《2020版高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2 拋物線的簡單性質（第2課時）拋物線簡單性質的應用學案（含解析）北師大版選修1 -1.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2 拋物線的簡單性質（第2課時）拋物線簡單性質的應用學案（含解析）北師大版選修1 -1.docx（15頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

第2課時　拋物線簡單性質的應用 學習目標　1.進一步認識拋物線的幾何特性.2.學會解決直線與拋物線相關的綜合問題． 知識點　直線與拋物線的位置關系 1．直線與拋物線的位置關系與公共點個數 位置關系 公共點個數 相交 有兩個或一個公共點 相切 有且只有一個公共點 相離 無公共點 2.直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點個數決定于關于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的個數．當k≠0時，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點；當Δ＝0時，直線與拋物線有一個公共點；當Δ<0時，直線與拋物線沒有公共點．當k＝0時，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，此時直線與拋物線有一個公共點． 1．若直線與拋物線有且只有一個公共點，則直線與拋物線必相切．(　　) 2．直線與拋物線相交弦的弦長公式是|AB|＝|x1－x2|＝x1＋x2＋p.(　　) 3．過拋物線的焦點與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫作拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a>0)的通徑長為2a.(　√　) 題型一　直線與拋物線的位置關系 例1　已知直線l：y＝k(x＋1)與拋物線C：y2＝4x，問：k為何值時，直線l與拋物線C有兩個交點，一個交點，無交點？ 考點　直線與拋物線的位置關系 題點　直線與拋物線公共點的個數 解　由方程組 消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0， Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2)． (1)若直線與拋物線有兩個交點， 則k2≠0且Δ>0， 即k2≠0且16(1－k2)>0， 解得k∈(－1,0)∪(0,1)． 所以當k∈(－1,0)∪(0,1)時， 直線l和拋物線C有兩個交點． (2)若直線與拋物線有一個交點， 則k2＝0或當k2≠0時，Δ＝0， 解得k＝0或k＝1. 所以當k＝0或k＝1時，直線l和拋物線C有一個交點． (3)若直線與拋物線無交點， 則k2≠0且Δ<0. 解得k>1或k<－1. 所以當k>1或k<－1時， 直線l和拋物線C無交點． 反思感悟　直線與拋物線交點的個數，等價于直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到的方程組解的個數．注意直線斜率不存在和得到的方程二次項系數為0的情況． 跟蹤訓練1　設拋物線y2＝8x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l斜率的取值范圍是(　　) A. B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4] 考點　直線與拋物線的位置關系 題點　直線與拋物線公共點的個數 答案　C 解析　準線方程為x＝－2，Q(－2,0)． 設l：y＝k(x＋2)， 由 得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0. 當k＝0時，x＝0，即交點為(0,0)； 當k≠0時，由Δ≥0，得－1≤k<0或00.① 設弦的兩端點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， ∴y1＋y2＝，y1y2＝. ∵P1P2的中點為(4,1)， ∴＝2，∴k＝3，適合①式． ∴所求直線方程為y－1＝3(x－4)， 即3x－y－11＝0， ∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22， ∴|P1P2|＝ ＝＝. 方法二　設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． 則y＝6x1，y＝6x2， ∴y－y＝6(x1－x2)，又y1＋y2＝2， ∴＝＝3， ∴所求直線的斜率k＝3， 故所求直線方程為y－1＝3(x－4)， 即3x－y－11＝0. 由得y2－2y－22＝0， ∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22， ∴|P1P2|＝ ＝＝. 反思感悟　中點弦問題解題策略兩方法 跟蹤訓練2　已知頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線截直線y＝2x－4所得的弦長|AB|＝3，求此拋物線的方程． 考點　直線與拋物線的位置關系 題點　由拋物線弦長求解相關問題 解　設所求拋物線方程為y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去y，得4x2－(a＋16)x＋16＝0， 由Δ＝(a＋16)2－256>0，得a>0或a<－32. 又∵x1＋x2＝，x1x2＝4， ∴|AB|＝＝3， 即5＝45， ∴a＝4或a＝－36，滿足Δ>0. ∴所求拋物線方程為y2＝4x或y2＝－36x. 題型三　拋物線中的定點(定值)問題 例3　已知點A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB. (1)求兩點的橫坐標之積和縱坐標之積； (2)求證：直線AB過定點． 考點　直線與拋物線的位置關系 題點　直線與拋物線相交時的其他問題 (1)解　設點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 則kOA＝，kOB＝. 因為OA⊥OB，所以kOAkOB＝－1， 所以x1x2＋y1y2＝0. 因為y＝2px1，y＝2px2， 所以＋y1y2＝0. 因為y1≠0，y2≠0， 所以y1y2＝－4p2， 所以x1x2＝4p2. (2)證明　因為y＝2px1，y＝2px2， 所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)， 所以＝， 所以kAB＝， 故直線AB的方程為y－y1＝(x－x1)， 所以y＝＋y1－， 即y＝＋. 因為y＝2px1，y1y2＝－4p2， 所以y＝＋， 所以y＝(x－2p)， 即直線AB過定點(2p,0)． 反思感悟　在直線和拋物線的綜合題中，經常遇到求定值、過定點問題，解決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數法等，解決這類問題的關鍵是代換和轉化． 跟蹤訓練3　如圖，過拋物線y2＝x上一點A(4,2)作傾斜角互補的兩條直線AB，AC交拋物線于B，C兩點，求證：直線BC的斜率是定值． 考點　直線與拋物線的位置關系 題點　直線與拋物線相交時的其他問題 證明　設kAB＝k(k≠0)． ∵直線AB，AC的傾斜角互補， ∴kAC＝－k(k≠0)， 即直線AB的方程是y＝k(x－4)＋2. 由方程組 消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k)x＋16k2－16k＋4＝0. ∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程組的解， ∴4xB＝， 即xB＝. 以－k代換xB中的k，得xC＝. ∴kBC＝＝ ＝＝＝－. ∴直線BC的斜率為定值. 1．過點P(0,1)與拋物線y2＝x有且只有一個交點的直線有(　　) A．4條 B．3條 C．2條 D．1條 考點　直線與拋物線的位置關系 題點　直線與拋物線公共點的個數問題 答案　B 解析　當斜率不存在時，過P(0,1)的直線是y軸，與拋物線y2＝x只有一個公共點． 當斜率存在時，設直線為y＝kx＋1. 由 得k2x2＋(2k－1)x＋1＝0， 當k＝0時，符合題意； 當k≠0時，令Δ＝(2k－1)2－4k2＝0， 得k＝. ∴與拋物線只有一個交點的直線共有3條． 2．若拋物線y2＝2x上有兩點A，B，且AB垂直于x軸，若|AB|＝2，則拋物線的焦點到直線AB的距離為(　　) A.B.C.D. 考點　直線與拋物線的位置關系 題點　由拋物線的弦長求解相關問題 答案　A 解析　線段AB所在的直線的方程為x＝1，拋物線的焦點坐標為，則焦點到直線AB的距離為1－＝. 3．直線y＝x＋b交拋物線y＝x2于A，B兩點，O為拋物線頂點，OA⊥OB，則b的值為(　　) A．－1B．0C．1D．2 考點　 題點　 答案　D 解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將y＝x＋b代入y＝x2， 化簡可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b， 所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2. 又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0， 即－2b＋b2＝0，則b＝2或b＝0， 經檢驗當b＝0時，不符合題意，故b＝2. 4．過M(2,0)作斜率為1的直線l交拋物線y2＝4x于A，B兩點，則|AB|＝________. 考點　 題點　 答案　4 解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由題意知l的方程為y＝x－2，與y2＝4x聯(lián)立得， x2－8x＋4＝0，則x1＋x2＝8，x1x2＝4， 所以|AB|＝|x2－x1|＝＝4. 5．設O為坐標原點，F為拋物線y2＝4x的焦點，A為拋物線上任意一點，若＝－4，求點A的坐標． 考點　拋物線的標準方程 題點　拋物線方程的應用 解　由題意知F(1,0)，設A，則＝， ＝，由＝－4，可得y0＝2， 所以A(1，2)． 求拋物線的方程常用待定系數法和定義法：直線和拋物線的弦長問題、中點弦問題及垂直、對稱等可利用判別式、根與系數的關系解決；拋物線的綜合問題要深刻分析條件和結論，靈活選擇解題策略，對題目進行轉化. 一、選擇題 1．過拋物線y＝2x2的焦點且垂直于它的對稱軸的直線被拋物線截得的弦長為(　　) A．2B.C.D．1 考點　拋物線的焦點弦問題 題點　求拋物線的焦點弦長 答案　B 解析　拋物線y＝2x2的標準方程為x2＝y(tǒng)，焦點坐標為，當y＝時，x＝， ∴過拋物線y＝2x2的焦點且垂直于它的對稱軸的直線被拋物線截得的弦長為. 2．與直線2x－y＋4＝0平行的拋物線y＝x2的切線方程為(　　) A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0 考點　直線與拋物線位置關系 題點　求拋物線中的直線方程 答案　D 解析　設直線方程為2x－y＋m＝0， 由得x2－2x－m＝0， Δ＝4＋4m＝0，∴m＝－1， ∴直線方程為2x－y－1＝0. 3．直線y＝kx－2交拋物線y2＝8x于A，B兩點，若AB中點的橫坐標為2，則k等于(　　) A．2或－1 B．－1 C．2 D．3 考點　直線與拋物線的位置關系 題點　弦中點問題 答案　C 解析　聯(lián)立消去y 得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，Δ＝[－(4k＋8)]2－16k2>0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝2， 即x1＋x2＝4，∴x1＋x2＝＝4， ∴k＝2或－1， 經判別式檢驗知k＝2符合題意． 4．已知直線y＝kx－k及拋物線y2＝2px(p>0)，則(　　) A．直線與拋物線有一個公共點 B．直線與拋物線有兩個公共點 C．直線與拋物線有一個或兩個公共點 D．直線與拋物線可能沒有公共點 考點　直線與拋物線的位置關系 題點　直線與拋物線公共點個數問題 答案　C 解析　∵直線y＝kx－k＝k(x－1)， ∴直線過點(1,0)， 又點(1,0)在拋物線y2＝2px的內部， ∴當k＝0時，直線與拋物線有一個公共點；當k≠0時，直線與拋物線有兩個公共點． 5．經過點P(－2,1)且斜率為k的直線l與拋物線y2＝4x只有一個公共點，則k的取值范圍為(　　) A．{0，－1} B. C. D. 考點　 題點　 答案　D 解析　經過點P(－2,1)且斜率為k的直線l的方程可設為y＝k(x＋2)＋1，代入拋物線方程y2＝4x， 整理可得k2x2＋(4k2＋2k－4)x＋4k2＋4k＋1＝0，(*) 直線與拋物線只有一個公共點等價于方程(*)只有一個根． 當k＝0時，y＝1符合題意； 當k≠0時，Δ＝(4k2＋2k－4)2－4k2(4k2＋4k＋1)＝0， 整理得2k2＋k－1＝0，解得k＝或k＝－1. 綜上可得，k＝或k＝－1或k＝0時，直線l與拋物線只有一個公共點， 故k∈. 6．過點(1,0)作斜率為－2的直線，與拋物線y2＝8x交于A，B兩點，則弦AB的長為(　　) A．2B．2C．2D．2 考點　直線與拋物線的位置關系 題點　弦長問題 答案　B 解析　由直線方程為y＝－2(x－1)， 聯(lián)立方程 得y2＋4y－8＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， y1＋y2＝－4，y1y2＝－8， ∴|AB|＝＝2. 7．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 答案　B 解析　拋物線的焦點為F，所以過焦點且斜率為1的直線方程為y＝x－，即x＝y(tǒng)＋，代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根與系數的關系得＝p＝2(y1，y2分別為點A，B的縱坐標)，所以拋物線方程為y2＝4x，準線方程為x＝－1. 8．已知直線l：y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點，且A，B兩點在拋物線C準線上的射影分別是M，N，若|AM|＝2|BN|，則k的值是(　　) A.B.C．2D. 考點　直線與拋物線的位置關系 題點　綜合應用 答案　D 解析　設拋物線C：y2＝8x的準線為m：x＝－2. 直線y＝k(x＋2)(k>0)恒過定點P(－2,0)， 如圖， 過A，B分別作AM⊥m于M，BN⊥m于N. 由|AM|＝2|BN|， 得點B為AP的中點，連接OB， 則|OB|＝|AF|， ∴|OB|＝|BF|，∴點B的橫坐標為1， ∴點B的坐標為(1,2)． 把B(1,2)代入直線l：y＝k(x＋2)(k>0)， 解得k＝，故選D. 二、填空題 9．直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點，則k＝________. 考點　直線與拋物線的位置關系 題點　綜合應用 答案　0或1 解析　由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0， 當k＝0時，直線與拋物線只有一個公共點； 當k≠0時，由Δ＝(4k－8)2－16k2＝0，得k＝1， ∴k＝0或1. 10．拋物線焦點在y軸上，截得直線y＝x＋1的弦長為5，則拋物線的標準方程為________________． 考點　直線與拋物線的位置關系 題點　弦長問題 答案　x2＝－20y或x2＝4y 解析　設拋物線方程為x2＝ay(a≠0)， 由得x2－x－a＝0. 設直線與拋物線的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝－a， |AB|＝ ＝＝5， 得a＝－20或4，經檢驗，a＝－20或4都符合題意． ∴拋物線方程為x2＝－20y或x2＝4y. 11.如圖，直線y＝x－3與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，過A，B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P，Q，則梯形APQB的面積為______． 考點　直線與拋物線的位置關系 題點　直線與拋物線相交時的其他問題 答案　48 解析　由消去y，得x2－10x＋9＝0， 設B，A兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 解得或 ∴|AP|＝10，|BQ|＝2，|PQ|＝8， ∴梯形APQB的面積為48. 三、解答題 12．已知拋物線y2＝－x與直線y＝k(x＋1)相交于A，B兩點． (1)求證：OA⊥OB； (2)當△OAB的面積等于時，求k的值． 考點　直線與拋物線的位置關系 題點　直線與拋物線的綜合應用 (1)證明　如圖所示， 由 消去x得，ky2＋y－k＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根與系數的關系，得 y1y2＝－1，y1＋y2＝－. 因為A，B在拋物線y2＝－x上， 所以y＝－x1，y＝－x2， 所以yy＝x1x2. 因為kOAkOB＝ ＝＝＝－1， 所以OA⊥OB. (2)解　設直線與x軸交于點N，顯然k≠0， 令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)． 因為S△OAB＝S△OAN＋S△OBN ＝|ON||y1|＋|ON||y2| ＝|ON||y1－y2|， 所以S△OAB＝1 ＝. 因為S△OAB＝， 所以＝， 解得k＝. 13．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)上的一點M(2，y0)到焦點F的距離等于3. (1)求拋物線C的方程； (2)若過點D(3,0)的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，求△ABF面積的最小值． 考點　直線與拋物線的位置關系 題點　直線與拋物線相交時的其他問題 解　(1)拋物線的準線方程為x＝－， ∴M(2，y0)到焦點的距離為2＋＝3， ∴p＝2，∴拋物線的方程為y2＝4x. (2)設AB的方程為x＝my＋3，由 得y2－4my－12＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4m，y1y2＝－12， ∴|y1－y2|＝＝， ∴S△ABF＝|FD||y1|＋|FD||y2|＝|y1|＋|y2| ＝|y1－y2|＝≥4， ∴當m＝0時，S△ABF取得最小值4. 14.如圖，過拋物線x2＝4y焦點的直線依次交拋物線和圓x2＋(y－1)2＝1于點A，B，C，D，則|AB||CD|的值是(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 考點　拋物線的定義 題點　由拋物線定義求距離 答案　D 解析　方法一　特殊化(只要考查直線y＝1時的情形)． 方法二　拋物線焦點為F(0,1)， 由題意知，直線的斜率存在， 設直線為y＝kx＋1， 與x2＝4y聯(lián)立得y2－(4k2＋2)y＋1＝0， 由于|AB|＝|AF|－1＝y(tǒng)A，|CD|＝|DF|－1＝y(tǒng)D， 所以|AB||CD|＝y(tǒng)AyD＝1. 15．在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A，B兩點． (1)如果直線l過拋物線的焦點，求的值； (2)如果＝－4，證明直線l必過一定點，并求出該定點． 考點　直線與拋物線的位置關系 題點　直線與拋物線相交時的其他問題 解　(1)由題意知，拋物線的焦點為(1,0)， 設l：x＝ty＋1，代入拋物線方程y2＝4x， 消去x，得y2－4ty－4＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4. 所以＝x1x2＋y1y2 ＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2 ＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2 ＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3. (2)設l：x＝ty＋b，代入拋物線y2＝4x， 消去x，得y2－4ty－4b＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b. 因為＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b， 又＝－4，∴b2－4b＝－4， 解得b＝2，故直線l過定點(2,0)．