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1、 精品資料 學(xué)案11　函數(shù)與方程 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，會判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù).2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似值． 自主梳理 1．函數(shù)零點的定義 (1)對于函數(shù)y＝f(x) (x∈D)，把使y＝f(x)的值為____的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x) (x∈D)的零點． (2)方程f(x)＝0有實根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與____有交點?函數(shù)y＝f(x)有______． 2．函數(shù)零點的判定 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間

2、斷的曲線，且____________，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間________上有零點． 3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象與零點的關(guān)系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函數(shù)y＝ ax2＋bx＋c (a>0)的圖象 與x軸的交點 (x1,0) 無交點 零點個數(shù) 4.二分法 對于區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的，且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，從而得到零點近似值的方法，叫做二分法． 自我檢測 1．(2010福建改編)f(x)＝的零點為__

3、____________． 2．(2010山東省實驗中學(xué)模擬)函數(shù)f(x)＝3ax＋1－2a，在區(qū)間(－1,1)上存在一個零點，則a的取值范圍為________________________． 3．如圖所示的函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中交點橫坐標(biāo)的是________(填序號)． 4．若函數(shù)f(x)唯一的零點在區(qū)間(1,3)、(1,4)、(1,5)內(nèi)，則下列說法正確的個數(shù)是________． ①函數(shù)f(x)在(1,2)或[2,3)內(nèi)有零點； ②函數(shù)f(x)在(3,5)內(nèi)無零點； ③函數(shù)f(x)在(2,5)內(nèi)有零點； ④函數(shù)f(x)在(2,4)內(nèi)不一定有零點．

4、 5．(2009山東)若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為________． 探究點一　函數(shù)零點的判斷 例1　判斷函數(shù)y＝ln x＋2x－6的零點個數(shù)． 變式遷移1　(1)(2011南通調(diào)研)設(shè)f(x)＝x3＋bx＋c(b>0)，且f(－)f()<0，則方程f(x)＝0在[－1,1]內(nèi)根的個數(shù)為________． (2)(2010煙臺一模)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點個數(shù)是________． 探究點二　用二分法求方程

5、的近似解 例2　用二分法求函數(shù)f(x)＝x3－x－1在區(qū)間[1,1.5]內(nèi)的一個零點的近似值．(精確到0.1) 變式遷移2　用二分法求函數(shù)f(x)＝3x－x－4的一個零點，其參考數(shù)據(jù)如下： f(1.600 0)＝0.200 f(1.587 5)＝0.133 f(1.575 0)＝0.067 f(1.562 5)＝0.003 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.550 0)＝－0.060 據(jù)此數(shù)據(jù)，可得f(x)＝3x－x－4的一個零點的近似值(精確到0.01)為________． 探究點三　利用函數(shù)的零點確定參數(shù) 例3　已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2

6、ax2＋2x－3－a，如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點，求a的取值范圍． 變式遷移3　若函數(shù)f(x)＝4x＋a2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零點，求實數(shù)a的取值范圍． 1．全面認(rèn)識深刻理解函數(shù)零點： (1)從“數(shù)”的角度看：即是使f(x)＝0的實數(shù)x； (2)從“形”的角度看：即是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)； (3)若函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處與x軸相切，則零點x0通常稱為不變號零點； (4)若函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處與x軸相交，則零點x0通常稱為變號零點． 2．求函數(shù)y＝f(x)的零點的方法： (1)(

7、代數(shù)法)求方程f(x)＝0的實數(shù)根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)； (2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點； (3)(二分法)主要用于求函數(shù)零點的近似值，二分法的條件f(a)f(b)<0表明：用二分法求函數(shù)的近似零點都是指變號零點． 3．有關(guān)函數(shù)零點的重要結(jié)論： (1)若連續(xù)不間斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點； (2)連續(xù)不間斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號； (3)連續(xù)不間斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值符號可能不變． (滿分：90分) 一、填空題

8、(每小題6分，共48分) 1．(2010天津改編)函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點個數(shù)為________． 2．若f(x)＝，則函數(shù)g(x)＝f(x)－x的零點為______________． 3．(2010蘇北四市模擬)若方程ln x－6＋2x＝0的解為x0，則不等式x≤x0的最大整數(shù)解為________． 4．若函數(shù)f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)內(nèi)恰有一個零點，則a的取值范圍是____________． 5．(2010南通二模)已知函數(shù)f(x)＝，若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍為________． 6．(2010泰州期末)已知函數(shù)f(x)＝lo

9、ga(2＋ax)的圖象和函數(shù)g(x)＝(a>0，且a≠1)的圖象關(guān)于直線y＝b對稱(b為常數(shù))，則a＋b＝________. 7．(2010深圳一模)已知函數(shù)f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是______________． 8．若函數(shù)f(x)的零點與g(x)＝4x＋2x－2的零點之差的絕對值不超過0.25，則f(x)可以是下列四個函數(shù)中的________．(填上正確的序號) ①f(x)＝4x－1；②f(x)＝(x－1)2；③f(x)＝ex－1；④f(x)＝ln(x－0.5)． 二、解答題(共42分)

10、 9．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋＋. 證明：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0. 10．(14分)是否存在這樣的實數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在區(qū)間[－1,3]上與x軸有且只有一個交點．若存在，求出a的范圍；若不存在，說明理由． 11．(16分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a>2c>2b，求證： (1)a>0且－3<<－； (2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點； (3)設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個零點，則≤|x1－x2|<. 答案 自主梳理 1．

11、(1)0　(2)x軸　零點　2.f(a)f(b)<0　(a，b) 3．(x1,0)，(x2,0)　兩個　一個　無 自我檢測 1．－3和e2　2.a>或a<－1　3.①③　4.3　5.a>1 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　判斷函數(shù)零點個數(shù)最常用的方法是令f(x)＝0，轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)，解出方程有幾個根，函數(shù)y＝f(x)就有幾個零點，如果方程的根解不出，還有兩種方法判斷：方法一是基本方法，是利用零點的存在性原理，要注意參考單調(diào)性可判定零點的唯一性；方法二是數(shù)形結(jié)合法，要注意作圖技巧． 解　方法一　設(shè)f(x)＝ln x＋2x－6， ∵y＝ln x和y＝2x－6均為增函數(shù)，∴f(x)也是

12、增函數(shù)． 又∵f(1)＝0＋2－6＝－4<0，f(3)＝ln 3>0， ∴f(x)在(1,3)上存在零點．又f(x)為增函數(shù)， ∴函數(shù)在(1,3)上存在唯一零點． 故函數(shù)y＝ln x＋2x－6的零點個數(shù)為1. 方法二　在同一坐標(biāo)系畫出y＝ln x與y＝6－2x的圖象，由圖可知兩圖象只有一個交點，故函數(shù)y＝ln x＋2x－6只有一個零點． 變式遷移1　(1)1　(2)4 解析　(1)∵f′(x)＝3x2＋b>0， ∴f(x)在[－1,1]上為增函數(shù)， 又f(－)f()<0， ∴f(x)在[－1,1]內(nèi)存在唯一零點， 方程f(x)＝0有唯一根． (2)由題意知f(x)是

13、偶函數(shù)并且周期為2. 由f(x)－log3|x|＝0，得f(x)＝log3|x|，令y＝f(x)，y＝log3|x|，這兩個函數(shù)都是偶函數(shù)，畫兩函數(shù)y軸下邊的圖象如圖，兩函數(shù)有兩個交點，因此零點個數(shù)在x≠0，x∈R的范圍內(nèi)共4個． 例2　解題導(dǎo)引　用二分法求函數(shù)的零點時，最好是利用表格，將計算過程所得的各個區(qū)間、中點坐標(biāo)、區(qū)間中點的函數(shù)值等置于表格中，可清楚地表示出逐步縮小零點所在區(qū)間的過程，有時也可利用數(shù)軸來表示這一過程． 解　∵f(1)＝1－1－1＝－1<0， f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0， ∴f(x)在區(qū)間[1,1.5]存在零點． 取區(qū)間[1,1.

14、5]作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐次計算列表如下： 端(中)點坐標(biāo) 中點函數(shù)值符號 零點所在區(qū)間 [1,1.5] 1.25 f(1.25)<0 [1.25,1.5] 1.375 f(1.375)>0 [1.25,1.375] 1.312 5 f(1.312 5)<0 [1.312 5,1.375] 1.343 75 f(1.343 75)>0 [1.312 5,1.343 75] 由上表可知，區(qū)間[1.312 5,1.343 75]的左右端點精確到0.1所取近似值都是1.3，因此1.3就是所求函數(shù)的一個零點近似值． 變式遷移2　1.56 解析　∵f

15、(1.562 5)f(1.556 2)<0，且區(qū)間[1.556 2,1.562 5]左右端點精確到0.01所取近似值都是1.56，因此1.56即為符合要求的零點． 例3　解題導(dǎo)引　函數(shù)與方程雖然是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)＝0的解就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)，函數(shù)y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，然后通過方程進(jìn)行研究．函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，也是歷年高考的重點． 解　若a＝0，f(x)＝2x－3，顯然在[－1，1]上沒有零點，所以a≠0.令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0， 解得a＝. ①當(dāng)a＝時，

16、f(x)＝0的重根x＝∈[－1,1]， 當(dāng)a＝時，f(x)＝0的重根x＝?[－1,1]， ∴y＝f(x)恰有一個零點在[－1,1]上； ②當(dāng)f(－1)f(1)＝(a－1)(a－5)<0， 即11或a≤. 變式遷移3　解　方法一　(換元) 設(shè)2x＝t，則函數(shù)f(x)＝4x＋a2x＋a＋1化為g(t)＝t2＋at＋a＋1 (t∈(0，＋∞))． 函數(shù)f(x)＝4x＋a2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零點，等價于

17、方程t2＋at＋a＋1＝0，①有正實數(shù)根． (1)當(dāng)方程①有兩個正實根時， a應(yīng)滿足， 解得：－1

18、數(shù)g(t)的一個零點是0時，g(0)＝a＋1＝0，a＝－1，此時可以求得函數(shù)g(t)的另一個零點是1. 綜上(1)(2)(3)知a≤2－2. 方法三　f(x)存在零點?方程a＝－有實根． 因為－＝－ ＝－[(2x＋1)＋－2]≤2－2. 當(dāng)且僅當(dāng)2x＋1＝，即x＝log2(－1)時，上式取“＝”． 所以a≤2－2. 課后練習(xí)區(qū) 1．1 解析　因為f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0， 所以f(x)在區(qū)間(－1,0)上存在零點． 又f(x)在R上單調(diào)遞增．所以f(x)只有1個零點． 2．1＋或1 解析　求g(x)＝f(x)－x的零點，即求f(x)＝x的根， ∴或.

19、 解得x＝1＋或x＝1. 3．2 解析　令f(x)＝ln x－6＋2x，則f(1)＝ln 1－6＋2＝－4<0，f(2)＝ln 2－6＋4＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0， ∴20，f(0)f(1)<0，則a>1；若Δ＝0，即a＝－，函數(shù)的零點是x＝－2，不合題意， 所以a∈(1，＋∞)． 5．(0,1) 解析　在坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f(x)＝的圖象(如圖)，發(fā)現(xiàn)0

20、m有3個零點． 6．2 解析　依題意有f(x)＋g(x)＝loga(2＋ax)＋(a＋2x)＝2b，所以有 即有? 所以a＋b＝2. 7．x11，所以x1

21、(x)＝ln(x－0.5)的零點為x＝1.5，現(xiàn)在我們來估算g(x)＝4x＋2x－2的零點，因為g(0)＝－1，g(0.25)≈－0.086，(g(0.5)＝1，所以g(x)的零點x∈(0,0.5)，又函數(shù)f(x)的零點與g(x)＝4x＋2x－2的零點之差的絕對值不超過0.25，只有f(x)＝4x－1的零點適合． 9．證明　令g(x)＝f(x)－x.………………………………………………………………(2分) ∵g(0)＝，g()＝f()－＝－， ∴g(0)g()<0.……………………………………………………………………………(8分) 又函數(shù)g(x)在(0，)上連續(xù)，……………………………

22、………………………………(10分) 所以存在x0∈(0，)，使g(x0)＝0. 即f(x0)＝x0.………………………………………………………………………………(12分) 10．解　∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)>0， ∴若存在實數(shù)a滿足條件， 則只需f(－1)f(3)≤0即可．………………………………………………………………(3分) f(－1)f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)(9＋9a－6＋a－1) ＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－或a≥1.………………………………………………(5分) 檢驗：①當(dāng)f(－1)＝0時，a＝1. 所以f(x)＝x2＋x.令f(x)

23、＝0，即x2＋x＝0. 得x＝0或x＝－1. 方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，故a≠1.…………………………………………(8分) ②當(dāng)f(3)＝0時，a＝－， 此時f(x)＝x2－x－， 令f(x)＝0，即x2－x－＝0， 解之得x＝－或x＝3. 方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，故a≠－.………………………………………(12分) 綜上所述，a<－或a>1.………………………………………………………………(14分) 11．證明　(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－， ∴3a＋2b＋2c＝0. 又3a>2c>2b，∴3a>0,2b<0，∴a>0，b<0. 又2c＝－

24、3a－2b，由3a>2c>2b， ∴3a>－3a－2b>2b. ∵a>0，∴－3<<－.……………………………………………………………………(4分) (2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c. ①當(dāng)c>0時，∵a>0， ∴f(0)＝c>0且f(1)＝－<0， ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個零點．……………………………………………(8分) ②當(dāng)c≤0時，∵a>0， ∴f(1)＝－<0且f(2)＝a－c>0， ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個零點． 綜合①②得f(x)在(0,2)內(nèi)至少有一個零點．……………………………………………(12分) (3)∵x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個零點，則x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根． ∴x1＋x2＝－，x1x2＝＝－－. ∴|x1－x2|＝ ＝＝.……………………………………………(15分) ∵－3<<－，∴≤|x1－x2|<.……………………………………………………(16分)