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1、 新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料 【成才之路】高中數(shù)學(xué) 第3章 1第2課時(shí) 函數(shù)的極值課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-2 一、選擇題 1．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極小值有(　　) A．1個(gè)　　 B．2個(gè)　　 C．3個(gè)　　 D．4個(gè) [答案]　A [解析]　若導(dǎo)函數(shù)f′(x)在某點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)為“左負(fù)右正”，則該點(diǎn)為極小值點(diǎn)，由圖像可知極小值點(diǎn)只有一個(gè)． 2．函數(shù)y＝x3－3x＋2的極大值為m，極小值為n，則m＋n為(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 [答案]　D [解

2、析]　令y′＝3x2－3＝0?x＝1或x＝－1，經(jīng)分析知f(－1)為函數(shù)y＝x3－3x＋2的極大值，f(1)為函數(shù)y＝x3－3x＋2的極小值，故m＋n＝f(－1)＋f(1)＝4. 3．函數(shù)y＝x4－x3的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3 [答案]　B [解析]　y′＝x3－x2＝x2(x－1)，由y′＝0得x1＝0，x2＝1. 當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表 x (－∞，0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞) y′ － 0 － 0 ＋ y  無極值  極小值  故選B. 4．關(guān)于函數(shù)的極值，

3、下列說法正確的是(　　) A．導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn) B．函數(shù)的極小值一定小于它的極大值 C．f(x)在定義域內(nèi)最多只能有一個(gè)極大值、一個(gè)極小值 D．若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù) [答案]　D [解析]　對(duì)于f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的極值點(diǎn)，故A不正確．極小值也可能大于極大值，故B錯(cuò)，C顯然不對(duì)． 5．(2014·西川中學(xué)高二期中)已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍是(　　) A．－1<a<2　　　　　 B．－3<a<6 C

4、．a(chǎn)<－3或a>6 D．a(chǎn)<－1或a>2 [答案]　C [解析]　f ′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6， ∵f(x)有極大值與極小值， ∴f ′(x)＝0有兩不等實(shí)根， ∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6. 二、填空題 6．函數(shù)f(x)＝2x3－3x2的極大值等于________，極小值等于________． [答案]　0?。? [解析]　f′(x)＝6x(x－1)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝1. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下： x (－∞，0) 0 (0,1) 1 (1，

5、＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  所以當(dāng)x＝0時(shí)有極大值f(0)＝0，當(dāng)x＝1時(shí)有極小值f(1)＝－1. 7．函數(shù)f(x)＝x－lnx的極小值等于________． [答案]　1 [解析]　f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，則x＝1， 當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f′(x)的變化如下表： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  極小值  ∴f(x)的極小值是f(1)＝1. 8．若函數(shù)f(x)＝在x＝1處取極值，則a＝____. [答案]　3 [解析]　f′

6、(x)＝，f′(1)＝＝0?a＝3. 三、解答題 9．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在點(diǎn)x0處取得極小值－5，其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(0,0)，(2,0)， (1)求a，b的值； (2)求x0及函數(shù)f(x)的表達(dá)式． [解析]　(1)由題設(shè)可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b， ∵f′(x)的圖像過點(diǎn)(0,0)，(2,0)， ∴ 解之得：a＝－3，b＝0. (2)由f′(x)＝3x2－6x＞0，得x＞2或x＜0； ∴當(dāng)在(－∞，0)上，f′(x)＞0.在(0,2)上f′(x)＜0，在(2，＋∞)上f′(x)＞0， 故f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)

7、上遞增，在(0,2)上遞減， 因此f(x)在x＝2處取得極小值，所以x0＝2， 由f(2)＝－5，得c＝－1， ∴f(x)＝x3－3x2－1. 10.設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)． (1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處與直線y＝8相切，求a，b的值； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)． [分析]　考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)的性質(zhì)，以及分類討論思想． [解析]　(1)f′(x)＝3x2－3A． 因?yàn)榍€y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處與直線y＝8相切， 所以即解得a＝4，b＝24. (2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)． 當(dāng)

8、a<0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào) 遞增，此時(shí)函數(shù)f(x)沒有極值點(diǎn)． 當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0得x＝±. 當(dāng)x∈(－∞，－)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)x∈(－，)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增． f(x)的增區(qū)間(－∞，－)，(，＋∞)，減區(qū)間(－，)， 此時(shí)x＝－是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝是f(x)的極小值點(diǎn). 一、選擇題 1．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋c，其導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)f(x)的

9、極小值是(　　) A．a(chǎn)＋b＋c B．8a＋4b＋c C．3a＋2b D．c [答案]　D [解析]　由f′(x)的圖像可知x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)時(shí)，f′(x)<0；x∈(0,2)時(shí)，f′(x)>0 ∴f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上為減函數(shù)，在(0,2)上為增函數(shù)． ∴x＝0時(shí)，f(x)取到極小值為f(0)＝c. 2．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋3x＋2a，若不等式f(x)>0的解集為{x|1<x<2}，則函數(shù)y＝xf(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．0 D．不能判斷 [答案]　B [解析]　由題意

10、知所以a＝－1，即f(x)＝－x2＋3x－2.于是y＝xf(x)＝－x3＋3x2－2x，y′＝－3x2＋6x－2，由Δ>0，所以y′＝0有兩個(gè)相異實(shí)根，故函數(shù)y＝xf(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)． 3．下面四圖都是在同一坐標(biāo)系中某三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖像，其中一定不正確的序號(hào)是(　　) A．①② B．③④ C．①③ D．①④ [答案]　B [解析]　對(duì)于③，f(x)在原點(diǎn)附近為增函數(shù)，∴f′(x)>0，而圖像中當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)<0，∴③一定不正確；對(duì)于④，同理，導(dǎo)函數(shù)開始應(yīng)在x軸上方，④一定不正確，故選B. 4．若函數(shù)y＝x3－3ax＋a在(1,2)內(nèi)有

11、極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．1<a<2 B．1<a<4 C．2<a<4 D．a(chǎn)>4或a<1 [答案]　B [解析]　y′＝3x2－3A．當(dāng)a≤ 0，f′(x)≥0； 函數(shù)y＝x3－3ax＋a為單調(diào)函數(shù)，不合題意，舍去； 當(dāng)a>0，y′＝3x2－3a＝0?x＝±，不難分析當(dāng)1<a<4時(shí)，函數(shù)y＝x3－3ax＋a在(1,2)內(nèi)有極小值． 二、填空題 5．(2014·河北冀州中學(xué)期中)若函數(shù)f(x)＝x＋asinx在R上遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． [答案]　[－

12、1,1] [解析]　f ′(x)＝1＋acosx，由條件知f ′(x)≥0在R上恒成立，∴1＋acosx≥0，a＝0時(shí)顯然成立；a>0時(shí)， ∵－≤cosx恒成立，∴－≤－1，∴a≤1，∴0<a≤1；a<0時(shí)，∵－≥cosx恒成立，∴－≥1，∴a≥－1，即－1≤a<0，綜上知－1≤a≤1. 6.已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.現(xiàn)給出如下結(jié)論： ①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0； ③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是___

13、_____． [答案]?、冖? [解析]　本題考查了導(dǎo)數(shù)工具有研究函數(shù)零點(diǎn)方面的應(yīng)用 設(shè)g(x)＝x3－6x2＋9x＝0，則x1＝0，x2＝x3＝3， 其圖象如圖： 要使f(x)＝x3－6x2＋9x－abc有3個(gè)零點(diǎn)，須將g(x)的圖象向下平移，如圖所示： 又f′(x)＝3x2－12x＋9＝0時(shí)， x1＝1，x2＝3，即得f(1)是極大值，f(3)是極小值． ∴由圖象可知f(0)·f(1)<0，f(0)·f(3)>0. 對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)問題要注意和對(duì)應(yīng)方程的根及函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，當(dāng)一個(gè)函數(shù)不能直接畫出圖象時(shí)，要有求導(dǎo)的意識(shí)來探究一下函數(shù)的

14、基本性質(zhì)然后再畫草圖． 三、解答題 7.設(shè)f(x)＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于y軸． (1)求a的值； (2)求函數(shù)f(x)的極值． [分析]　(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)，運(yùn)用f′(1)＝0求出a的值，(2)由f′(x)＝0解得x值，結(jié)合函數(shù)定義域，討論在各區(qū)間上f′(x)的符號(hào)，從而確定極值． [解析]　(1)因f(x)＝alnx＋＋x＋1，故f′(x)＝－＋. 由于曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0，即f′(1)＝0，從而a－＋＝0，解得a＝－1. (2)由(1)知f(x)＝－lnx＋＋

15、x＋1(x>0)， f′(x)＝－－＋ ＝ ＝. 令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(因x2＝－不在定義域內(nèi)，舍去)． 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)． 故f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3. [點(diǎn)評(píng)]　本題通過對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查，解決了常見的斜率問 題，極值問題，題目簡(jiǎn)單，方法常規(guī)，但本題容易忽視函數(shù)的定義域，從而導(dǎo)致出錯(cuò)。 8.(2014·山東省菏澤市期中)已知函數(shù)f(x)＝x2＋alnx. (1)若a＝－1，求函數(shù)f(x

16、)的極值，并指出是極大值還是極小值； (2)若a＝1，求證：在區(qū)間[1，＋∞)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)＝x3的圖象的下方． [解析]　(1)由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)， 當(dāng)a＝－1時(shí)，f ′(x)＝x－＝， 令f ′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)， 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f ′(x)<0，因此函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減， 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f ′(x)>0，因此函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增， 則x＝1是f(x)的極小值點(diǎn)， 所以f(x)在x＝1處取得極小值為f(1)＝. (2)證明：設(shè)F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3， 則F′(x)＝x＋－2x2＝ ＝， 當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)′(x)<0， 故f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞減， 又F(1)＝－<0， ∴在區(qū)間[1，＋∞)上，F(xiàn)(x)<0恒成立， 即f(x)<g(x)恒成立． 因此，當(dāng)a＝1時(shí)，在區(qū)間[1，＋∞)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)圖象的下方． s