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培優(yōu)點六 三角函數 1．求三角函數值 例1：已知，，，求的值． 【答案】 【解析】∵， ∵，，， ，， ． 2．三角函數的值域與最值 例2：已知函數， （1）求函數的最小正周期和圖像的對稱軸方程； （2）求函數在區(qū)間的值域． 【答案】（1），對稱軸方程：；（2）． 【解析】（1） 對稱軸方程：． （2），∵，， ． 3．三角函數的性質 例3：函數（ ） A．在上單調遞減 B．在上單調遞增 C．在上單調遞減 D．在上單調遞增 【答案】D 【解析】， 單調遞增區(qū)間： 單調遞減區(qū)間： 符合條件的只有D． 對點增分集訓 一、單選題 1．若，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題得 ．故答案為B． 2．函數的一個單調遞增區(qū)間是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴， 令，得． 取，得函數的一個單調遞增區(qū)間是．故選B． 3．已知，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，即， ∴，∴ ，故選B． 4．關于函數，下列命題正確的是（ ） A．由可得是的整數倍 B．的表達式可改寫成 C．的圖象關于點對稱 D．的圖象關于直線對稱 【答案】D 【解析】函數，周期為， 對于A：由，可能與關于其中一條對稱軸是對稱的，此時不是的整數倍，故錯誤 對于B：由誘導公式，，故錯誤 對于C：令，可得，故錯誤， 對于D：當時，可得，的圖象關于直線對稱，故選D． 5．函數的最大值是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意可知：， 則：， 所以函數的最大值為1．本題選擇A選項． 6．函數的部分圖象如圖所示，則，的值分別可以是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由圖可知，該三角函數的周期，所以， 則， 因為，所以該三角函數的一條對稱軸為， 將代入，可解得，所以選D． 7．已知函數，和分別是函數取得零點和最小值點橫坐標，且在單調，則的最大值是（ ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【解析】∵，和分別是函數取得零點和最小值點的橫坐標，∴，即． 又∵，，∴， 又∵在單調，∴， 又∵∴， 當，時，，由是函數最小值點橫坐標知， 此時，在遞減，遞增，不滿足在單調，故舍去； 當，時，由是函數最小值點橫坐標知，此時在單調遞增，故．故選B． 8．已知函數，給出下列四個說法： ；函數的周期為； 在區(qū)間上單調遞增；的圖象關于點中心對稱 其中正確說法的序號是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以函數的周期不為，錯，，周期為． ，對． 當時，，，所以在上單調遞增． 對．，所以錯．即對，填． 9．已知，函數在上單調遞減，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，， ∵函數在上單調遞減，周期，解得， ∵的減區(qū)間滿足：， 取，得，解之得， 即的取值范圍是，故選C． 10．同時具有性質：①最小正周期是；②圖象關于直線對稱；③在上是增函數的一個函數是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函數的最小正周期為，不滿足①，排除A； 函數的最小正周期為，滿足①， 時，取得最大值，是的一條對稱軸，滿足②； 又時，，單調遞增，滿足③，B滿足題意； 函數在，即時單調遞減，不滿足③，排除C； 時，不是最值，不是的一條對稱軸，不滿足②，排除D，故選B． 11．關于函數的圖像或性質的說法中，正確的個數為（ ） ①函數的圖像關于直線對稱； ②將函數的圖像向右平移個單位所得圖像的函數為； ③函數在區(qū)間上單調遞增；④若，則． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】①令，解得，當時，則，故正確 ②將函數的圖像向右平移個單位得：，故錯誤 ③令，解得，故錯誤 ④若，即，則，故錯誤 故選A． 12．函數的圖象關于直線對稱，它的最小正周期為， 則函數圖象的一個對稱中心是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得，可得， 再由函數圖象關于直線對稱，故，故可取， 故函數， 令，可得，故函數的對稱中心， 令可得函數圖象的對稱中心是，故選D． 二、填空題 13．函數的單調遞減區(qū)間是_________． 【答案】， 【解析】由，即，， 故函數的單調減區(qū)間為，，故答案為，． 14．已知，且，則_________________． 【答案】 【解析】∵，且，，， ，故答案為． 15．函數在的值域為_________． 【答案】 【解析】，∵，， ，， ，故答案為． 16．關于，有下列命題 ①由可得是的整數倍； ②的表達式可改寫成； ③圖象關于對稱； ④圖象關于對稱． 其中正確命題的序號為________(將你認為正確的都填上)． 【答案】②③ 【解析】對于①，的周期等于，而函數的兩個相鄰的零點間的距離等于，故由可得必是的整數倍，故錯誤 對于②，由誘導公式可得，函數 ，故②正確 對于③，由于時，函數，故的圖象關于點對稱，故正確 對于④，，解得，即不是對稱軸，故錯誤 綜上所述，其中正確命題的序號為②③ 三、解答題 17．已知，其圖象在取得最大值． （1）求函數的解析式； （2）當，且，求值． 【答案】；（2）． 【解析】（1） ， 由在取得最大值，， ，即，經檢驗符合題意 ． （2）由，， 又，，得，， ． 18．已知函數 的最小正周期為． （1）求的值； （2）求函數在區(qū)間上的取值范圍． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）， 因為函數的最小正周期為，且，所以解得． （2）由（1）得， 因為，所以，所以． 因此，即的取值范圍為．