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1、 精品資料 學案39　空間點、線、面之間的位置關(guān)系 導學目標： 1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的含義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題． 自主梳理 1．平面的基本性質(zhì) 公理1：如果一條直線上的________在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)． 公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經(jīng)過____________的一條直線． 公理3：經(jīng)過____________________的三點，有且只有

2、一個平面． 推論1：經(jīng)過____________________，有且只有一個平面． 推論2：經(jīng)過________________，有且只有一個平面． 推論3：經(jīng)過________________，有且只有一個平面． 2．直線與直線的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系的分類 (2)異面直線判定定理 過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)______________的直線是異面直線． (3)異面直線所成的角 ①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的____________叫做異面直線a，b所成的角． ②范圍：______

3、______. 3．公理4 平行于____________的兩條直線互相平行． 4．定理 如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角________． 自我檢測 1．若直線a與b是異面直線，直線b與c是異面直線，則直線a與c的位置關(guān)系是____________． 2．如果兩條異面直線稱為“一對”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線________對． 3．三個不重合的平面可以把空間分成n部分，則n的可能取值為________． 4．(2010全國Ⅰ)直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成角的

4、大小為________． 5．下列命題： ①空間不同三點確定一個平面； ②有三個公共點的兩個平面必重合； ③空間兩兩相交的三條直線確定一個平面； ④三角形是平面圖形； ⑤平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形； ⑥垂直于同一直線的兩直線平行； ⑦一條直線和兩平行線中的一條相交，也必和另一條相交； ⑧兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形． 其中正確的命題是________(填序號). 探究點一　平面的基本性質(zhì) 例1　如圖所示，空間四邊形ABCD中，E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，過E、F、G的平面交AD于H，

5、連結(jié)EH. (1)求AH∶HD； (2)求證：EH、FG、BD三線共點． 變式遷移1　 如圖，E、F、G、H分別是空間四邊形AB、BC、CD、DA上的點，且EH與FG相交于點O. 求證：B、D、O三點共線． 探究點二　異面直線的判定 例2　如圖所示，直線a、b是異面直線，A、B兩點在直線a上，C、D兩點在直線b上．求證：BD和AC是異面直線． 變式遷移2 如圖是正方體或四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的是________(填序號)． 探究點三　異面直線所成的角 例

6、3　(2009全國Ⅰ)已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為 ________________________________________________________________________． 變式遷移3　在空間四邊形ABCD中，已知AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，對角線BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角． 轉(zhuǎn)化與化歸思想 例　(14分)如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60，對角線AC與BD交于點O，PO⊥平面

7、ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60. (1)求四棱錐的體積； (2)若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的余弦值． 多角度審題　對(1)只需求出高PO，易得體積；對(2)可利用定義，過E點作PA的平行線，構(gòu)造三角形再求解． 【答題模板】 解　(1)在四棱錐P—ABCD中， ∵PO⊥平面ABCD， ∴∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60，[2分] 在Rt△AOB中，∵BO＝ABsin 30＝1，又PO⊥OB， ∴PO＝BOtan 60＝， ∵底面菱形的面積S＝222＝2， ∴VP—ABCD＝2＝2.[7分] (2) 取AB的中點

8、F，連結(jié)EF，DF， ∵E為PB中點，∴EF∥PA， ∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補角)．[9分] 在Rt△AOB中， AO＝ABcos 30＝， ∴在Rt△POA中，PA＝，∴EF＝. 在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝， 由余弦定理得cos∠DEF＝ ＝＝＝.[12分] 所以異面直線DE與PA所成角的余弦值為.[14分] 【突破思維障礙】 求兩條異面直線所成的角的大小，一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決．根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點位置無關(guān)，往往將角的頂點取在其中的一條直線上．特別地，可以取

9、其中一條直線與另一條直線所在平面的交點或異面線段的端點．總之，頂點的選擇要與已知量有關(guān)，以便于計算，具體步驟如下： (1)利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上； (2)證明作出的角即為所求角； (3)利用三角形來求解，異面直線所成角的范圍是(0，90]． 【易錯點剖析】 1．求異面直線所成的角時，僅指明哪個角，而不進行證明． 2．忘記異面直線所成角的范圍，余弦值回答為負值． 1．利用平面基本性質(zhì)證明“線共點”或“點共線”問題： (1)證明共點問題，常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證交點在第三條直線上，有時

10、也可將問題轉(zhuǎn)化為證明三點共線． (2)要證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理2可知這些點在交線上，因此共線． 2．異面直線的判定方法：(1)定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)；(2)反證法：用此方法可以證明兩直線是異面直線；(3)判定定理． 3．求異面直線所成的角的步驟： (1)一般是用平移法(可以借助三角形的中位線、平行四邊形等)作出異面直線的夾角； (2)證明作出的角就是所求的角； (3)利用條件求出這個角； (4)如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角． (滿分：

11、90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是______________． 2．給出下列命題： ①若平面α上的直線a與平面β上的直線b為異面直線，直線c是α與β的交線，那么c至多與a、b中的一條相交；②若直線a與b異面，直線b與c異面，則直線a與c異面；③一定存在平面α同時和異面直線a、b都平行．其中正確的命題為________(填序號)． 3. 如圖所示，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點，G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE的中點，將△ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的大小為______

12、__． 4．(2009全國Ⅱ改編)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1的中點，則異面直線BE與CD1所成的角的余弦值為________． 5．正四棱錐S—ABCD的側(cè)棱長為，底面邊長為，E為SA的中點，則異面直線BE和SC所成的角為________． 6．一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論： ①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.則正確結(jié)論的序號是______． 7．下面命題正確的是________(填序號)． ①若直線a、b相交，b、c相交，則a、c相交； ②若a∥b，則a、

13、b與c所成的角相等； ③若a、b與c所成的角相等，則a∥b； ④若a⊥b，b⊥c，則a∥c. 8．在圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有____________．(填上所有正確答案的序號) 二、解答題(共42分) 9．(14分) 如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點． 求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面； (2)CE，D1F，DA三線共點． 10．(14分)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、M、N分別為AD、AB、C1D1、B1C

14、1的中點，求證：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN. 11．(14分) 如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，E為AB的中點．求異面直線BD1與CE所成的角的余弦值． 學案39　空間點、線、面之間的位置關(guān)系 答案 自主梳理 1．兩點　這個公共點　不在同一條直線上　一條直線和這條直線外的一點　兩條相交直線　兩條平行直線 2．(1)平行　相交　(2)不經(jīng)過該點　(3)①銳角或直角?、凇?.同一條直線　4.相等 自我檢測 1．平行、相交或異面 解析　a，c都與直線b異面，

15、并不能確定直線a，c的關(guān)系． 2．24 3．4,6,7,8 4．60 解析　 將直三棱柱ABC—A1B1C1補成如圖所示的幾何體． 由已知易知：該幾何體為正方體． 連結(jié)C1D，則C1D∥BA1. ∴異面直線BA1與AC1所成的角為∠AC1D(或補角)， 在等邊△AC1D中，∠AC1D＝60. 5．④ 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　證明線共點的問題實質(zhì)上是證明點在線上的問題，其基本理論是把直線看作兩平面的交線，點看作是兩平面的公共點，由公理2得證． (1)解　∵＝＝2，∴EF∥AC. ∴EF∥平面ACD.而EF?平面EFGH， 且平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴

16、EF∥GH. 而EF∥AC，∴AC∥GH. ∴＝＝3，即AH∶HD＝3∶1. (2)證明　∵EF∥GH，且＝，＝， ∴EF≠GH，∴四邊形EFGH為梯形． 令EH∩FG＝P，則P∈EH，而EH?平面ABD， P∈FG，F(xiàn)G?平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴P∈BD.∴EH、FG、BD三線共點． 變式遷移1　證明　∵E∈AB，H∈AD， ∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH?平面ABD. ∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD. 同理可證O∈平面BCD， ∴O∈平面ABD∩平面BCD， 即O∈BD，∴B、D、O三點共線． 例2　解題導引　證明兩直線為異面

17、直線的方法： 1．定義法(不易操作)． 2．反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴密的推理，導出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到． 3．判定定理． 證明　假設(shè)BD和AC不是異面直線，則BD和AC共面，設(shè)它們共面于α. ∴A、B、C、D∈α，∴AB、CD?α，即a、b?α. 這與a、b是異面直線矛盾，故假設(shè)不成立． ∴BD和AC是異面直線． 變式遷移2 ④ 例3　解題導引　高考中對異面直線所成角的考查，一般出現(xiàn)在綜合題的某一步，求異面直線所成角的一般步驟為： (1)平移：選擇適當?shù)狞c，平移異面直線中的

18、一條或兩條成為相交直線，這里的點通常選擇特殊位置的點，如線段的中點或端點，也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點． (2)證明：證明所作的角是異面直線所成的角． (3)尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之． (4)取舍：因為異面直線所成角θ的取值范圍是0<θ≤90，所以所作的角為鈍角時，應取它的補角作為異面直線所成的角． 答案　 解析　 如圖，A1D⊥平面ABC，且D為BC的中點，設(shè)三棱柱的各棱長為1，則AD＝，由A1D⊥平面ABC知A1D＝，Rt△A1BD中，易求A1B＝＝. ∵CC1∥AA1，∴AB與AA1所成的角即為AB與CC1所成的角．在△A1BA中

19、，由余弦定理可知cos∠A1AB＝＝.∴AB與CC1所成的角的余弦值為. 變式遷移3　解　 如圖所示，分別取AD、CD、AB、BD的中點E、F、G、H，連結(jié)EF、FH、HG、GE、GF. 由三角形的中位線定理知，EF∥AC，且EF＝，GE∥BD，且GE＝.GE和EF所成的銳角(或直角)就是AC和BD所成的角． 同理，GH∥AD，HF∥BC.GH＝，HF＝， 又AD⊥BC，∴∠GHF＝90，∴GF2＝GH2＋HF2＝1. 在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2， ∴∠GEF＝90，即AC和BD所成的角為90. 課后練習區(qū) 1．異面或相交 2．③ 解析?、馘e，c可與a、

20、b都相交； ②錯，因為a、c可能相交也可能平行； ③正確，例如過異面直線a、b的公垂線段的中點且與公垂線垂直的平面即可滿足條件． 3．60 解析　 將三角形折成三棱錐，如圖所示，HG與IJ為一對異面直線，過D分別作HG與IJ的平行線， 因GH∥DF，IJ∥AD， 所以∠ADF為所求， 因此HG與IJ所成的角為60. 4. 解析　 如圖所示，連結(jié)A1B，則A1B∥C D1，故異面直線BE與CD1所成的角即為BE與A1B所成的角．設(shè)AB＝a，則A1E＝a，A1B＝a，BE＝a. △A1BE中，由余弦定理得 cos∠A1BE＝ ＝＝. 5．60 解析　設(shè)AC與

21、BD的交點為O，則OE∥SC，∴∠BEO(或其補角)即為異面直線BE和SC所成的角， EO＝SC＝，BO＝BD＝， 在△SAB中，cos A＝＝＝ 在△ABE中，cos A＝， ∴BE＝. 在△BEO中，cos∠BEO＝＝， ∴∠BEO＝60. 6．①③ 解析　把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體，如圖所示，易知AB⊥EF，AB∥CM，EF與MN異面，MN⊥CD，故①③正確． 7．② 8．(2)(4) 9．證明　(1)如圖所示，連結(jié)CD1，EF，A1B， ∵E、F分別是AB和AA1的中點， ∴EF∥A1B，且EF＝A1B，(2分) 又∵A1D1

22、綊BC， ∴四邊形A1BCD1是平行四邊形， ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴EF與CD1確定一個平面α， ∴E，F(xiàn)，C，D1∈α， 即E，C，D1，F(xiàn)四點共面．(6分) (2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1， ∴四邊形CD1FE是梯形， ∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，(8分) 則P∈CE?平面ABCD， 且P∈D1F?平面A1ADD1， ∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.(10分) 又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD， ∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三線共點．(14分) 10．證明　如圖所示，在A1B1上取中點K，易知四邊形MKBC

23、為平行四邊形．(3分) ∴CM∥BK. 又∵A1K∥BQ，且A1K＝BQ， ∴四邊形A1KBQ為平行四邊形， ∴A1Q∥BK，(9分) 由公理4有A1Q∥MC，(10分) 同理可證A1P∥CN，由于∠PA1Q與∠MCN對應邊分別平行，且方向相反． ∴∠PA1Q＝∠MCN.(14分) 11．解　延長DC至G，使CG＝EB，連結(jié)BG、D1G， ∵CG綊EB， ∴四邊形EBGC是平行四邊形． ∴BG∥EC. ∴∠D1BG就是異面直線BD1與CE所成的角．(6分) 在△D1BG中，D1B＝2， BG＝，D1G＝＝. ∴cos∠D1BG＝ ＝＝. ∴異面直線BD1與CE所成角的余弦值是. (14分)