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培優(yōu)點一 函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.單調(diào)性的判斷 例１：（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ） A． B． C． D． （2）的單調(diào)遞增區(qū)間為________． 【答案】（1）D；（2）， 【解析】（1）因為，在定義域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間， 即求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間為． （2）由題意知，當(dāng)時，；當(dāng)時，，二次函數(shù)的圖象如圖． 由圖象可知，函數(shù)在，上是增函數(shù)． 2．利用單調(diào)性求最值 例2：函數(shù)的最小值為________． 【答案】1 【解析】易知函數(shù)在上為增函數(shù)，∴時，． 3．利用單調(diào)性比較大小、解抽象函數(shù)不等式 例3：（1）已知函數(shù)的圖象向左平移1個單位后關(guān)于軸對稱，當(dāng)時，恒成立，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為 （ ） A． B． C． D． （2）定義在R上的奇函數(shù)在上遞增，且，則滿足的的集合為________________． 【答案】（1）D；（2） 【解析】（1）根據(jù)已知可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且在上是減函數(shù)， 因為，且，所以． （2）由題意知，，由得或 解得或． ４．奇偶性 例４：已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因為是偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于軸對稱，又在上單調(diào)遞增， ，所以，所以．故選A． ５．軸對稱 例５：已知定義域為的函數(shù)在上只有1和3兩個零點，且與都是偶函數(shù)，則函數(shù)在上的零點個數(shù)為（ ） A．404 B．804 C．806 D．402 【答案】C 【解析】，為偶函數(shù)，，關(guān)于 ，軸對稱，為周期函數(shù)，且， 將劃分為 關(guān)于，軸對稱， ，， 在中只含有四個零點，而共201組 所以；在中，含有零點，共兩個， 所以一共有806個零點，故選C． ６．中心對稱 例６：函數(shù)的定義域為，若與都是奇函數(shù)，則（ ） A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù) C． D．是奇函數(shù) 【答案】D 【解析】從已知條件入手可先看的性質(zhì)，由，為奇函數(shù)分別可得到：，，所以關(guān)于，中心對稱，雙對稱出周期可求得，所以C不正確，且由已知條件無法推出一定符合A，B． 對于D選項，因為，所以，進而可推出關(guān)于中心對稱， 所以為圖像向左平移3個單位，即關(guān)于對稱，所以為奇函數(shù)，D正確． ７．周期性的應(yīng)用 例７：已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且， 則的值為（ ） A． B．1 C．0 D．無法計算 【答案】C 【解析】由題意，得，∵是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)， ∴，，∴， ∴，∴，∴的周期為4， ∴，， 又∵，∴． 對點增分集訓(xùn) 一、選擇題 1．若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則的值為（ ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【解析】由圖象易知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，令，∴． 2．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使在上是增函數(shù)，則且，即． 3．設(shè)函數(shù)，則是（ ） A．奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù) B．奇函數(shù)，且在內(nèi)是減函數(shù) C．偶函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù) D．偶函數(shù)，且在內(nèi)是減函數(shù) 【答案】A 【解析】易知的定義域為，且，則為奇函數(shù)， 又在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)． 4．已知函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且在上單調(diào)遞增，設(shè)，， ，則，，的大小關(guān)系為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵函數(shù)圖象關(guān)于對稱，∴，又在上單調(diào)遞增， ∴，即，故選B． 5．已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，，則等于（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由已知得，，則有解得． 6．函數(shù)的圖象可能為（ ） 【答案】D 【解析】因為，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除A，B．當(dāng)時，，排除C，故選D． 7．奇函數(shù)的定義域為，若為偶函數(shù)，且，則的值為（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】∵為偶函數(shù)，∴，則， 又為奇函數(shù)，則，且． 從而，的周期為4． ∴． 8．函數(shù)的圖象向右平移1個單位，所得圖象與曲線關(guān)于軸對稱，則的解析式為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】與的圖象關(guān)于軸對稱的函數(shù)為．依題意，的圖象向右平移一個單位， 得的圖象．∴的圖象由的圖象向左平移一個單位得到．∴． 9．使成立的的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在同一坐標系內(nèi)作出，的圖象，知滿足條件的，故選A． 10．已知偶函數(shù)對于任意都有，且在區(qū)間上是單調(diào)遞增的， 則，，的大小關(guān)系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，∴函數(shù)的周期是2． ∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴，． ∵在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，∴，即． 11．對任意的實數(shù)都有，若的圖象關(guān)于對稱，且， 則（ ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】的圖象關(guān)于對稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于對稱， 即函數(shù)是偶函數(shù)，令，則， ∴，即，則， 即，則函數(shù)的周期是2，又， 則． 12．已知函數(shù)，，若存在，則實數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題可知，， 若，則，即，即， 解得．所以實數(shù)的取值范圍為． 二、填空題 13．設(shè)函數(shù)，，則函數(shù)的遞減區(qū)間是_______． 【答案】 【解析】由題意知，函數(shù)的圖象如圖所示的實線部分， 根據(jù)圖象，的減區(qū)間是． 14．若函數(shù)是周期為4的奇函數(shù)，且在上的解析式為， 則________． 【答案】 【解析】由于函數(shù)是周期為4的奇函數(shù)，所以． 15．設(shè)函數(shù)，，對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取 值范圍是________． 【答案】 【解析】如圖作出函數(shù)與的圖象，觀察圖象可知：當(dāng)且僅當(dāng)，即時，不等式恒成立，因此的取值范圍是． 16．設(shè)定義在上的函數(shù)同時滿足以下條件：①；②； ③當(dāng)時，，則________． 【答案】 【解析】依題意知：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2， ∴ ． 三、解答題 17．已知函數(shù)，其中是大于0的常數(shù)． （1）求函數(shù)的定義域； （2）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值； （3）若對任意恒有，試確定的取值范圍． 【答案】（1）見解析；（2）；（3）． 【解析】（1）由，得， 當(dāng)時，恒成立，定義域為， 當(dāng)時，定義域為， 當(dāng)時，定義域為． （2）設(shè)，當(dāng)，時，∴． 因此在上是增函數(shù)，∴在上是增函數(shù)．則． （3）對任意，恒有．即對恒成立． ∴．令，． 由于在上是減函數(shù)，∴． 故時，恒有．因此實數(shù)的取值范圍為． 18．設(shè)是定義域為的周期函數(shù)，最小正周期為2，且，當(dāng)時，． （1）判定的奇偶性； （2）試求出函數(shù)在區(qū)間上的表達式． 【答案】（1）是偶函數(shù)；（2）． 【解析】（1）∵，∴． 又，∴．又的定義域為，∴是偶函數(shù)． （2）當(dāng)時，，則； 進而當(dāng)時，，． 故．