《數(shù)字圖像的傅里葉變換經(jīng)典ppt課件》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)字圖像的傅里葉變換經(jīng)典ppt課件（72頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

圖像的傅里葉變換FourierTransformationForImage 1 時(shí)域分析只能反映信號的幅值隨時(shí)間的變化情況 除單頻率分量的簡諧波外 很難明確揭示信號的頻率組成和各頻率分量大小 圖例 受噪聲干擾的多頻率成分信號 2 信號頻譜X f 代表了信號在不同頻率分量成分的大小 能夠提供比時(shí)域信號波形更直觀 豐富的信息 3 4 一維FT及其反變換 連續(xù)函數(shù)f x 的傅立葉變換F u 傅立葉變換F u 的反變換 5 一維DFT及其反變換 離散函數(shù)f x 其中x u 0 1 2 N 1 的傅立葉變換 F u 的反變換的反變換 計(jì)算F u 在指數(shù)項(xiàng)中代入u 0 然后將所有x值相加 得到F 0 2 u 1 復(fù)對所有x的相加 得到F 1 3 對所有M個(gè)u重復(fù)此過程 得到全部完整的FT 6 離散傅里葉變換及其反變換總存在 用歐拉公式得 每個(gè)F u 由f x 與對應(yīng)頻率的正弦和余弦乘積和組成 u值決定了變換的頻率成份 因此 F u 覆蓋的域 u值 稱為頻率域 其中每一項(xiàng)都被稱為FT的頻率分量 與f x 的 時(shí)間域 和 時(shí)間成份 相對應(yīng) 7 傅里葉變換的作用 傅里葉變換將信號分成不同頻率成份 類似光學(xué)中的分色棱鏡把白光按波長 頻率 分成不同顏色 稱數(shù)學(xué)棱鏡 傅里葉變換的成份 直流分量和交流分量信號變化的快慢與頻率域的頻率有關(guān) 噪聲 邊緣 跳躍部分代表圖像的高頻分量 背景區(qū)域和慢變部分代表圖像的低頻分量 8 二維DFT傅里葉變換 一個(gè)圖像尺寸為M N的函數(shù)f x y 的離散傅立葉變換F u v F u v 的反變換 9 二維DFT傅里葉變換 u v 0 0 位置的傅里葉變換值為 即f x y 的均值 原點(diǎn) 0 0 的傅里葉變換是圖像的平均灰度 F 0 0 稱為頻率譜的直流分量 系數(shù) 其它F u v 值稱為交流分量 交流系數(shù) 10 二維連續(xù)傅里葉變換 1 定義 2 逆傅里葉變換 3 傅里葉變換特征參數(shù) 頻譜 幅度譜 模 能量譜 功率譜 相位譜 11 傅里葉變換中出現(xiàn)的變量u和v通常稱為頻率變量 空間頻率可以理解為等相位線在x y坐標(biāo)投影的截距的倒數(shù) 相應(yīng)的空間頻率分別為 對圖像信號而言 空間頻率是指單位長度內(nèi)亮度作周期性變化的次數(shù) 思考 噪聲 線 細(xì)節(jié) 背景或平滑區(qū)域?qū)?yīng)的空間頻率特性 12 傅里葉變換的意義 傅里葉變換好比一個(gè)玻璃棱鏡棱鏡是可以將光分成不同顏色的物理儀器 每個(gè)成分的顏色由波長決定 傅里葉變換可看做是 數(shù)學(xué)中的棱鏡 將函數(shù)基于頻率分成不同的成分 一些圖像的傅里葉變換 13 是g x y 的頻譜 物函數(shù)g x y 可以看作不同方向傳播的單色平面波分量的線性疊加 為權(quán)重因子 空間頻率表示了單色平面波的傳播方向 對于xy平面上一點(diǎn)的復(fù)振幅分布g x y 可由逆傅里葉變換表示成 14 二維離散傅里葉變換 1 定義 2 逆傅里葉變換 離散的情況下 傅里葉變換和逆傅里葉變換始終存在 15 a b 16 x y 1 1 j j 17 圖像的頻譜幅度隨頻率增大而迅速衰減 許多圖像的傅里葉頻譜的幅度隨著頻率的增大而迅速減小 這使得在顯示與觀察一副圖像的頻譜時(shí)遇到困難 但以圖像的形式顯示它們時(shí) 其高頻項(xiàng)變得越來越不清楚 解決辦法 對數(shù)化 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 主極大的值用Fmax表示 第一個(gè)旁瓣的峰值用Fmin表示 32 例題 對一幅圖像實(shí)施二維DFT 顯示并觀察其頻譜 解 源程序及運(yùn)行結(jié)果如下 對單縫進(jìn)行快速傅里葉變換 以三種方式顯示頻譜 即 直接顯示 坐標(biāo)原點(diǎn)在左上角 把坐標(biāo)原點(diǎn)平 移至中心后顯示 以對數(shù)方式顯示 f zeros 512 512 f 246 266 230 276 1 subplot 221 imshow f title 單狹縫圖像 F fft2 f 對圖像進(jìn)行快速傅里葉變換S abs F subplot 222 imshow S 顯示幅度譜title 幅度譜 頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在坐上角 33 Fc fftshift F 把頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)由左上角移至屏幕中央subplot 223 Fd abs Fc imshow Fd ratio max Fd min Fd ratio 2 3306e 007 動態(tài)范圍太大 顯示器無法正常顯示title 幅度譜 頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在屏幕中央 S2 log 1 abs Fc subplot 224 imshow S2 title 以對數(shù)方式顯示頻譜 運(yùn)行上面程序后 結(jié)果如下 34 35 二維離散傅里葉變換的性質(zhì) 線性性 證明 36 imagelinear m 該程序驗(yàn)證了二維DFT的線性性質(zhì)f imread D chenpc data thry chpt4 Fig4 04 a jpg g imread D chenpc data thry chpt4 Fig4 30 a jpg m n size g f m n 0 f im2double f g im2double g subplot 221 imshow f title f subplot 222 imshow g title g 37 F fftshift fft2 f G fftshift fft2 g subplot 223 imshow log abs F G FG fftshift fft2 f g title DFT f DFT g subplot 224 imshow log abs FG title DFT f g 38 39 可分離性 二維DFT可視為由沿x y方向的兩個(gè)一維DFT所構(gòu)成 其中 40 例題 編程驗(yàn)證二維離散傅里葉變換可分離為兩個(gè)一維離散傅里葉變換 解 myseparable m 該程序驗(yàn)證了二維DFT的可分離性質(zhì) 該程序產(chǎn)生了岡薩雷斯 數(shù)字圖像處理 第二版 P125圖4 4 41 f imread D chenpc data thry chpt4 Fig4 04 a jpg subplot 211 imshow f title 原圖 F fftshift fft2 f subplot 223 imshow log 1 abs F title 用fft2實(shí)現(xiàn)二維離散傅里葉變換 m n size f F fft f 沿x方向求離散傅里葉變換G fft F 沿y方向求離散傅里葉變換F fftshift G subplot 224 imshow log 1 abs F title 用fft實(shí)現(xiàn)二維離散傅里葉變換 42 43 平移性 證明 1 頻域移位 44 結(jié)論 即如果需要將頻域的坐標(biāo)原點(diǎn)從顯示屏起始點(diǎn) 0 0 移至顯示屏的中心點(diǎn)只要將f x y 乘以 1 x y因子再進(jìn)行傅里葉變換即可實(shí)現(xiàn) 例題 利用 1 x y對單縫圖像f x y 進(jìn)行調(diào)制 實(shí)現(xiàn)把頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)移至屏幕正中央的目標(biāo) 當(dāng) 45 解 完成本題的源程序?yàn)?在傅里葉變換之前 把函數(shù)乘以 1 x y 相當(dāng)于把頻譜 坐標(biāo)原點(diǎn)移至屏幕窗口正中央 f 512 512 0 f mat2gray f Y X meshgrid 1 512 1 512 f 246 266 230 276 1 g f 1 X Y subplot 221 imshow f title 原圖像f x y subplot 222 imshow g title 空域調(diào)制圖像g x y f x y 1 x y F fft2 f subplot 223 imshow log 1 abs F title f x y 的傅里葉頻譜 G fft2 g subplot 224 imshow log 1 abs G title g x y 的傅里葉頻譜 46 47 a 在 0N 1 周期中有兩個(gè)背靠背半周期 b 同一區(qū)間內(nèi)有一個(gè)完整的周期 這就意味著 坐標(biāo)原點(diǎn)移到了頻譜圖像的中間位置 這一點(diǎn)十分重要 尤其是對以后的圖像顯示和濾波處理 48 例題 利用 1 x對f x 曲線進(jìn)行調(diào)制 達(dá)到平移頻域坐標(biāo)原點(diǎn)至屏幕正中央的目的 以一維情況為例 說明空域調(diào)制對應(yīng)著頻域坐標(biāo)原點(diǎn)移位 f 1 512 0 f 251 260 1 產(chǎn)生寬度為10的窗口函數(shù)subplot 221 plot f title 寬度為10的窗口函數(shù) F fft f 512 進(jìn)行快速傅里葉變換 延拓周期周期為512subplot 222 plot abs F 繪幅度頻譜 頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在左邊界處 title 幅度譜 頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在左邊界處 x 251 260 f 251 260 1 x 把曲線f x 乘以 1 x 可以把頻譜 坐標(biāo)原點(diǎn)移至屏幕正中央subplot 223 plot f title 寬度為10的調(diào)制窗口函數(shù) 49 F fft f 512 進(jìn)行快速傅里葉變換subplot 224 plot abs F 直接顯示幅度頻譜 頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在正中央 title 幅度譜 頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在中央 figuref 1 512 0 f 251 270 1 產(chǎn)生寬度為20的窗口函數(shù)subplot 221 plot f title 寬度為20的窗口函數(shù) F fft f 512 進(jìn)行快速傅里葉變換 延拓周期周期為512subplot 222 plot abs F 繪幅度頻譜 頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在左邊界處 title 幅度譜 頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在左邊界處 x 251 270 f 251 270 1 x 把曲線f x 乘以 1 x 可以把頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)移至屏幕正中央subplot 223 plot f title 寬度為20的調(diào)制窗口函數(shù) F fft f 512 進(jìn)行快速傅里葉變換subplot 224 plot abs F 直接顯示幅度頻譜 頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在正中央 title 幅度譜 頻譜坐標(biāo)原點(diǎn)在中央 50 51 52 2 空域移位 53 周期性和共軛對稱性 周期性 共軛對稱性 54 證明 1 周期性 2 共軛對稱性 55 旋轉(zhuǎn)不變性 56 注 為看清問題的實(shí)質(zhì) 簡化旋轉(zhuǎn)不變性的證明 以上用二維連續(xù)傅里葉變換進(jìn)行證明 實(shí)際上 由連續(xù)積分公式進(jìn)行離散化處理 即可得到離散公式 證明可參照連續(xù)情況進(jìn)行 57 f zeros 512 512 f 246 266 230 276 1 subplot 221 imshow f title 原圖 F fftshift fft2 f subplot 222 imshow log 1 abs F title 原圖的頻譜 f imrotate f 45 bilinear crop subplot 223 imshow f title 旋轉(zhuǎn)45 0圖 Fc fftshift fft2 f subplot 224 imshow log 1 abs Fc title 旋轉(zhuǎn)圖的頻譜 58 59 離散卷積定理 例1 求以下兩個(gè)函數(shù)的卷積 1 連續(xù)卷積 60 61 62 2 離散卷積定理 離散卷積定義 空間濾波輸出 結(jié)論 空間域進(jìn)行濾波的過程就是 卷積 的過程 63 證明 1 空域卷積和 64 2 頻域卷積和 65 離散的卷積原理基本上是和連續(xù)卷積相同 其差別僅僅是在與抽樣間隔對應(yīng)的離散增增量處發(fā)生位移 用求和代替微分 由于離散傅里葉變換和它的逆傅里葉變換都是周期函數(shù) 那么離散卷積定理應(yīng)該和這個(gè)周期聯(lián)系起來 就是讓在計(jì)算卷積時(shí)讓這兩個(gè)離散函數(shù)具有同樣的周期 否則將產(chǎn)生錯(cuò)誤 注意 利用FFT計(jì)算卷積時(shí) 為防止頻譜混疊誤差 需對離散的二維函數(shù)補(bǔ)零 即周期延拓 對兩個(gè)函數(shù)同時(shí)添加零 使它們具有相同的周期 66 67 0 200 400 2 800 周期延拓 68 周期延拓 的大小為 的大小為 69 空間域?yàn)V波和頻域?yàn)V波的關(guān)系 空間域和頻域的濾波器構(gòu)成傅里葉變換對 70 相關(guān)定理 71 證明 72