∠1+∠3=∠EAF=45, ∠BAC=90,∴∠2+∠4=45,∴∠3=∠4. 又∵AF=AF,∴△AFG≌△AFC, ∴∠6=∠C=45. ∴∠EGF=∠5+∠6=45+45=90, ∴△E

10、FG是直角三角形, ∴GE2+GF2=EF2,∴EF2=BE2+CF2. 12.【解析】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴∠A=∠C,AB∥CD, ∴∠ABF=∠CEB,∴△ABF∽△CEB. (2)∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AD∥BC,AB∥CD, ∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.∵DE=12CD, ∴S△DEFS△CEB=(DEEC)2=19,S△DEFS△ABF=(DEAB)2=14. ∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8, ∴S四邊形BCDF=S△BCE-S△DEF=16, ∴S四邊形ABCD=S四邊形BCDF+S△ABF=16+8=24.