2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx
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第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 復(fù)習(xí)課 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.梳理數(shù)學(xué)歸納法的思想方法，初步形成“歸納—猜想—證明”的思維模式.2.熟練掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式、等式等問題的證明步驟． 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是用有限個(gè)步驟，就能夠處理完無限多個(gè)對(duì)象的方法． 2．一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟： (1)證明當(dāng)n＝n0時(shí)命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋且k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．完成以上兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)不小于n0的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法． 3．在數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟中，第一步是奠基，第二步是假設(shè)與遞推，遞推是實(shí)現(xiàn)從有限到無限飛躍的關(guān)鍵． 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，關(guān)鍵是在假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥n0)時(shí)命題成立的條件下，推出當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題成立這一步，為完成這步證明，不僅要正確使用歸納假設(shè)，還要用到分析法，綜合法，放縮法等相關(guān)知識(shí)和方法． 類型一 歸納—猜想—證明 例1 已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N＋)． (1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達(dá)式； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項(xiàng)公式． (1)解 a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10， a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20， 猜想an＝ (2)證明?、佼?dāng)n＝2時(shí)，a2＝522－2＝5，公式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)成立， 即ak＝52k－2(k≥2，k∈N＋)， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由已知條件和假設(shè)有 ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak ＝5＋5＋10＋…＋52k－2 ＝5＋＝52k－1. 故當(dāng)n＝k＋1時(shí)公式也成立． 由①②可知，對(duì)n≥2，n∈N＋有an＝52n－2. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝ 反思與感悟 利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路是：觀察——?dú)w納——猜想——證明．即先通過觀察部分項(xiàng)的特點(diǎn)，進(jìn)行歸納，判斷并猜想出一般結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明． 跟蹤訓(xùn)練1 設(shè)f(n)＞0(n∈N＋)，對(duì)任意自然數(shù)n1和n2總有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，又f(2)＝4. (1)求f(1)，f(3)的值； (2)猜想f(n)的表達(dá)式，并證明你的猜想． 解 (1)由于對(duì)任意自然數(shù)n1和n2， 總有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)． 取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)f(1)，即f2(1)＝4. ∵f(n)＞0(n∈N＋)， ∴f(1)＝2. 取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23. (2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23， 猜想f(n)＝2n. 證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝2成立． ②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，f(k)＝2k成立． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝f(k)f(1)＝2k2＝2k＋1， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想也成立． 由①②知猜想正確，即f(n)＝2n，n∈N＋. 類型二 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式或不等式 例2 求證tanαtan2α＋tan2αtan3α＋…＋tan(n－1)αtannα＝－n(n≥2，n∈N＋)． 證明 (1)當(dāng)n＝2時(shí)， 左邊＝tanαtan2α， 右邊＝－2＝－2 ＝－2 ＝＝ ＝tanαtan2α，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)等式成立，即 tanαtan2α＋tan2αtan3α＋…＋tan(k－1)αtankα＝－k. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， tanαtan2α＋tan2αtan3α＋…＋tan(k－1)αtankα＋tankαtan(k＋1)α ＝－k＋tankαtan(k＋1)α ＝－k ＝[1＋tan(k＋1)αtan α]－k ＝[tan(k＋1)α－tan α]－k ＝－(k＋1)， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由(1)和(2)知，當(dāng)n≥2，n∈N＋時(shí)等式恒成立． 反思與感悟 歸納法是證明有關(guān)正整數(shù)n的命題的一種方法，應(yīng)用廣泛．用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)命題必須分兩個(gè)步驟：(1)論證命題的起始正確性，是歸納的基礎(chǔ)；(2)推證命題正確的可傳遞性，是遞推的依據(jù)．兩步缺一不可，證明步驟與格式的規(guī)范是數(shù)學(xué)歸納法的一個(gè)特征． 跟蹤訓(xùn)練2 用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N＋時(shí)，(2cosx－1)(2cos2x－1)…(2cos2n－1x－1)＝. 證明 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝2cosx－1， 右邊＝＝＝2cosx－1， 即左邊＝右邊，∴命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，命題成立， 即(2cosx－1)(2cos2x－1)…(2cos2k－1x－1)＝. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左邊＝(2cosx－1)(2cos2x－1)…(2cos2k－1x－1)(2cos2kx－1) ＝(2cos2kx－1) ＝ ＝. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題成立． 由(1)(2)可知，當(dāng)n∈N＋時(shí)命題成立． 例3 用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋＋…＋>，其中n≥2，n∈N＋. 證明 (1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝，右邊＝0，結(jié)論成立； (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)，結(jié)論成立， 即＋＋＋…＋>， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左邊＝＋＋＋…＋＋＋…＋>＋＋…＋>＋＝， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立． 由(1)(2)可知，＋＋＋…＋>，n≥2，n∈N＋. 反思與感悟 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，除了注意數(shù)學(xué)歸納法規(guī)范的格式外，還要注意靈活利用問題的其他條件及相關(guān)知識(shí)． 跟蹤訓(xùn)練3 求證：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N＋)． 證明 (1)當(dāng)n＝2時(shí)， 左邊＝＋＋＋＞，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)，命題成立， 即＋＋…＋＞. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋…＋＋＋＋ ＝＋＋…＋＋ ＞＋ ＞＋＝. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由(1)(2)可知，原不等式對(duì)一切n≥2，n∈N＋均成立． 類型三 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題 例4 用數(shù)學(xué)歸納法證明：n(n＋1)(2n＋1)能被6整除． 證明 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，123顯然能被6整除． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，命題成立， 即k(k＋1)(2k＋1)＝2k3＋3k2＋k能被6整除． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， (k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝2k3＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1)． 因?yàn)?k3＋3k2＋k,6(k2＋2k＋1)都能被6整除， 所以2k3＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1)能被6整除， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題成立． 由(1)和(2)知，對(duì)任意n∈N＋原命題成立． 反思與感悟 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵點(diǎn) (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵是利用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)、并項(xiàng)、因式分解等恒等變形的方法去湊假設(shè)、湊結(jié)論，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證． (2)與n有關(guān)的整除問題一般都用數(shù)學(xué)歸納法證明，其中關(guān)鍵問題是從n＝k＋1時(shí)的表達(dá)式中分解出n＝k時(shí)的表達(dá)式與一個(gè)含除式的因式或幾個(gè)含除式的因式． 跟蹤訓(xùn)練4 設(shè)x∈N＋，n∈N＋， 求證：xn＋2＋(x＋1)2n＋1能被x2＋x＋1整除． 證明 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，x3＋(x＋1)3＝[x＋(x＋1)][x2－x(x＋1)＋(x＋1)2]＝(2x＋1)(x2＋x＋1)，結(jié)論成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，結(jié)論成立，即xk＋2＋(x＋1)2k＋1能被x2＋x＋1整除， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， x(k＋1)＋2＋(x＋1)2(k＋1)＋1 ＝xxk＋2＋(x＋1)2(x＋1)2k＋1 ＝x[xk＋2＋(x＋1)2k＋1]＋(x＋1)2(x＋1)2k＋1－x(x＋1)2k＋1 ＝x[xk＋2＋(x＋1)2k＋1]＋(x2＋x＋1)(x＋1)2k＋1. 由假設(shè)知，xk＋2＋(x＋1)2k＋1及x2＋x＋1均能被x2＋x＋1整除，故x(k＋1)＋2＋(x＋1)2(k＋1)＋1能被x2＋x＋1整除，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立． 由(1)(2)知，原結(jié)論成立． 1．某同學(xué)回答“用數(shù)學(xué)歸納法證明下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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