八年級數(shù)學(xué)下冊11反比例函數(shù)素材（打包63套）新蘇科版.zip,年級,數(shù)學(xué),下冊,11,反比例,函數(shù),素材,打包,63,新蘇科版 中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)研究 1．數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的心理學(xué)意義　　 美國心理學(xué)家布魯納認為，“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)．”所謂基本結(jié)構(gòu)就是指“基本的、統(tǒng)一的觀點，或者是一般的、基本的原理．”“學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的．”數(shù)學(xué)思想與方法為數(shù)學(xué)學(xué)科的一般原理的重要組成部分．下面從布魯納的基本結(jié)構(gòu)學(xué)說中來看數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)所具有的重要意義．　　 第一，“懂得基本原理使得學(xué)科更容易理解”．心理學(xué)認為“由于認知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)觀念在包攝和概括水平上高于新學(xué)習(xí)的知識，因而新知識與舊知識所構(gòu)成的這種類屬關(guān)系又可稱為下位關(guān)系，這種學(xué)習(xí)便稱為下位學(xué)習(xí)．“當學(xué)生掌握了一些數(shù)學(xué)思想、方法，再去學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，就屬于下位學(xué)習(xí)了．下位學(xué)習(xí)所學(xué)知識“具有足夠的穩(wěn)定性，有利于牢固地固定新學(xué)習(xí)的意義，”即使新知識能夠較順利地納入到學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)中去．學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)思想、方法就能夠更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容．　　 第二，有利于記憶．布魯納認為，“除非把一件件事情放進構(gòu)造得好的模型里面，否則很快就會忘記．”“學(xué)習(xí)基本原理的目的，就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們在需要的時候得以把一件件事情重新構(gòu)思起來．高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解現(xiàn)象的工具，而且也是明天用以回憶那個現(xiàn)象的工具．”由此可見，數(shù)學(xué)思想、方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的．無怪乎有人認為，對于中學(xué)生“不管他們將來從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終生．” 第三，學(xué)習(xí)基本原理有利于“原理和態(tài)度的遷移”．布魯納認為，“這種類型的遷移應(yīng)該是教育過程的核心--用基本的和一般的觀念來不斷擴大和加深知識．”曹才翰教授也認為，“如果學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中具有較高抽象、概括水平的觀念，對于新學(xué)習(xí)是有利的，”“只有概括的、鞏固的和清晰的知識才能實現(xiàn)遷移．”美國心理學(xué)家賈德通過實驗證明，“學(xué)習(xí)遷移的發(fā)生應(yīng)有一個先決條件，就是學(xué)生需先掌握原理，形成類比，才能遷移到具體的類似學(xué)習(xí)中．”學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想、方法有利于實現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移，特別是原理和態(tài)度的遷移，從而可以較快地提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和數(shù)學(xué)能力．　　 第四，強調(diào)結(jié)構(gòu)和原理的學(xué)習(xí)，“能夠縮挾高級‘知識’和‘初級'知識之間的間隙．”一般地講，初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的界限還是比較清楚的，特別是中學(xué)數(shù)學(xué)的許多具體內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)中不再出現(xiàn)了，有些術(shù)語如方程、函數(shù)等在高等數(shù)學(xué)中要賦予它們以新的涵義．而在高等數(shù)學(xué)中幾乎全部保留下來的只有中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法以及與其關(guān)系密切的內(nèi)容，如集合、對應(yīng)等．因此，數(shù)學(xué)思想、方法是聯(lián)結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一條紅線． 2．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的層次　　 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容從總體上可以分為兩個層次：一個稱為表層知識，另一個稱為深層知識．表層知識包括概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)的基本知識和基本技能，深層知識主要指數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法．　　 表層知識是深層知識的基礎(chǔ)，是教學(xué)大綱中明確規(guī)定的，教材中明確給出的，以及具有較強操作性的知識．學(xué)生只有通過對教材的學(xué)習(xí)，在掌握和理解了一定的表層知識后，才能進一步的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟相關(guān)的深層知識．　　 深層知識蘊含于表層知識之中，是數(shù)學(xué)的精髓，它支撐和統(tǒng)帥著表層知識．教師必須在講授表層知識的過程中不斷地滲透相關(guān)的深層知識，讓學(xué)生在掌握表層知識的同時，領(lǐng)悟到深層知識，才能使學(xué)生的表層知識達到一個質(zhì)的“飛躍”，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)超脫“題?！敝?，使其更富有朝氣和創(chuàng)造性．　　 那種只重視講授表層知識，而不注重滲透數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)，是不完備的教學(xué)，它不利于學(xué)生對所學(xué)知識的真正理解和掌握，使學(xué)生的知識水平永遠停留在一個初級階段，難以提高；反之，如果單純強調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，而忽略表層知識的教學(xué)，就會使教學(xué)流于形式，成為無源之水，無本之木，學(xué)生也難以領(lǐng)略到深層知識的真諦．因此，數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)應(yīng)與整個表層知識的講授融為一體，使學(xué)生逐步掌握有關(guān)的深層知識，提高數(shù)學(xué)能力，形成良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)． 3．中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想和方法　　 數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的根本想法，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認識．由于中學(xué)生認知能力和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的限制，只能將部分重要的數(shù)學(xué)思想落實到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，而對有些數(shù)學(xué)思想不宜要求過高．我們認為，在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)思想主要有三個：集合思想、化歸思想和對應(yīng)思想．其理由是：（1）這三個思想幾乎包攝了全部中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容；（2）符合中學(xué)生的思維能力及他們的實際生活經(jīng)驗，易于被他們理解和掌握；（3）在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運用這些思想分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的機會比較多；（4）掌握這些思想可以為進一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下較好的基礎(chǔ)． 此外，符號化思想、公理化思想以及極限思想等在中學(xué)數(shù)學(xué)中也不同程度地有所體現(xiàn)，應(yīng)依據(jù)具體情況在教學(xué)中予以滲透．　　 數(shù)學(xué)方法是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的策略，這些策略與人們的數(shù)學(xué)知識，經(jīng)驗以及數(shù)學(xué)思想掌握情況密切相關(guān)．從有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)出發(fā)，本著數(shù)量不宜過多原則，我們認為目前應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)方法有：數(shù)學(xué)模型法、數(shù)形結(jié)合法、變換法、函數(shù)法和類分法等．一般講，中學(xué)數(shù)學(xué)中分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的活動是在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下，運用數(shù)學(xué)方法，通過一系列數(shù)學(xué)技能操作來完成的． 4．數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)模式　　 數(shù)學(xué)表層知識與深層知識具有相輔相成的關(guān)系，這就決定了他們在教學(xué)中的辯證統(tǒng)一性．基于上述認識，我們給出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一個教學(xué)模式： 操作——掌握——領(lǐng)悟．　　 對此模式作如下說明：（1）數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)要求教師較好地掌握有關(guān)的深層知識，以保證在教學(xué)過程中有明確的教學(xué)目的；（2）“操作”是指表層知識教學(xué)，即基本知識與技能的教學(xué)．“操作”是數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)的基礎(chǔ)；（3）“掌握”是指在表層知識教學(xué)過程中，學(xué)生對表層知識的掌握．學(xué)生掌握了一定量的數(shù)學(xué)表層知識，是學(xué)生能夠接受相關(guān)深層知識的前提；（4）“領(lǐng)悟”是指在教師引導(dǎo)下，學(xué)生對掌握的有關(guān)表層知識的認識深化，即對蘊于其中的數(shù)學(xué)思想、方法有所悟，有所體會；（5）數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)是循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過程，往往是幾種數(shù)學(xué)思想、方法交織在一起，在教學(xué)過程中依據(jù)具體情況在一段時間內(nèi)突出滲透與明確一種數(shù)學(xué)思想或方法，效果可能更好些． 3 什么是反比例函數(shù)？ 難易度：★★★ 關(guān)鍵詞：反比例函數(shù) 答案： 形如y=（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。其中x是自變量，y是函數(shù)，自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)。 【舉一反三】 典例：函數(shù)y= 是（　?。? ?A、一次函數(shù)? B、二次函數(shù)? C、反比例函數(shù)? D、正比例函數(shù) 思路導(dǎo)引：根據(jù)反比例函數(shù)的定義，對形如 y=（k≠0且k為常數(shù)）的式子確定為反比例函數(shù)．∵y=符合反比例函數(shù)的表達式 y=（k≠0且k為常數(shù)）， ∴函數(shù)y=是反比例函數(shù)．故選C． 標準答案：C 1 函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位 顯然函數(shù)是整個中學(xué)乃至大學(xué)的一個重點內(nèi)容．函數(shù)的思想貫穿了整個中學(xué)、大學(xué)，具有極其廣泛的應(yīng)用價值．中學(xué)階段主要學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、反函數(shù)、三角函數(shù)形式等，其中的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)在目前的教材中安排在初中，也起了一種承上啟下的作用．對它們學(xué)習(xí)的好壞，直接關(guān)系著高中繼續(xù)學(xué)習(xí)的難易程度問題，而本文將主要從同學(xué)感興趣的幾個方面入手，結(jié)合日常教學(xué)經(jīng)驗，談?wù)労瘮?shù)的一些簡單的應(yīng)用，作為同學(xué)對課本知識的補充，以達到培養(yǎng)能力，形成素質(zhì)之目的．函數(shù)從一開始產(chǎn)生，就具有其深厚的經(jīng)濟背景及教學(xué)背景．在此向讀者介紹一下其經(jīng)濟背景： 17世紀的歐洲是一個經(jīng)濟迅速增長的時代．經(jīng)濟的增長依靠機器的采用和改進；而機器的發(fā)明和改進則需要科學(xué)的技術(shù)的先進為其后盾，于是，一個科技進步與經(jīng)濟增長的良性循環(huán)出現(xiàn)了．循環(huán)的始端在經(jīng)濟中．當時主要的部門有采掘、紡織、航海、造船、軍械以及交通運輸業(yè)．例如，航海業(yè)，在其發(fā)展中提出了如何精確地測量經(jīng)緯度問題；航海業(yè)又促進了造船業(yè)，造船業(yè)又向數(shù)學(xué)提出了描繪船體部位的各種形狀、風(fēng)帆的樣式，以及船體在介質(zhì)中的運動問題．煤炭作為主要燃料被采用，使采掘業(yè)成了當時最重要的經(jīng)濟部門，這也提出了與通風(fēng)、排水和輸送等有關(guān)的數(shù)學(xué)問題．其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，如流體力學(xué)和一般動力學(xué)，也需要數(shù)學(xué)的幫助． 為了追求軍事和商業(yè)上的霸權(quán)地位，軍事技術(shù)也得以發(fā)展．于是彈道學(xué)變得重要起來，其中內(nèi)彈道學(xué)研究火藥火炮的關(guān)系和計算，外彈道學(xué)則研究炮彈運動與軌道發(fā)射速度、空氣阻力之間的關(guān)系等等．總之，雖然不明顯存在促成變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的實際問題，但是促成變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的經(jīng)濟以及其他的社會需求是存在的．即使在現(xiàn)實的問題中亦有眾多的應(yīng)用函數(shù)的實例．例如，問題1：某商人如果將進貨單價為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件．現(xiàn)在他采用提高售出價，減少進貨量的辦法增加利潤．已知道這種商品每漲1元，其銷售量就要減少10件．問他將售出價定為多少元時，才能使每天所賺利潤最大，用圖像直觀地給以說明，并指出最大利潤是多少． 問題2：某公園的門票每位10元，20以上（含20人）的團體票8折優(yōu)惠．當不是20人時，多少人買20人的團體票才比較便宜？ 顯然以上兩個問題的解決均離不開函數(shù)的有關(guān)知識．事實上，在市場經(jīng)營、生產(chǎn)決策和社會生活中，諸如估計生產(chǎn)數(shù)量，核定價格范圍、盈虧平衡分析、投資決策等方面，都離不開函數(shù)，親愛的小讀者，以上兩例說明我們以往課本上所學(xué)來的知識絕對不是孤立的，而是和現(xiàn)實生活緊密相關(guān)，你只有學(xué)好它們，將來走上社會才能有用武之地呀！ 1 反比例函數(shù)常見的表達形式有哪些？ 難易度：★★★★ 關(guān)鍵詞：反比例函數(shù) 答案： 反比例函數(shù)y=中的是一個分式,自變量x≠0,函數(shù)與x軸、y軸無交點, y=也可寫成xy=k或y=kx-1(k為常數(shù)，且k≠0),注意自變量x的指數(shù)為-1。 【舉一反三】 典例：已知y是x的反比例函數(shù)，當x=2時，y=6（1）、寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式：（2）求當x=4時，y的值。 思路導(dǎo)引：因為y是x的反比例函數(shù)，所以，再把x=2和y=6代入上式就可求出常數(shù)k的值。（1）設(shè)，因為x=2時，y=6,所以有解得k=12因此（2）把x=4代入，得 標準答案：（1）?； （2）。 1 反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義是什么？ 難易度：★★★★ 關(guān)鍵詞：反比例函數(shù) 答案： 在反比例函數(shù)y=圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|。在反比例函數(shù)的圖象上任意一點象坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構(gòu)成的三角形的面積是，且保持不變。 【舉一反三】 典例：設(shè)P是函數(shù) y=在第一象限的圖象上任意一點，點P關(guān)于原點的對稱點為P′，過P作PA平行于y軸，過P′作P′A平行于x軸，PA與P′A交于A點，則△PAP′的面積（　?。? ? A、等于2? B、等于4? C、等于8? D、隨P點的變化而變化 思路導(dǎo)引：設(shè)P的坐標為（m，n），因為點P關(guān)于原點的對稱點為P′，P ′的坐標為（-m，-n）；因為P與A關(guān)于x軸對稱，故A的坐標為（m，-n）；而mn=4，則△PAP′的面積為 ?PA?P′A=2 mn=8 ．設(shè)P的坐標為（m，n），∵P是函數(shù) y=在第一象限的圖象上任意一點，∴m?n=4．∵點P關(guān)于原點的對稱點為P′，∴P '的坐標為（-m，-n）；∵P與A關(guān)于x軸對稱，∴A的坐標為（m，-n）；∴△PAP'的面積= ?PA?P′A=2 mn=8 ．故選C． 標準答案：C 1 反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)是什么？ 難易度：★★★★ 關(guān)鍵詞：反比例函數(shù) 答案： 反比例函數(shù)的圖象是雙曲線。 k的符號 k＞0 k＜0 圖像的大致位置 ? ? 經(jīng)過象限 第一、三象限 第二、四象限 性質(zhì) 在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減少； 在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大。 【舉一反三】 典例：若反比例函數(shù)的圖象在其每個象限內(nèi),y隨x的增大而減小,則k的值可以是（??? ） A.－1??????????????????? B.3??????????????? C.0??????????????? D.－3 思路導(dǎo)引：根據(jù)反比例函數(shù)的圖像的性質(zhì)，當k＞0時，反比例函數(shù)的圖像在一三象限，y隨x的增大而減少。所以k-1＞0，所以k＞1.答案只能選B。 標準答案：B 1 反比例函數(shù)的概念需注意什么？ 難易度：★★★ 關(guān)鍵詞：反比例函數(shù) 答案： ?(1)k為常數(shù)，k≠0；（2）中分母x的指數(shù)為1；例如y= 就不是反比例函數(shù)；(3)自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數(shù)；（4）因變量y的取值范圍是y≠0的一切實數(shù)． 【舉一反三】 典例：8、下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的為（　?。? ?A、y=2x+1? B、y= ??C、y= ??D、2y=x 思路導(dǎo)引：根據(jù)反比例函數(shù)的定義，解析式符合 y=（k≠0）這一形式的為反比例函數(shù)． A、是一次函數(shù)，錯誤；B、不是反比例函數(shù)，錯誤；C、符合反比例函數(shù)的定義，正確；D、是正比例函數(shù)，錯誤．故選C． 標準答案：C 1 如何判斷一個函數(shù)是不是反比例函數(shù)？ 難易度：★★★ 關(guān)鍵詞：反比例函數(shù) 答案： 判斷一個函數(shù)是否是反比例函數(shù)，首先看看兩個變量是否具有反比例關(guān)系，然后根據(jù)反比例函數(shù)的意義去判斷，其形式為y=（k為常數(shù)，k≠0）或y=k-1 x（k為常數(shù)，k≠0）。 【舉一反三】 典例：下面的函數(shù)是反比例函數(shù)的是（　?。? ?A、y=3x+1? B、y=x2+2x? C、 y=? D、 y=? 思路導(dǎo)引：一般地，如果兩個變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y=或y=kx-1（k為常數(shù)，k≠0）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)． A、是一次函數(shù)，錯誤；B、是二次函數(shù)，錯誤；C、是一次函數(shù)，錯誤；D、是反比例函數(shù)，正確．故選D． 標準答案：D 1 如何判斷反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題？ 難易度：★★★ 關(guān)鍵詞：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題 答案： 求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點。 【舉一反三】 典例：已知一次函數(shù)y=kx-1的圖象與反比例函數(shù) y=的圖象的一個交點坐標為（2，1），那么另一個交點的坐標是（　?。? ?A、（-2，1）? B、（-1，-2）? C、（2，-1）? D、（-1，2） 思路導(dǎo)引：把交點坐標代入一次函數(shù)可求得一次函數(shù)的解析式，讓一次函數(shù)解析式與反比例函數(shù)解析式組成方程組即可求得另一交點的坐標．∵（2，1）在一次函數(shù)解析式上，∴1=2k-1， 解得k=1，y=x-1，與反比例函數(shù)聯(lián)立得：；解得x=2，y=1；或x=-1，y=-2．故選B． 標準答案：B 1 如何在數(shù)軸上表示不等式的解集？ 難易度：★★★ 關(guān)鍵詞：反比例函數(shù) 答案： 用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：一是定界點，一般在數(shù)軸上只標出原點和界點即可。定邊界點時要注意， 點是實心還是空心， 若邊界點含于解集為實心點， 不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”。 【舉一反三】 典例：如圖所示，反比例函數(shù)y1與正比例函數(shù)y2的圖象的一個交點坐標是A（2，1），若y2＞y1＞0，則x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（　?。? A、 B、C、D、 ? 思路導(dǎo)引：根據(jù)反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)正比例函數(shù)的圖象性質(zhì)可知．當y2＞y1＞0時，在第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)y1在正比例函數(shù)y2的下方，從而求出x的取值范圍．根據(jù)圖象可知當y2＞y1＞0時，x＞2．故選D． 標準答案：D 1 如何求反比例函數(shù)自變量的取值范圍？ 難易度：★★★★ 關(guān)鍵詞：反比例函數(shù) 答案： 自變量的取值范圍必須使含有自變量的表達式都有意義。當表達式的分母中含有自變量時，自變量取值要使分母不為零。當函數(shù)的表達式是偶次根式時，自變量的取值范圍必須使被開方數(shù)不小于零。對于實際問題中的函數(shù)關(guān)系式，自變量的取值除必須使表達式有意義外，還要保證實際問題有意義。 【舉一反三】 典例：在函數(shù) y=中，自變量x的取值范圍是（　?。? ?A、x≠0? B、x＞0? C、x＜0? D、一切實數(shù) 思路導(dǎo)引：此題對函數(shù)y=中x的取值范圍的求解可轉(zhuǎn)化為使分式有意義，分式的分母不能為0．x在分母上，不能為0．在函數(shù) y=中，自變量x的取值范圍是x≠0．故選A． 標準答案：A 1 生活中的反比例 德國物理學(xué)家歐姆最先用實驗研究了電流和電壓、電阻的關(guān)系：即在電壓一定的情況下，電流強度和電阻成反比。這就是著名的歐姆定律。它雖是一條物理公式，卻也能反映出生活中的許多現(xiàn)象。 所謂反比例是指兩個量，一個增大到原來的若干倍，另一個則減小為原來若干分之一。生活中常聽人打趣地說：“疾病像彈簧，你硬它就強?！蔽蚁脒@就是一個生活中的反比例：你是個現(xiàn)實中的人，面對疾病時，你的意志和疾病就構(gòu)成了一對反比例。病魔無情地侵入你體內(nèi)，如果你從此唉聲嘆氣、憂心忡忡，病魔就會變得肆無忌憚，從此日益囂張，而你呢，就會漸漸地被折磨得不成樣子。但，也有相反的情況。曾聽一位朋友說，一位年過半百的老人被確診為癌癥晚期后，家人整日提心吊膽，而他本人卻跟個沒事兒人似的，仍是精神矍鑠，可以說精氣神“不減從前”。于是奇跡出現(xiàn)了，癌細胞居然從他體內(nèi)消失了。我想戰(zhàn)勝病魔的重要因素就是要有良好的精神狀態(tài)、必勝的信心，這樣你才能將疾病這根彈簧壓縮到最短。 其實這種反比例關(guān)系不僅對疾病如此，面對困難，面對失敗亦如此。當你失意的時候，當你感到無助的時候，如果你挺直脊梁站起來，與你的“敵人”斗到底，你會發(fā)現(xiàn)，原來自己可以爆發(fā)出如此大的力量，甚至連你自己都難以相信。而以前被你視為巨大無比的困難也不過如此，脆弱得不堪一擊。此時歐姆定律中的反比例也就被體現(xiàn)得淋漓盡致。困難、失敗這些“電阻”也許一時會很強大，你信念的“電流”也許難以通過；此時，別灰心，別后退，如果你真正懂得反比例這個此消彼長的關(guān)系，就一定會堅定自己的信念，一定會使“電流”順利通過。 反比例的關(guān)系處處存在，小至一個人，大至一個國家、一個民族都適用。中國近代的發(fā)展史就是一個很好的證明。舊中國的落后、衰弱使得帝國主義的氣焰十分囂張，但隨著中國的發(fā)展、壯大，西方列強已不再輕視中國了。我想，隨著中國在國際上的政治地位、經(jīng)濟地位的進一步提高，她必將成為真正的雄獅踞在東方。 反比例普遍存在于社會生活的各個方面，懂得了這個道理，就能使我們堅定追求理想的信念，而不至于被困難絆倒，無力爬起；懂得了這個道理，就會使我們更準確地抓住事物的本質(zhì)，朝著更明確的目標前進。 1 正比例和反比例的異同 　　相同點： 　　(1)正、反比例研究的都是兩種變量，即都是兩種相關(guān)聯(lián)的量. 　　(2)兩種相關(guān)聯(lián)的量是成倍數(shù)的變化(即乘、除關(guān)系)，而不是增加或減少(加、減關(guān)系). 不同點： 　　正比例是兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值(也就是商)一定； 　　反比例是兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定. 1 補充題 一個矩形的面積為20cm2 相鄰的兩條邊長分別為xcm和ycm 那么變量y是變量x的函數(shù)嗎 是反比例函數(shù)嗎 為什么 變量y是變量x的函數(shù) 且y是x的反比例函數(shù) 因為矩形的面積是固定的 所以y和x成反比例關(guān)系 函數(shù)表達式為 重視函數(shù)中蘊涵的重要數(shù)學(xué)思想 無論從一次函數(shù)到反比例函數(shù)，再到以后的二次函數(shù)，甚至高中的其他各類函數(shù)，都是函數(shù)的某種具體形式，都是為近一步深刻領(lǐng)會函數(shù)的內(nèi)涵提供了一個平臺．隨著學(xué)習(xí)的函數(shù)類型的增多，學(xué)生對函數(shù)內(nèi)涵的理解也會逐步提高．可以說對函數(shù)內(nèi)涵的理解是一個漸進的過程，需要較長的時間． 　　對于一個具體的反比例函數(shù)來說，它有其自身的獨特性質(zhì)，但其中蘊涵的變化與對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想是具有普遍性的．在教學(xué)時，尤其要注意在這種數(shù)學(xué)思想的滲透方面下功夫． 　　通過對圖像的研究和分析可以確定函數(shù)本身的性質(zhì)，這體現(xiàn)的是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中最重要的思想之一．而數(shù)形結(jié)合的思想早在學(xué)習(xí)數(shù)軸、平面直角坐標系時就已經(jīng)學(xué)習(xí)到了．結(jié)合本章內(nèi)容可以進一步對數(shù)形結(jié)合的思想方法順其自然地理解，并逐步加以靈活運用，發(fā)揮從數(shù)和形兩個方面共同分析解決問題的優(yōu)勢． 　　教學(xué)過程中，可以安排較多的通過圖像分析函數(shù)解析式、通過函數(shù)解析式分析圖像的題目，這體現(xiàn)的既是數(shù)形結(jié)合思想，也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．深刻領(lǐng)會函數(shù)解析式與函數(shù)圖像之間的聯(lián)系，突出兩者間的轉(zhuǎn)化對分析解決問題的特殊作用． 　　突出變化與對應(yīng)的思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想是本章教學(xué)的重要任務(wù)．一些具體的數(shù)學(xué)知識對學(xué)生的影響也許是短暫的，但一些重要的數(shù)學(xué)思想方法必將會使學(xué)生終身受益． 1 “K”的絕對“權(quán)威性” 在反比例函數(shù)中，別小看反比例函數(shù)y=(k≠0) 的系數(shù)k，它可是絕對的權(quán)威，反比例函數(shù)的性質(zhì)、圖像都是由它說了算. 一、對0的制約 因為在反比例函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=(k≠0)中，k≠0，所以在確定k的值時，應(yīng)注意考慮k≠0. 例1若函數(shù)y=(m－2)xm2－5是反比例函數(shù)，則m的值為（ ） A.±2 B.2 C.－2 D.小于2的實數(shù) 解析：本題中m－2就相當于函數(shù)關(guān)系式中的k，因為m－2≠0，m2－5=－1，所以m=－2.故本題應(yīng)選C. 二、決定雙曲線所在的象限 反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖像是雙曲線，當k＞0，反比例函數(shù)分部在第一、三象限；當k＜0，反比例函數(shù)分部在第二、四象限. 例2如果點A（x1，y1）和點B（x2，y2）是直線y=kx－b上的兩點，且當x1＜x2時，y1＜y2，那么函數(shù)y=的圖像大致是（ ） y x O y x O y x O y x O A． B． C． D． 解析：本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì).因為當x1＜x2時，y1＜y2，所以一次函數(shù)y隨x的增大而增大，所以k＞0.根據(jù)反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì)，當k＞0時，反比例函數(shù)y=的圖像經(jīng)過一、三象限，故本題應(yīng)選B. 三、決定反比例函數(shù)的增減性 反比例函數(shù)y=(k≠0)隨自變量x變化的增減性由k的大小來決定：當k＞0時，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當k＜0時，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大. 例3在函數(shù)y=的圖像上有三個點的坐標分別為（1，y1）、（，y2）、（－2，），函數(shù)值y1、y2、y3的大小關(guān)系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 解析：數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法，作出雙曲線的大致圖像，易知本題應(yīng)選D. 四、決定橫縱坐標的乘積 反比例函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=可變形為xy=k.因此，盡管y隨自變量x不斷變化，但兩者的乘積不變，始終等于k. 例4若點(2，6)是反比例函數(shù)y=圖像上的一點，則此函數(shù)圖像一定經(jīng)過（ ） A．(3，－4) B．(3， 4) C．(－3， 4) D．(2，－6) 解析：本題可先求出k的值，再判斷四個選項中只有選項B符合要求點，所以本題應(yīng)選B. 五、決定圖形的面積 過雙曲線y=(k≠0)上任一點分別作兩坐標軸的垂線，它們與坐標軸圍成的矩形的面積為. 例5已知點P在函數(shù)y= (x＞0)的圖像上，PA⊥x軸、PB⊥y軸，垂足分別為A、B，則矩形OAPB的面積為__________． 解析：根據(jù)圖像的性質(zhì)可得，矩形OAPB的面積為8. 2 你認為作反比例函數(shù)圖像時應(yīng)注意哪些問題 與同伴進行交流 1 列表時 選取的自變量的值既要易于計算又要便于描點 盡量多取一些數(shù)值 取互為相反數(shù)的一對一對的數(shù) 多描一些點 這樣既可以方便連線 又可以使圖象精確 2 描點時要嚴格按照表中所列的對應(yīng)值描點 絕對不能把點的位置描錯 3 一定要按自變量從小到大的順序依次畫線 連線時必須用光滑的曲線連接各點 不能用折線連接 4 圖像是延伸的 注意不要畫成有明確端點 5 曲線的發(fā)展趨勢只能靠近坐標軸 但不能和坐標軸相交 利用反比例函數(shù)的圖像解題 對于一些函數(shù)題，直接求解，困難繁瑣，如果畫出函數(shù)的大致圖像，選取符合條件的某些點，數(shù)形結(jié)合，研究分析，那么不但容易求解，而且直觀簡捷，現(xiàn)舉幾例說明如下： 0 x y 例1．在函數(shù)（k＞0）的圖像上有三點A（，）、A（，）、 A（，），已知＜＜0＜，則下列各式中， 正確的是（ ） A．＜0＜ B．＜0＜ C．＜＜ D．＜＜ 析解：由題意畫出（k＞0）的草圖，再根據(jù)＜＜0＜的條件，找出、、，顯然＜＜，故應(yīng)選C． 例2．已知反比例函數(shù)（k＜0）圖像上有兩點A（，）、B（，）且＜，則-的值是（ ） A．正數(shù)　 B．負數(shù) C．非負數(shù) D．不能確定 析解：分三種情形作圖求解 0 x y 0 x y 0 x y （1）若＜＜0如圖1，有＜，-＜0，即-是負數(shù)； （2）若＜0＜如圖1，有＞，-＞0，即-是正數(shù)； （3）若0＜＜如圖1，有＜，-＜0，即-是負數(shù)． 所以，—的值不確定，應(yīng)選D． 例3.如圖是三個反比例函數(shù)，，在x軸上方的圖像，由此觀察得到，，的大小關(guān)系為（ ） y x Ｏ A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞ 析解：由反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)可估算＜0，＞0，＞0，在x軸上任取一值且＞0，為定值，則有，且＜，如圖，∴＞，故選B． 2 反比例函數(shù)y＝（k≠0）比例系數(shù)k與圖像的關(guān)系 性質(zhì)1：設(shè)y＝（k1＞0），y＝（k2＞0），y＝（k3＞0）的圖像如 圖1所示，則有k1＜k2＜k3，即當k＞0時，反比例函數(shù)的圖像越靠近y軸，k的值越小，越遠離y軸，k的值越大． 性質(zhì)2：設(shè)y＝（k1＜0），y＝（k2＜0），y＝（k3＜0）的圖像如 圖2所示，則有k1＞k2＞k3，但|k1|＜|k2|＜|k3|，即當k＜0時，反比例函數(shù)的圖像越靠近y軸，k的值越大，越遠離y軸，k的值越?。? 1 反比例函數(shù)中k的意義 反比例函數(shù)(k≠0)的比例系數(shù)k的意義，除同學(xué)們熟悉的“當k>0時，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內(nèi)y值隨x的增大而減?。划攌<0時，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內(nèi)y值隨x的增大而增大”外，還有一個非常重要的意義，即過反比例函數(shù)(k≠0)的圖像上任意一點作x軸、y軸的垂線，與兩坐標軸所圍成矩形的面積都等于；過反比例函數(shù)(k≠0)圖像上任意一點作x軸(或y軸)的垂線，且連結(jié)坐標原點，與坐標軸所圍成三角形的面積都等于. 探究1：若P(x，y)為反比例函數(shù)(k≠0)圖像上的任意一點如圖1所示，過P作PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，求矩形PMON的面積. P y x O M N 圖1 分析：S矩形PMON= ∵, ∴ xy=k, ∴ S =. 探究2：若Q(x，y)為反比例函數(shù)(k≠0)圖像上的任意一點如圖2所示，過Q作QA⊥x軸于A(或作QB⊥y軸于B)，連結(jié)QO，則所得三角形的面積為：S△QOA=（或S△QOB=）.（本題由同學(xué)們自己試著說明理由） O B y x A Q 圖2 說明：當k>0時，所圍成的矩形的面積為k，三角形的面積為； 當k<0時，所圍成的矩形的面積為-k，三角形的面積為.以上結(jié)論與點在反比例函數(shù)圖像上的位置無關(guān). 應(yīng)用舉例： 例1 如圖3，在反比例函數(shù)（x＜0）的圖像上任取一點，過點分別作軸、軸的垂線，垂足分別為M、N，那么四邊形的面積為 　　 ． P y M x 0 N 圖3 解：S四邊形PMON=. M y N x O 圖4 例2 反比例函數(shù)的圖像如圖4所示，點M是該函數(shù)圖像上一點，MN⊥x軸，垂足為N.如果S△MON=2，求這個反比例函數(shù)的解析式． 解：∵S△MON==2, ∴=4, ∴k=±4． 又∵雙曲線在第二、第四象限內(nèi)，∴k＜0， ∴k=-4， ∴所求反比例函數(shù)的解析式為． 2 反比例函數(shù)的關(guān)系式 反比例函數(shù)的關(guān)系式中只含有一個待定系數(shù)，所以求關(guān)系式很方便，只需一個條件就能求出關(guān)系式，從而成為學(xué)習(xí)最基本的要求，也成為中考的必考點，本文對反比例函數(shù)關(guān)系式的求法歸類解析． 一、利用點的坐標求關(guān)系式 例1、反比例函數(shù)的圖像過點，試求關(guān)系式． 分析：本題已知點的坐標求函數(shù)的關(guān)系式，可設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式為，把代入求出k，從而求出反比例函數(shù)的關(guān)系式． 解：設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式為（k≠0）把代入得 ∴k= ∴ 點評：待定系數(shù)法是求函數(shù)關(guān)系式最一般的方法，一般方法是先設(shè)出關(guān)系式，然后將條件代入關(guān)系式，列出方程（或方程組），解出待定系數(shù)，最后再代入所設(shè)關(guān)系式，從而求出關(guān)系式。反比例函數(shù)的關(guān)系式比較簡單，只需一個已知點的坐標即可解出． 例2、如圖，正方形的邊長為2，反比例函數(shù)過點，求反比例函數(shù)的關(guān)系式． x y C O A B 圖2 分析：由于正方形的邊長為2，可以得出A的點坐標，從面可用上題的方法求出反比例函數(shù)的關(guān)系式． 解：∵正方形的邊長為2， ∴點A的坐標（－2，2）， 把點A的坐標代入，得k=－4， ∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為： 點評：通過圖形求坐標時，一定要寫對坐標的符號，這是最容易出錯的地方。 二、利用圖形面積求關(guān)系式 例3、如圖3，直線OA與反比例函數(shù)的圖像在第一象限交于A點，AB⊥x軸于點B，△OAB的面積為2，求反比例函數(shù)的關(guān)系式 . 圖3 分析：本題由于△OAB的面積為2，所以可以設(shè)A點的坐標，利用面積公式求出反比例函數(shù)關(guān)系式中的待定系數(shù)k，從而求出反比例函數(shù)的關(guān)系式。 解：設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式為（k≠0） 所以k=x·y 設(shè)A點的坐標為（x，y） ∵△OAB的面積為2 ∴x·y=2 ∴x·y=4 ∴k=4 ∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為： 點評：一般地，像例題中從反比例函數(shù)圖像一點作坐標軸的垂線段，所圍矩形的面積為|k|，所圍三角形面積為|k|，要注意若圖像在二四象限內(nèi)，k為負． 三、實際問題中反比例函數(shù)的關(guān)系式 例4、在一個可以改變體積的密閉容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的二氧化碳，當改變?nèi)萜鞯捏w積時，氣體的密度也會隨之改變，密度（單位：kg/m3）是體積（單位：m3）的反比例函數(shù)，它的圖像如圖3所示，當3時，求氣體的密度． 分析：要求3時氣體的密度，必須求函數(shù)的關(guān)系式由圖像知本題的函數(shù)是反比例函數(shù)，從而可設(shè)，另外從圖像中還可找出一對、的對應(yīng)值，代入可求得關(guān)系式． 解：設(shè) 把v =5，ρ=2代入得 m=10 從而 把v3代入得 ρ=1kg/m3 答：當3時，氣體的密度為1kg/m3 點評：實際問題中的反比例函數(shù)的待定系數(shù)一般為正，若有圖像，我們可以根據(jù)其中一對對應(yīng)點的坐標求出；若無圖像，我們可以根據(jù)量之間關(guān)系求出關(guān)系式． 3 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)新題型 反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，也是歷年各地中考的熱點問題之一。近年來，命題者力舉創(chuàng)新，設(shè)計出許多清新優(yōu)美、題型新課程理念的創(chuàng)新型試題，現(xiàn)舉例如下。 一、結(jié)論開放型 例1、請你寫出一個函數(shù)關(guān)系式，使它滿足下列條件： （1）在第二、第四象限的每一個象限內(nèi)隨的增大而增大； （2）函數(shù)圖像在第二、第四象限 （3）由圖像上一點向軸、軸作垂線，所得矩形的面積為3. 這個函數(shù)的解析式為______________________ 分析：這是一個結(jié)論開放型問題，由三個性質(zhì)特別是第三個性質(zhì)知這應(yīng)是反比例函數(shù)特有的性質(zhì)，在函數(shù)圖像上任取一點（、），則，又因為函數(shù)圖像在在第二、第四象限，所以 解： 點評：由于開放型試題答案的多樣性和多層性，因此對訓(xùn)練同學(xué)們?nèi)坏撵`活性和廣闊性方面有較高的價值。本題著重考查學(xué)生的逆向思維能力和發(fā)散思維能力。 二、判斷說理型 例2、如圖，的頂點A（，）是一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像在第一象限的交點，且 （1）根據(jù)這些條件你能求出反比例函數(shù)的關(guān)系式嗎？如果能，請你求出來；如果不能，請你說明理由； （2）能求出一次函數(shù)的關(guān)系式嗎？ 分析：（1）根據(jù)A在的圖像上，且，可求得，所以，從而確定反比例函數(shù)關(guān)系式 （2）要確定的關(guān)系式，需要知道A點的坐標，但點A無論在反比例函數(shù)圖像的哪個位置，均能保證，所以A點不確定，即一次函數(shù)關(guān)系式不確定。 解：（1）∵A在的圖像上，且，∴，∴，∵，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為 （2）不能求出一次函數(shù)的關(guān)系式，A點的坐標不能唯一確定。 點評：這是一道判斷說理型開放題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)關(guān)系式應(yīng)是我們掌握的重點，同時求反比例函數(shù)關(guān)系式的方法有多種，要靈活運用。 三、規(guī)律探索型 例3、如圖，已知點A在的圖像上，過點A作軸的垂線，垂足為B，當點A在其圖像上移動時，的面積將發(fā)生怎樣的變化？對于其他反比例函數(shù)是否也有同樣的現(xiàn)象？怎樣理解？ 解析：的面積不變。設(shè)頂點A（、），則。又∵點A在反比例函數(shù)圖形上，∴，即，∴，即的面積與點A的位置無關(guān)。 對于其他反比例函數(shù)也有相同的現(xiàn)象， 理由是：觀察反比例函數(shù)的特征，從其憨厚素圖像上任意一點向軸（軸）作垂線，垂足、原點和該點組成三角形的面積均為，而無論為正負， 點評：本題探索經(jīng)歷了從特殊到一般的探索過程，通過計算特殊情況，推廣得到一般情況，都得到所組成的三角形的面積為這個定值，此方法可以拓展到求相應(yīng)矩形的面積。 2 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)錯解“診所” 處理反比例函數(shù)問題時最容易出現(xiàn)的錯誤主要有兩點： 一是忽略定義y=中的k≠0這個條件； 二是在研究反比例函數(shù)的增減性時不分象限，將雙曲線不同分支上的點混在一起． 例1．若y=（k-3）x為反比例函數(shù)，則k= ． 錯解：因為是反比例函數(shù)，則k-10=-1，所以． 會診：反比例函數(shù)的定義是：一般地，形如y=（ k≠0的常數(shù)）的函數(shù)叫反比例函數(shù)．忽略“k≠0”這個條件． 正解：由k-10=-1，解得；又因為k-3≠0，所以k=-3． 例2．判斷正誤：反比例函數(shù)y=-中，y隨著x的增大而增大． 錯解：正確． 會診：反比例函數(shù)y=（ k≠0的常數(shù)）的性質(zhì)是，當k＜0時在每一象限內(nèi)，y隨著x的增大而增大．忽略了在“每一象限內(nèi)”這一條件．只有當x＞0或x＜0時y隨著x的增大而增大． 正解：錯誤． 例3．在函數(shù)y=-（a≠0的常數(shù)）的圖像上有三個點（-2，b）、（-1，c）、（3，d），則函數(shù)值的大小關(guān)系是（ ） A．b＜c＜d B．d＜c＜b C．c＜d＜b D．d＜b＜c。 錯解：因為-a＜0，所以 y隨著x的增大而增大．又因為-2＜-1＜3， b＜c＜d． 所以選擇A． 會診：此題的錯誤是分析反比例函數(shù)的增減性時不分象限，將雙曲線不同分支上的點混在一起．本題的（-2，b）、（-1，c）兩點在雙曲線的第二象限的分支上，由-2＜-1，得0＜b＜c；而點（3，d）在雙曲線的第四象限的分支上，d＞0．所以它們的大小關(guān)系是d＜b＜c． 正解：選擇D． 例4．已知反比例函數(shù)y=的圖像上兩點A（a，b）、B（c，d）．當a＜0＜c時，有b＜d，則m的取值范圍是（ ） A．m＜0 B．m＞0 C．m＜1/2 D．m＞1/2 錯解：因為當a＜0＜c時，有b＜d，即y隨著x的增大而增大．所以1-2m＜0，得m＞1/2 ，因此選擇D． 會診：此題的錯誤是將雙曲線不同分支上的點混在一起，來分析反比例函數(shù)的增減性．因為a＜0＜c，所以A、B兩點分別位于二個象限內(nèi)，點A在第二或三象限的分支上，則點B在第四或一象限的分支上．又因為b＜d，點B只能在第一象限的分支上，則點A在第三象限的分支上．所以1-2m＞0，解得m＜1/2． 正解：選擇C． 2