八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊12.1二次根式素材(打包31套)新蘇科版.zip
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“二次根式”
一、教材分析
新教材打破了舊教材從定義出發(fā),由理論到理論,按部就班的舊格局,創(chuàng)造出從實(shí)踐到理論再回到實(shí)踐,由淺入深,符合認(rèn)知結(jié)構(gòu)的新模式.其主要的特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn)有:
?。ㄒ唬┮运膭t運(yùn)算貫穿全章的始末,使教學(xué)有明確的主攻方向
新教材一改舊教材中概念性質(zhì)與運(yùn)算脫節(jié)的陳規(guī),以運(yùn)算為主線進(jìn)行編排.對于概念性質(zhì)則根據(jù)它們在運(yùn)算中所起的作用,穿插介紹,有機(jī)地與運(yùn)算結(jié)合.這樣,在教學(xué)過程中學(xué)生能清楚地認(rèn)識(shí)到,為了解決實(shí)際問題必須學(xué)習(xí)根式運(yùn)算;為了探求根式運(yùn)算法則就必須研究根式的概念和性質(zhì).由于學(xué)生的學(xué)習(xí)目的性明確,一開始就帶著問題以極大的熱情投入學(xué)習(xí).從上章算術(shù)平方根的概念出發(fā),很快地掌握了二次根式的意義和基本性質(zhì),緊接著把這些基本性質(zhì)用到二次根式乘除中去,并且解決了實(shí)際問題.接著教師又提出新的問題,引導(dǎo)學(xué)生研究二次根式的化簡和加減運(yùn)算.這樣,一環(huán)扣一環(huán),研究一個(gè)個(gè)運(yùn)算,解決一個(gè)個(gè)實(shí)際問題,突破一個(gè)個(gè)難點(diǎn),最后成功地完成全章的教學(xué)任務(wù).
(二)先乘除后加減,由易到難,由簡到繁編排教材,符合學(xué)生的認(rèn)知心理
舊教材先講二次根式的加減法,后講二次根式的乘除法.因?yàn)橐莆占訙p法,就得先研究根式的化簡,而根式的化簡實(shí)際上可以通過根式的乘除來實(shí)現(xiàn),可是乘除法未學(xué),不能超前使用這個(gè)工具,只好一個(gè)個(gè)地從定義出發(fā)來化簡,這樣增加了運(yùn)算的難度.新教材克服了舊教材的弊端,先介紹乘除法后介紹加減法,而乘除法比加減法容易學(xué),這樣由淺入深,循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí),困難不大.在化簡根式時(shí),除了從定義出發(fā)外,還可以運(yùn)用除法.知識(shí)是一種越用越多的財(cái)富.運(yùn)用乘除法來化簡根式,不僅可以復(fù)習(xí)鞏固乘除法則,而且增加了化簡根式的工具.乘除的基礎(chǔ)打好了,又增添了化簡根式的工具,因而根式加減的困難也就迎刃而解了.
二、教學(xué)方法
如果把教材比做一張藍(lán)圖,那么編者就是這幅藍(lán)圖的總設(shè)計(jì)師,而教師便是忠實(shí)的施工員.首先,施工員要領(lǐng)會(huì)設(shè)計(jì)師的匠心和設(shè)計(jì)意圖,忠實(shí)地按圖施工.其次,施工員在施工過程中,要發(fā)揮自己的聰明才智,創(chuàng)造性地完成任務(wù).再次,要不斷地發(fā)現(xiàn)新問題,在不影響總體設(shè)計(jì)的情況下,及時(shí)地進(jìn)行局部調(diào)整.同樣的道理,教師在實(shí)施教學(xué)過程也應(yīng)注意以下三個(gè)問題.
?。ㄒ唬┏酝附滩?
深入鉆研教材,切實(shí)領(lǐng)會(huì)編者的巧妙構(gòu)思,挖掘教材的優(yōu)點(diǎn)和特點(diǎn)以及新舊教材的差別,并且在教學(xué)中加以實(shí)施.
?。ǘ┚脑O(shè)計(jì)教案,發(fā)揮自己的主觀能動(dòng)性
根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況,精心設(shè)計(jì),精心安排.在教學(xué)中以問題為中心,不斷地提出問題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī);深刻地分析問題,帶領(lǐng)學(xué)生尋找解決問題的辦法;及時(shí)地總結(jié)規(guī)律,把所獲得的新知識(shí)并入原有的知識(shí)系統(tǒng);加強(qiáng)變式訓(xùn)練,糾正學(xué)生概念和運(yùn)算中的錯(cuò)誤.
(三)及時(shí)地發(fā)現(xiàn)問題,不斷地調(diào)整自己的教學(xué)方案
本章的主線是運(yùn)算,為了突出這條主線,故在章頭圖長方形的基礎(chǔ)上適當(dāng)?shù)卦黾痈降倪\(yùn)算的實(shí)例,作為新課的引入和研究問題的中心.具體的教學(xué)方案敘述如下:
1.根式的乘法.
?。?)提出問題.
學(xué)校決定在每一間教室前面的長方形空地上都種植草皮.按國家教委和國家基建委規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn),中學(xué)每間教室的使用面積為54平方米.假定教室是正方形的,那么教室的每條邊長則為米,也就是說長方形空地長為米.如果空地的寬為 米,問鋪滿一塊長方形空地,需要購買多少平方米的草皮?
?。ㄗⅲ呵耙徽乱呀?jīng)學(xué)習(xí)了無理數(shù),后一章將學(xué)習(xí)二次根式.因此以和作為邊長進(jìn)行計(jì)算既能起到承上起下的作用,又能聯(lián)系生活實(shí)際.)
因?yàn)殚L方形的面積等于長×寬,所以草坪的面積為×.
我們查表計(jì)算和的值,然后再相乘,雖然可以得到草場的面積,但是計(jì)算繁瑣,又不能得到準(zhǔn)確值.如果手邊沒有數(shù)學(xué)用表和計(jì)算器,就無法進(jìn)行計(jì)算.因此,必須另想其他計(jì)算辦法.要想不查表又能算出草坪面積的準(zhǔn)確值,就必須研究二次根式54和6的乘法法則.
(2)分析問題.
?、儆幸饬x的式子才能進(jìn)行運(yùn)算,所以在研究二次根式的運(yùn)算之前先得研究,當(dāng)a為何實(shí)數(shù)時(shí),二次根式與有意義.
我們知道,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),負(fù)數(shù)沒有平方根,要使上式有意義,被開方數(shù)只能是正數(shù)或0,也就是說被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).故得,
性質(zhì)1:非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù).即當(dāng)a≥0時(shí),≥0;當(dāng)a≥3 時(shí),≥0.
②與有理數(shù)6的差別就在于多一個(gè)根號(hào),如果能找到一種打開根號(hào)的運(yùn)算,那么就有可能借助于有理數(shù)的運(yùn)算法則來進(jìn)行二次根式的運(yùn)算.
因?yàn)槭潜硎酒椒降扔?的數(shù),把這句話用式子表示為()2=6.
可見我們可以用平方的辦法去掉括號(hào).
一般地,(a≥0)表示一個(gè)平方等于a的非負(fù)數(shù),即()2=a(a≥0).
由上式得,
性質(zhì)2:一個(gè)非負(fù)數(shù)平方根的平方等于它的本身.
在本章中,如果沒有特別說明,所有的字母都表示正數(shù),因而平方和開方都互為逆運(yùn)算.
由性質(zhì)2得()2=54×6 , ①
由乘方法則得(×)2=()2×()2=54×6 , ②
由①、②得()2=(×)2,
因?yàn)椋?,×>0,所以=×,
一般地有(a≥0,b≥0).
?。?)解決問題.
乘法法則:算術(shù)平方根的積,等于各個(gè)被開方數(shù)積的算術(shù)平方根.
由乘法法則得:×===18.
答:購買18平方米的草苗恰好能鋪滿一塊空地.
全校各間教室前面的空地都種上草皮,就使得往日塵土飛揚(yáng)的黃土地?fù)Q上綠色的新裝,那無數(shù)支嫩綠和新芽,不斷地吐出氧氣,讓同學(xué)們在美麗的校園里,呼吸著新鮮的空氣更加精力充沛地為祖國而學(xué)習(xí).
注:當(dāng)問題解決之后,同學(xué)們都沉浸在成功的喜悅之中,此時(shí)此刻,教師借題發(fā)揮作簡短有力的議論,既能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,又能給學(xué)生以生動(dòng)的思想教育.
(4)變式訓(xùn)練.
通過正反面典型實(shí)例來加深鞏固二次根式的概念和運(yùn)算法則的理解和掌握.
例1 化簡:.
注:利用性質(zhì)3化簡根式時(shí),應(yīng)把被開方數(shù)中能開得盡方的因式(或因數(shù))都開出來.
例2 化簡:.
注:因?yàn)樾再|(zhì)3只適用于被開方數(shù)是乘積的情形,不適用于加減的情形.
例3 計(jì)算 3×2=(3×2)×(×)=30.
注:這里實(shí)際上是將有理數(shù)乘法的交換律和結(jié)合律推廣到實(shí)數(shù)范圍.因而二次根式相乘時(shí)可以在根號(hào)外把因式相乘,同時(shí)在根號(hào)內(nèi)把被開方數(shù)相乘,二次根式不變.
2.根式的除法.
?。?)提出問題.
草坪的長是寬的多少倍呢?要解決這個(gè)問題就必須研究二次根式的除法,即÷.
(2)分析問題.
仿照乘法法則的推導(dǎo)辦法,由乘方法則和性質(zhì)得,
因?yàn)椋?,
所以=.
其中>0,>0.
從而=,
一般地有=(a≥0,b>0).(*)
(3)解決問題.
除法法則:兩個(gè)算術(shù)平方根的商,等于它們的被開方數(shù)商的算術(shù)平方根.把長除以寬得:
===3.
答:草坪的長恰好是寬的3倍.
(4)變式訓(xùn)練(略).
3.根式的加減法.
?。?)提出問題.
為了保護(hù)草坪,就得用籬笆把四周圍起來.要做到合理用料,就得計(jì)算每塊長方形空地的周長是多少米?長比寬大多少米?依題意得
草坪的周長為(2+2)米,
草坪的長比寬大(-)米.
要解決這兩個(gè)問題,就必須研究二次根式的加減法.
(2)分析問題.
回顧整式加減的實(shí)質(zhì)就是“合并同類項(xiàng)”.同類項(xiàng)是字母相同,并且字母的指數(shù)也相同的項(xiàng).同樣的道理,我們也把被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式,與同類項(xiàng)一樣,同類二次根式也可以進(jìn)行合并.但是,在整式中同類項(xiàng)一目了然,而同類根式卻不容易認(rèn)別.例如:和,和.
乍看起來被開方數(shù)不同,但它們卻是同類二次根式,因?yàn)榛喓蟊婚_方數(shù)都相同.
上式化簡后都具有兩個(gè)特點(diǎn):
①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式(即被開方數(shù)不含分母);
?、诒婚_方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)和因式.
凡具有以上兩個(gè)特點(diǎn)的根式稱為最簡二次根式.
(3)解決問題.
答:每塊草坪周長為86米,長比寬大26米.
從上面可以得出二次根式的加減法則:
①最簡二次根式的加減,只要合并同類二次根式;
?、谌绻o的二次根式不是最簡二次根式,應(yīng)先化簡,而后合并同類二次根式.
(4)變式訓(xùn)練(略).
5
二次根號(hào)“”的來歷
1220年意大利數(shù)學(xué)家斐波那契使用R作為平方根號(hào).十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在他的《幾何學(xué)》一書中第一次用“”表示根號(hào).“”是由拉丁文root(方根)的第一個(gè)字母“r”變來,上面的短線是括線,相當(dāng)于括號(hào).
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《二次根式》典例解析
例1.在下列各式中,m的取值范圍不是全體實(shí)數(shù)的是( )
A. B. C. D.
分析 不論m為任何實(shí)數(shù),A、C、D中被開方數(shù)的值都不是負(fù)數(shù).
解答 B
說明 考查二次根式的意義. 只要理解了二次根式的意義,記住在時(shí),式子才有意義,這樣的題目都不在話下.
例2.是二次根式,則x、y應(yīng)滿足的條件是( )
A.且 B.
C.且 D.
分析 要使有意義,則被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).應(yīng)滿足條件是且或,.
解答 D
說明 式子叫做二次根式,a可以是數(shù),也可以是式子,但a必須是非負(fù)數(shù).
例3.判斷下列根式是否二次根式:
(1); (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8)
解答 (1)∵ ,∴ 不是二次根式.
(2)∵,∴是二次根式.
(3)∵ ,∴不是二次根式.
(4)是三次根式,不是二次根式.
(5)∵ 的符號(hào)不確定,∴當(dāng)時(shí),是二次根式,當(dāng)時(shí),
不是二次根式,∴不一定是二次根式.
(6)∵ ,∴是二次根式.
(7)∵
∴不是二次根式.
(8)∵
∴是二次根式.
說明 判定一個(gè)式子是否二次根式,主要觀察兩方面:第一,被開方數(shù)是否非負(fù);第二,是否為二次根式.
例4.求使有意義的x的取值范圍.
解答 要使使有意義,則,即;①
要使有意義,則,即.②
所以使 有意義的x的取值范圍是.
說明 本題主要考察二次根式的基本概念,要弄清每一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式的含義. 根據(jù)二次根式的意義求解.
例5.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:
(1)
(2)
(3)
解答 (1)
(2)
(3)
說明 解本題的關(guān)鍵是對一個(gè)非負(fù)數(shù)a能寫成一個(gè)數(shù)平方形式.即
的逆用.并且原來的因式分解方法和公式仍然適用.
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《二次根式》典例解析
例1.若x,y為實(shí)數(shù),且,則.
分析 由于含有兩上未知量而只是一個(gè)等式,不妨從二次根式概念入手.
∵ ∴
即得,,
解答 2
說明 回到定義中去是重要解題方法.
例2.求的值.
分析 由于二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)性,知求值式中的,必為零.問題迎刃而解.
解答 因當(dāng)時(shí),才有意義.
故原式=
說明 本題關(guān)鍵是挖掘隱含條件的條件是什么?
例3.當(dāng)x取什么值時(shí),取值最小,并求出這個(gè)最小值.
分析 根式中二次根式的雙非負(fù)性,即被開方數(shù)非負(fù),二次根式非負(fù),所以只有當(dāng)時(shí),才有最小值.
解答 因?yàn)?,解得?
故當(dāng)時(shí),有最小值,為0.
從而有最小值,最小值為1.
故當(dāng)時(shí),取值最小,最小值為1.
例4.已知m是的整數(shù)部分,n是的小數(shù)部分,計(jì)算的值.
分析 根據(jù)算術(shù)平方根的概念,可知即,從而可確定m和n.
解答 ∵,即,
∴ 的整數(shù)部分,
的小數(shù)部分.
∴
說明 一部分學(xué)生總是想求13的算術(shù)平方根,在不允許查表的情況下,盡管可知 的整數(shù)部分是3,但不易知道的小數(shù)部分,從而陷入誤區(qū).而忽視了由可求出的小數(shù)部分n.
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二次根式大小比較的常用方法
二次根式的化簡具有極強(qiáng)的技巧性,而在不求近似值的情況下比較兩個(gè)無理數(shù)(即二次根式)的大小同樣具有很強(qiáng)的技巧性,對初中生來說是一個(gè)難點(diǎn),但掌握一些常見的方法對它的學(xué)習(xí)有很大的幫助和促進(jìn)作用.
1.根式變形法.
【例1】比較3與5的大?。?
【解】將兩個(gè)二次根式作變形得3==,=5=;
∵75>45;∴>,即3<5.
【解后評注】本解法依據(jù)是:當(dāng)a>0,b>0時(shí),①a>b,則>;
②若a<b,則<.
2.平方法.
【例2】比較3與2的大?。?
【解】(3)2=18,(2)2=12.
∵18>12;∴3>2.
【解后評注】本法的依據(jù)是:當(dāng)a>0,b>0 時(shí),如果a2>b2,則a>b,如果a2<b2,則a<b.
另外根式的無理數(shù)大小的比較往往可采用:分母有理化法、分子有理化法、等式的基本性質(zhì)法、作差比較法、求商比較法等多種方法,來求解.有時(shí)還需各種方法配合使用,其中根式變形法,平方法是最基本的,對于具體的問題要作具體分析,以求用最佳的方法解出正確的結(jié)果.
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二次根式定義解讀
我們知道:一般地,形如的式子叫做二次根式,而也表示的算術(shù)平方根,所以可得. 這里要注意的是兩個(gè)非負(fù)數(shù):是非負(fù)數(shù),被開方數(shù)是非負(fù)數(shù),那么它們在實(shí)際問題中有什么作用呢?
1. 條件的作用:列不等式,可求被開方數(shù)中,字母的取值范圍.
例1 當(dāng)有意義時(shí),的取值范圍是 .
析解:此式中含有二次根式,被開方數(shù)為非負(fù)數(shù),得
含有分式,分母不為零,得, 的取值應(yīng)使以上二式都成立,
∴據(jù)題意得 解得:且.
例2 有意義,則的取值范圍是 .
解:法一 據(jù)題意得:,
,
當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí),上式都成立,∴的取值范圍是全體實(shí)數(shù).
法二:∵ ∴,
即取任意實(shí)數(shù),被開方數(shù)都是正數(shù),原式都有意義,∴的取值范圍是全體實(shí)數(shù).
點(diǎn)評:此題看似簡單,學(xué)生卻極易出錯(cuò),錯(cuò)誤原因往往是對法一中的不會(huì)處理,不知道解到此步,應(yīng)得結(jié)論,卻接著往下解,從而得出荒謬的結(jié)論.
【小結(jié)】數(shù)學(xué)表達(dá)式中的條件,往往是列方程或列不等式的依據(jù),從而求出所含字母的取值范圍.
2. 的作用:表示非負(fù)數(shù),往往與也表示非負(fù)數(shù)的絕對值、偶次冪同時(shí)出現(xiàn)于同一題目中.
例3 若與互為相反數(shù),則= .
解:據(jù)題意得, +=,
∴ , ∴,
∵,
∴,
.
例4 若,求的取值范圍?
解:∵,
∴,
解得:.
2
二次根式概念的學(xué)習(xí)
式子(a0)叫做二次根式,這個(gè)概念是初中數(shù)學(xué)中的重要概念之一,要學(xué)好這個(gè)概念必須注意以下幾個(gè)問題:
1. a0是為二次根式的決定條件. 因?yàn)樵趯?shí)數(shù)范圍內(nèi),負(fù)數(shù)不能進(jìn)行開 平方運(yùn)算, 即當(dāng)a<0時(shí), 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無意義.
2. (a0)表示a的算術(shù)平方根, 它是一個(gè)非負(fù)數(shù), 即.
3. 二次根式(a)中a可以表示數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式乃至符合條件的一切代數(shù)式.
熟悉、掌握并正確、靈活應(yīng)用這個(gè)概念是學(xué)習(xí)《二次根式》一章的重點(diǎn). 下面看幾個(gè)例子.
例1. 下列各式哪些是二次根式? 哪些不是? 為什么?
(1) (2) (3) (4)
分析: 二次根式的第一個(gè)特征是根號(hào)的根指數(shù)必須是2; 第二個(gè)特征是必須能保證被開方數(shù)不小于零.
解: (1) –19 < 0 , 不是二次根式
(2) 中根指數(shù)是3, 不是二次根式.
(3) 不論x 取什么實(shí)數(shù),都有> 0 , 是二次根式.
(4) 當(dāng) – 6a0 , 即a時(shí), 是二次根式. 當(dāng) – 6a < 0, 即a>0 時(shí),
不是二次根式.
例2. x是什么值時(shí),下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?
(1) (2) (3)
解: (1) 要使 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,應(yīng)有 - x 即x0.
又在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),不論x取什么值恒有x. 故x 從而 x=0.
即當(dāng)x=0時(shí), 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.
(2) 要使 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,應(yīng)有 從而x=0.
即當(dāng)x=0時(shí), 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.
(3) 要使 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,應(yīng)有x.
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),不論x取什么值,恒有x,
不論x為何值, 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都有意義.
例3. 已知 + 求的值.
解: , 有意義, 且.
又 + =0.
例4. 計(jì)算.
解: 由原式知和均有意義,
又 當(dāng)a=1時(shí), 分母 1-x=0, 原式無意義, 故 x = -1.
原式=
練習(xí):
1. 如果是二次根式,那么a、b應(yīng)滿足( )
A. a>0, b>0. B. a,b同號(hào). C. a>0, b0. D.
2. 式子中x的取值范圍是 .
3. 已知. 求的值.
參考答案:
1、 D 2、 3、
3
《二次根式》疑難解析
疑難分析
1.二次根式的定義:一般地,式子叫做二次根式,可以從以下幾個(gè)方面理解:
(1)中的a可以是一個(gè)非負(fù)數(shù),也可以是代數(shù)式,這個(gè)代數(shù)式的值必須是非負(fù)數(shù),否則無意義,可以利用這一性質(zhì)求被開方數(shù)的取值范圍;
(2)式子既是二次根式,又表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根,因此也是非負(fù)數(shù),即.
2.二次根式的基本性質(zhì): ,該公式也可以倒過來,即,也就是說,可以利用它把任何一個(gè)非負(fù)數(shù)或式子寫成一個(gè)數(shù)或式子的平方的形式.
3.積的算術(shù)平方根,等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.
4.商的算術(shù)平方根,等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.
例題選講
例1 函數(shù)的自變量x的取值范圍是 .
解:變量x的取值范圍,須使(即被開方熟大于或者等于零)且(即分母不等于零),即且x≠-1.
所以應(yīng)填且x≠-1.
評注:①考慮二次根式有意義;②考慮分式有意義,只有同時(shí)有意義,才能求出自變量的取值范圍.
例2 已知x>2,則的結(jié)果是( ).
(A)x-2 (B)x+2 (C)-x-2 (D)2-x
解: 選(A)
∵= ,
∵x>2,∴=x-2
故應(yīng)選(A)
評注:解此類題,被開方數(shù)能化成完全平方式的.可根據(jù)進(jìn)行化簡.
例3 已知a>b,化簡二次根式的結(jié)果是( )
(A) (B) (C) (D)
解:選(D).
評注:理解并熟練運(yùn)用,化簡二次根式時(shí),要判斷或討論根號(hào)內(nèi)字母的符號(hào),然后進(jìn)行化簡.
此題也可以根據(jù)二次根式化簡的法則,采取觀察、分析符號(hào)兩個(gè)步驟,運(yùn)用排除法解答:
(1)觀察被開方數(shù):由于被開方數(shù)中只有平方因式可以從根號(hào)內(nèi)移到根號(hào)外,根號(hào)內(nèi)的符號(hào)并不發(fā)生變化,觀察原根式內(nèi)的符號(hào)易知根號(hào)內(nèi)不可能去掉負(fù)號(hào),故可排除(B)、(C);
(2)分析根號(hào)外的正負(fù)性:由知ab<0,而a>b,故a>0,觀察原來根號(hào)外為省略的“+”號(hào),應(yīng)保持正數(shù)性,故根號(hào)外必為a,綜合可得.
例4 若x、y為實(shí)數(shù),且,求.
解: 由x的取值范圍可知:
∴x=2,y=.
評注:本題實(shí)際是通過題目中的隱含條件:,,,即x的取值范圍,求出x和y的值.
例5 把中根號(hào)的(a-1)移到根號(hào)內(nèi)得( )
(A) (B) (C) (D)
解: 根據(jù)二次根式的定義,被開方數(shù)≥0,即a-1>0
∵=.
故選(A)
評注:根號(hào)外面的因式移到根號(hào)內(nèi),運(yùn)用根式化簡的逆向思維,即,所以應(yīng)選判斷(a-1)的正負(fù),若為正,則把這個(gè)數(shù)寫成它的平方移到根號(hào)內(nèi).
3
二次根式的性質(zhì)是什么?
難易度:★★★
關(guān)鍵詞:二次根式
答案:
二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù),否則二次根式無意義.當(dāng)二次根式在分母上時(shí)還要考慮分母不等于零,此時(shí)被開方數(shù)大于0.
【舉一反三】
典例、下列式子中,x的取值范圍為x≠3的是( )A、x-3 B、 ?C、 D、
思路導(dǎo)引:本題主要考查了整式、分式和二次根式的定義.要考慮分式的分母不能為0;二次根式的被開方數(shù)非負(fù)分別根據(jù)整式、分式和二次根式的定義,求x的取值范圍判斷即可.下列選項(xiàng)的x取值范圍分別是A、任何實(shí)數(shù);B、∵x-3≠0,∴x≠3;C、∵x+3≠0,∴x≠-3;D、∵x-3≥0,∴x≥3.故選B.
標(biāo)準(zhǔn)答案:B
1
二次根式的概念學(xué)習(xí)要點(diǎn)
二次根式是一種特殊的代數(shù)式,它在實(shí)際生活以及其它科學(xué)技術(shù)中都有著廣泛的應(yīng)用,為了幫助同學(xué)們學(xué)好這一知識(shí)點(diǎn),現(xiàn)提醒同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意領(lǐng)會(huì)以下幾個(gè)要點(diǎn):
一、正確理解二次根式的定義
同學(xué)們已經(jīng)接觸到的像、、…、(a≥0)等式子,這些式子是什么樣的一個(gè)式子呢?我們把式子(a≥0)叫做二次根式.由此,對于(a≥0)的討論應(yīng)注意下面的問題:
(1)式子只有在條件a≥0時(shí)才叫二次根式.而式子就不是二次根式,但式子卻又是二次根式.
(2)(a≥0)實(shí)際上就是非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根.
(3)是二次根式,雖然=3,但3不是二次根式.因此二次根式指的是某種式子的“外部形態(tài)”.如,當(dāng)a為實(shí)數(shù)時(shí), 、、、都是二次根式,而、都不一定是二次根式.這是因?yàn)閍是實(shí)數(shù)時(shí),并不能保證a+10、a2-1是非負(fù)數(shù),即a+10、a2-1可以是負(fù)數(shù),如當(dāng)a<-10時(shí),a+10<0;又如當(dāng)0<a<1時(shí),a2-1<0,因此,、不一定是二次根式.
二、能運(yùn)用二次根式的定義確定有關(guān)二次根式的字母取值范圍
由于式子(a≥0)叫做二次根式,它實(shí)際上是一個(gè)非負(fù)的實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根的表達(dá)式.所以式子中的被開方數(shù)或被開方式必須大于或等于零,即式子是一個(gè)非負(fù)數(shù).
如,當(dāng)x≥3時(shí),式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.這是因?yàn)橛啥胃降亩x可知被開方式x-3≥0,即x≥3,就是說當(dāng)x≥3時(shí),式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.這類問題實(shí)質(zhì)上是當(dāng)x是什么數(shù)時(shí),x-3是非負(fù)數(shù),式子有意義.
三、能運(yùn)用二次根式的定義解題
我們知道,二次根式的結(jié)果是一個(gè)非負(fù)數(shù),在初中階段,常見的非負(fù)數(shù)有三個(gè):a2≥0,≥0,≥0.利用“幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零,則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為零”的性質(zhì)解題,在各類考試中屢見不鮮.
例1 已知y=++6,則= .
簡析 根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是一個(gè)非負(fù)數(shù),可得3-x≥0且x-3≥0,即x≤3且x≥3,所以x只能等于3,所以y=6.故==2.
例2 已知+y2+4y+4+=0,求的值.
簡析 本題可變形為+(y+2)2+=0,因?yàn)槭侨齻€(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,所以x-3=0,y+2=0,z-1=0,即x=3,y=-2,z=1,故==3.
下面兩道題目供同學(xué)們自己練習(xí):
1、已知實(shí)數(shù)a滿足+=a,求a-20072的值.
2、設(shè)等式+=-在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立,其中a、x、y是兩兩不同的實(shí)數(shù),求的值.
3、若實(shí)數(shù)x、y、a滿足+=+,試問長度分別為x、y、a的三條線段能否組成一個(gè)三角形?如果能,請求出該三角形的面積;如果不能,請說明理由.
參考答案
1,由a-2008≥0,得a≥2008.故已知式可化為a-2007+=a,所以=2007,兩邊平方并整理,得a-20072=2008.
2,由a(x-a)≥0及x-a≥0得a≥0;由a(y-a)≥0及a-y≥0得a≤0,故a=0,從而已知式化為=,x=-y≠0,故原式==.
3,由x+y-8≥0,8-x-y≥0,得x+y≥8,x+y≤8.所以8≤x+y≤8,x+y=8.這時(shí),已知等式即為+=0.因?yàn)椤?,≥0,
所以=0,=0.從而3x-y-a=0,x-2y+a+3=0.這兩個(gè)等式相加,得4x-3y=-3.聯(lián)立x+y=8和4x-3y=-3,得解得這時(shí)a=3x-y=4.因?yàn)閤、y、a中的任意兩者的值大小第三者的值,所以長度分別為x、y、a的三條線段能組成一個(gè)三角形.因?yàn)閤2+a2=y(tǒng)2,所以長度分別為x、y、a的三條線段能組成一個(gè)直角三角形,且兩條直角邊的長度分別為3、4.所以該三角形的面積值=3×4÷2=6.
3
?什么是二次根式?
難易度:★★★
關(guān)鍵詞:二次根式
答案:
“一般形如(a≥0)的代數(shù)式叫做二次根式。當(dāng)a≥0時(shí),表示a的算術(shù)平方根。
【舉一反三】
典例:已知n是一個(gè)正整數(shù),是整數(shù),則n的最小值是( )
A、3?? ?B、5 ???C、15?? ?D、25
思路導(dǎo)引:解答此題的關(guān)鍵是能夠正確的對進(jìn)行開方化簡.先將中能開方的因數(shù)開方,然后再判斷n的最小正整數(shù)值.
∵=,若是整數(shù),則也是整數(shù);∴n的最小正整數(shù)值是15;故選C.
標(biāo)準(zhǔn)答案:C
1
什么是同類二次根式?
難易度:★★★
關(guān)鍵詞:同類二次根式
答案:
化成最簡二次根式后,被開方數(shù)相同.這樣的二次根式叫做同類二次根式.
【舉一反三】
典例:若a、b都是實(shí)數(shù),且 ,求ab的值
思路導(dǎo)引:因?yàn)?,根?jù)題意,左右對照可知,a=3,b=2,故可求ab的值.∵∴∴a=3,b=2,∴ab=9.
標(biāo)準(zhǔn)答案:ab=9.
1
什么是最簡二次根式?最簡二次根式必須滿足什么條件?
難易度:★★★
關(guān)鍵詞:最簡二次根式、條件
答案:
滿足下列兩個(gè)條件的二次根式,叫做最簡二次根式。
(1)被開方數(shù)不含分母;
(2)被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.
【舉一反三】
典例:下列根式中不是最簡二次根式的是( )A、 ?B、 C D、
思路導(dǎo)引:判定一個(gè)二次根式是不是最簡二次根式的方法,就是逐個(gè)檢查最簡二次根式中的兩個(gè)條件(被開方數(shù)不含分母,也不含能開的盡方的因數(shù)或因式).是否同時(shí)滿足,同時(shí)滿足的就是最簡二次根式,否則就不是.因?yàn)? =,因此不是最簡二次根式.故選B.
標(biāo)準(zhǔn)答案:B
1
例析融入幾何圖形中的二次根式
在近幾年的各類考試中,融入幾何圖形中的二次根式問題倍受命題者的青睞與關(guān)注,這類題往往背景鮮活,構(gòu)思新穎,形式多變,給人耳目一新的感覺,它從注重考察同學(xué)們對二次根式的性質(zhì)及計(jì)算發(fā)展到注重二次根式的蘊(yùn)釀、構(gòu)建、空間想象能力與動(dòng)手操作能力的實(shí)踐操作題,到直接運(yùn)用二次根式的說理計(jì)算題,發(fā)展到基于二次根式應(yīng)用進(jìn)行探究的綜合題,考查的著眼點(diǎn)日趨靈活,能力立意的意圖日漸明顯. 這對于識(shí)別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問題的能力都提出了比以往更高的要求.現(xiàn)結(jié)合幾例二次根式的構(gòu)建與應(yīng)用進(jìn)行剖析與說明,希望能給大家?guī)硪欢ǖ膯⑹九c幫助.
一、融入網(wǎng)格中的二次根式
圖1
例1:如圖1,方格紙中小正方形的邊長為1,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上,小明在觀察探究時(shí)發(fā)現(xiàn):
①△ABC的形狀是等腰三角形;
②△ABC的周長是;
③△ABC的面積是5;
④點(diǎn)C到AB邊的距離是;
⑤直線EF是線段BC的垂直平分線;
你認(rèn)為小明觀察的結(jié)論正確的序號(hào)有 .
思路點(diǎn)撥與解析:結(jié)合圖形,借助勾股定理可計(jì)算出△ABC的三邊長分別為 ,,,故①正確,②錯(cuò)誤,△ABC的面積由間接計(jì)算得到; =4,故③錯(cuò)誤,利用三角形的等積法:,即,解得h=,故④正確,根據(jù)垂直平分線的定義并結(jié)合圖象可知EF是線段BC的垂直平分線;故選①④⑤.
點(diǎn)評:在近幾年的各類考試中,選擇填空題和網(wǎng)格背景題深受命題者的關(guān)注與青睞.當(dāng)網(wǎng)格作為背景時(shí),相關(guān)格點(diǎn)之間便容易形成特殊的圖形如正方形,直角三角形,勾股定理等知識(shí),具有較強(qiáng)的直觀性、操作性,較好地實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)基本知識(shí)、空間觀念與多種數(shù)學(xué)思維能力的綜合與運(yùn)用,尤其是勾股定理、數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn)用達(dá)到了極點(diǎn),具有極大的學(xué)習(xí)創(chuàng)造性和挑戰(zhàn)性.
圖2
二、融入立體圖形中的二次根式
例2:如圖2,已知正方體紙盒的表面積為12cm2,
(1) 求正方體的棱長;
(2) 剪去蓋子后,插入一根長為5cm的細(xì)木棒,則細(xì)木棒露在外面的最短長度是多少?
(3) 一只螞蟻在紙盒的表面由A爬到B,求螞蟻行走的最短路線.
思路點(diǎn)撥與解析:(1)正方體有六個(gè)表面,每個(gè)面的面積為2 cm2,則棱長為cm;(2)如圖3,插入細(xì)木棒后,看不見的部分恰好是正方體的對角線CE,cm,cm,則露出外面部分為()cm; (3)如圖3,要計(jì)算立體圖形上兩點(diǎn)之間距離最短問題,需要轉(zhuǎn)化為平面圖形解決,將EB所在面繞DE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,使所在平面與與AD所在平面恰好為同一平面,即計(jì)算之間的距離:;
圖3
點(diǎn)評:有關(guān)正方體類的試題在近幾年頻繁登場亮相,不斷受到命題者的青睞與關(guān)注,而同學(xué)們時(shí)常對此束手無策,無能為力,其實(shí),只要我們把握正方體的本質(zhì)特征及轉(zhuǎn)化思想,建立一定的空間觀念并適當(dāng)動(dòng)手操作,將其側(cè)面展開,準(zhǔn)確把握立體圖形與平面圖形之間的內(nèi)在關(guān)系,熟練地將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,便能做到胸有成竹,心中有法.
2
古代數(shù)學(xué)的高峰
到了唐代,隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的高度發(fā)達(dá),對解決實(shí)際計(jì)算問題的算術(shù)也提出了更高的要求,促進(jìn)了算術(shù)的發(fā)展,為了加快計(jì)算速度,出現(xiàn)了不用紙和筆的珠算,算盤在宋代以后逐漸推廣應(yīng)用,成為當(dāng)時(shí)世界上最先進(jìn)的計(jì)算工具,沿用至今.
宋元兩代,古代中國數(shù)學(xué)達(dá)到了一個(gè)新的水平.涌現(xiàn)出了以秦九韶、李冶、楊輝和朱世杰等人為代表的一批數(shù)學(xué)大家和數(shù)量可觀的數(shù)學(xué)著作,這些成果在當(dāng)時(shí)處于世界領(lǐng)先的水平.
秦九韶與《數(shù)學(xué)九章》
秦九韶(1202-1261年),南宋末年生于四川安岳,曾在湖北、江蘇等地做官,雖仕途坎坷,在數(shù)學(xué)研究上卻是成就卓著.其代表著作是《數(shù)學(xué)九章》,秦九韶在這本書中提出了“大衍求一術(shù)”和“正負(fù)開方術(shù)”(即以增乘開方法求高次方程正根的方法),是非凡的數(shù)學(xué)創(chuàng)造.
19世紀(jì)20年代初,英國人霍納和意大利數(shù)學(xué)界為“霍納方法”——一種解任意高次方程的巧妙方法的發(fā)明權(quán)而爭得不可開交,直到他們了解到有個(gè)叫秦九韶的中國人,早在570多年前就發(fā)現(xiàn)了這種方法時(shí),這場爭論才顯得毫無意義了.
秦九韶還有許多數(shù)學(xué)創(chuàng)造.他是世界上最早提出“十進(jìn)小數(shù)”概念和表示法的人,這一成果比荷蘭人斯蒂文要早三個(gè)世紀(jì).他還獨(dú)立地推導(dǎo)出已知三邊求三角形面積的公式,與古希臘有名的海倫公式暗合.秦九韶是中世紀(jì)世界上最偉大的數(shù)學(xué)家之一,而《數(shù)書九章》則標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)的一個(gè)高峰.
李冶與“天元術(shù)”
李冶(1192-1279年),河北正定人,是生活在金元之際的數(shù)學(xué)家,一生淡泊名利,長期過著隱居生活,潛心著述講學(xué),1248年他完成了《測圓海鏡》,主要講述根據(jù)給定直角三角形的邊長求內(nèi)切圓和旁切圓的直徑的問題,他在此書中提出了“天元術(shù)”.所謂天元術(shù)就是根據(jù)問題的已知條件列出方程和解方程的方法.“天元”相當(dāng)于未知數(shù)X.天元術(shù)的出現(xiàn)標(biāo)志著我國傳統(tǒng)數(shù)字中符號(hào)代數(shù)學(xué)的誕生.傳說有個(gè)叫“洞淵老人”的世外高人教給他九個(gè)公式,都是關(guān)于直角三角形和圓的關(guān)系的.回到住處后,李冶反復(fù)地琢磨這些公式,覺得還可以大大發(fā)揮,于是他借助“天元術(shù)”這個(gè)剛剛發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)工具,推演出了五百多個(gè)公式,后來都寫進(jìn)了《測圓海鏡》這部不朽的數(shù)學(xué)著作中.1259年李冶又寫成《益古演段》,力圖向讀者通俗地解釋天元術(shù).
蒙古滅宋之后,由于一位故友的大力舉薦,李冶推脫不過,出山為官,被任命為翰林學(xué)士;但他就職還不到一年就以年老多病堅(jiān)決告退了.關(guān)于此事,他曾在筆記中寫道:“翰林學(xué)士要看皇帝的眼色寫書,史館的工作人員也要受宰相監(jiān)督,他們都不能根據(jù)自己的見解去評判歷史.有人以為進(jìn)翰林院和史館是件光宗耀祖的事,我想有見地的人是不會(huì)這樣看了.”
李冶晚年一直在封龍山下過著隱居生活,雖然沒有高頭大馬、山珍海味,但卻淡泊充實(shí)、悠然自得,許多人慕名前來向他學(xué)習(xí)“天元術(shù)”.1279年,李冶逝世,享年87歲,后來,李冶被人們尊為宋元數(shù)學(xué)四大家之一,他刻苦治學(xué)的精神和鄙薄名利的品德一直為后人所稱頌.
楊輝與《楊輝算法》
楊輝是南宋末年著名的數(shù)學(xué)家,留下了十分豐富的數(shù)學(xué)著作,其中有《詳解九章算法》《日用算法》《乘除通變本末》《田畝比類乘除捷法》《續(xù)古摘奇算法》,其中后三種統(tǒng)稱《楊輝算法》,他的主要貢獻(xiàn)在于改進(jìn)計(jì)算技術(shù),提高乘除法的運(yùn)算速度.他主張以加減代替乘除,以歸除代商除,并創(chuàng)造了一套乘除演算的便捷方法.楊輝發(fā)明了用“垛積術(shù)”為高階等差級(jí)數(shù)求和的方法,他還首創(chuàng)了“縱橫圖”研究.
“縱橫圖”又叫“九宮圖”,記載于《大戴禮記》(西漢學(xué)者戴德編纂的一部記載古代各種禮儀制度的文集),南北朝時(shí)代北周的數(shù)學(xué)家甄鸞在《數(shù)術(shù)記遺》一書對這種圖做過解釋:“‘九宮者,二、四為肩,六、八為足,左三右七,戴九履一,五居中央.’”但沒有進(jìn)一步的研究.“2、9、4;7、5、3;6、1、8”這九個(gè)數(shù)字依次寫成縱橫三行,每一縱行、每一橫行和兩條對角線上的三個(gè)數(shù)字的和都等于15.據(jù)說楊輝在臺(tái)州府任地方官時(shí),有一天聽見學(xué)童邊走邊念“二、九、四;七、五、三;六、一、八”這些數(shù)字而受到了啟發(fā).楊輝發(fā)現(xiàn)了這些數(shù)字排列的規(guī)律.但對于這個(gè)九宮圖是如何造出來的也百思不得其解.所以九宮圖一直被視為神秘的東西,實(shí)際上這種圖還可以做出很多,有興趣的讀者不妨試一試.
朱世杰與《四元寶鑒》
朱世杰,河北人,元代數(shù)學(xué)家,其生平不詳.在宋元對峙的時(shí)候,由于南北交通阻絕,學(xué)術(shù)交流十分困難.元朝統(tǒng)一中國之后,朱世杰周游各地,以教授數(shù)學(xué)為生,同時(shí)也注意學(xué)習(xí)當(dāng)?shù)氐臄?shù)學(xué)知識(shí).朱世杰在長期的游歷和講學(xué)生活中,對南北兩派的數(shù)學(xué)成果兼收并蓄,成為當(dāng)時(shí)最有名的數(shù)學(xué)家.楊輝的著作在民間也廣為流傳.他所寫的《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》分別于公元13世紀(jì)末和14世紀(jì)初年在揚(yáng)州刊?。?
《算學(xué)啟蒙》從四則運(yùn)算開始一直講到高次開方、天元術(shù)等內(nèi)容,由淺入深,是一部很好的數(shù)學(xué)啟蒙教材.這本書出版以后,不但在國內(nèi)受到歡迎,還傳到朝鮮、日本等國.17世紀(jì)中后期,這本書的國內(nèi)刻本已經(jīng)失傳了,幸虧清代學(xué)者羅士琳在北京的舊書店中找到了這本書的一個(gè)朝鮮刻本,才使它流傳下來,這可以說是中外文化交流史上的一段佳話.
朱世杰更重要的著作是《四元寶鑒》,全書共分二十四卷,二百八十八門,書中特別討論了很多高深的問題,如高次方程組、高階等差級(jí)數(shù)的求和等,給出的解決方法如三次內(nèi)插法等也十分精彩.歐洲,到了十七世紀(jì),才由英國數(shù)學(xué)家格里高利和牛頓首先研究了內(nèi)插方法,他們的工作要比朱世杰的《四元寶鑒》晚得多.正因?yàn)槿绱?,朱世杰和他的著作《四元寶鑒》享有巨大的國際聲譽(yù).近代日、法、英、美、比等國都有學(xué)者向本國介紹《四元寶鑒》.美國已故著名科學(xué)史家薩頓說朱世杰“是中華民族的,他所生活的時(shí)代的,同時(shí)也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學(xué)家……《四元寶鑒》是中國數(shù)學(xué)著作中最重要的,同時(shí)也是中世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)著作之一.”這個(gè)評價(jià)是恰如其分的.宋元時(shí)期中國的數(shù)學(xué)成就舉世矚目,但是自明代以后,中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)只是在計(jì)算技術(shù)的普及與數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性上有所進(jìn)步,在符號(hào)化和形式化的方面進(jìn)展緩慢,整體水平開始落后于歐洲.
阿基米德
阿基米德是整個(gè)歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一,后人對阿基米德給以極高的評價(jià),常把他和牛頓、高斯并列為有史以來三個(gè)貢獻(xiàn)最大的數(shù)學(xué)家.他大約在公元前287年出身于西西里島上的希臘城市敘拉古,早年曾在當(dāng)時(shí)希臘的學(xué)術(shù)中心亞歷山大跟隨歐幾里得的門徒學(xué)習(xí),并在那里結(jié)識(shí)許多同行好友,如科農(nóng)(Conon of Samos)、多西修斯(Dositheus)、埃拉托塞尼等等.回到敘拉古以后仍然和他們保持密切的聯(lián)系,因此阿基米德也算是亞歷山大里亞學(xué)派的成員,他的許多學(xué)術(shù)成果就是通過和亞歷山大的學(xué)者通信往來保存下來的.
公元前212年羅馬軍隊(duì)攻入敘拉古,并闖入阿基米德的住宅,看見一位老人在地上埋頭作幾何圖形,士兵將圖踩壞.阿基米德怒斥士兵:“不要弄壞我的圖!”士兵拔出短劍,刺死了這位曠世絕倫的大科學(xué)家,阿基米德竟死在愚蠢無知的羅馬士兵手里.他的生平?jīng)]有詳細(xì)記載,但關(guān)于他的許多故事卻廣為流傳.據(jù)說他確立了力學(xué)的杠桿定理之后,曾發(fā)出豪言壯語:“給我一個(gè)立足點(diǎn),我就可以移動(dòng)這個(gè)地球!”,被譽(yù)為“力學(xué)之父”.
另一個(gè)著名的故事是:敘拉古的亥厄洛王叫金匠造一頂純金的皇冠,因懷疑里面摻有銀子,便請阿基米德鑒定一下.當(dāng)他進(jìn)入浴盆洗澡時(shí),水漫溢到盆外,于是悟得不同質(zhì)料的物體,雖然重量相同,但因體積不同,排去的水也必不相等.根據(jù)這一道理,就可以判斷皇冠是否摻假.阿基米德高興得跳起來,赤身奔回家中,口中大呼:“尤里卡!尤里卡!”(希臘語enrhka,意思是“我找到了”)他將這一流體靜力學(xué)的基本原理,即物體在液體中的減輕的重量,等于排去液體的重量,總結(jié)在他的名著《論浮體》(On Floating Bodies)中,后來以“阿基米德原理”著稱于世.
《論浮體》更是古代第一部流體靜力學(xué)著作,是第一次將數(shù)學(xué)用于流體靜力學(xué),阿基米德亦因此被尊為流體靜力學(xué)的創(chuàng)始人.阿基米德的著作是數(shù)學(xué)闡述的典范,寫得完整、簡練,顯示出巨大的創(chuàng)造性、計(jì)算技能和證明的嚴(yán)謹(jǐn)性.他對數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn),也許是某些積分學(xué)方法的早期萌芽.現(xiàn)存的阿基米德著作中,有三本是講平面幾何的,它們是:《圓的量度》(Measurement of a Circle)計(jì)算圓內(nèi)接與外切96邊形的周長,求得圓周率π:<π<.《拋物線的求積》(Quadrature of the Parabola),確定拋物線與任一弦所圍弓形的面積.《論螺線》(On Spirals)利用一組內(nèi)接和一組外接的扇形,確定“阿基米德螺線”第一圈與始線所包圍的面積.
現(xiàn)存的阿基米德著作中,有兩部是講立體幾何的,即《論球和圓柱》(On the Sphere and Cylinder)及《論劈錐曲面體和球體》(On Conoids and Spheroids)前者包括了許多重大的成就.他從幾個(gè)定義和公理出發(fā),推出關(guān)于球與圓柱面積體積等五十多個(gè)命題.用幾何方法解決相當(dāng)于三次方程x2(a-x)=b2c的問題.后者研究幾種圓錐曲線的旋轉(zhuǎn)體,以及這些立體被平面截取部份的體積.在引理中給出公式12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1).《數(shù)沙術(shù)》(The Sand Reckoner)是現(xiàn)存論術(shù)算術(shù)的隨筆,設(shè)計(jì)一種可以表示任何大數(shù)目的方法,糾正有的人認(rèn)為沙子是不可數(shù)的,即使可數(shù)也無法用算術(shù)符號(hào)表示的錯(cuò)誤看法.尚存關(guān)于應(yīng)用數(shù)學(xué)的有《論平板的平衡》(On plane equilibrium)和《論浮體》.他還設(shè)計(jì)了一個(gè)“群牛問題”,導(dǎo)致二次不定方程x2-4729494y2=1.此外,他還發(fā)現(xiàn)13種半正多面體,用邊表示三角形面積的“海倫公式”和七邊形的作圖法.現(xiàn)已公認(rèn)海倫公式是阿基米德發(fā)現(xiàn)的,但這個(gè)名稱已成為習(xí)慣用法.
在數(shù)學(xué)史方面,現(xiàn)代最驚人的發(fā)現(xiàn)之一是丹麥語言學(xué)家海伯格(Heiberg)于1906年在土耳其君士坦丁堡發(fā)現(xiàn)的阿基米德的長期失傳的著作,后以《阿基米德方法》(Method)為名刊行于世.
《阿基米德方法》的中心思想是:要計(jì)算一個(gè)未知量,先將它分成許許多多的微小量,再用另一組微小量來和它比較(通常是建立一個(gè)杠桿,找一個(gè)合適的支點(diǎn),使前后兩組微小量取得平衡),而后者的總體該是較易計(jì)算的.于是通過比較,即可求出未知量來.這實(shí)質(zhì)上就是積分法的基本思想.阿基米德的睿智,業(yè)已伸展到17世紀(jì)中葉的無窮小分析領(lǐng)域里去了.阿基米德運(yùn)用這種富有啟發(fā)性的方法,獲得大量的輝煌成果,為后人開辟了一個(gè)廣闊的領(lǐng)域.歷史上有的數(shù)學(xué)家勇于開辟新的園地,而缺乏縝密的推理;有的數(shù)學(xué)家偏重于邏輯證明,而對新領(lǐng)域的開拓卻徘徊不前.阿基米德則兼有二者之長,他常常通過實(shí)踐直觀地洞察到事物的本質(zhì),然后運(yùn)用邏輯方法使經(jīng)驗(yàn)上升為理論(如浮力問題),再用理論去指導(dǎo)實(shí)際工作(如發(fā)明機(jī)械).沒有一位古代的科學(xué)家,像阿基米德那樣將熟練的計(jì)算技巧和嚴(yán)格證明融為一體,將抽象的理論和工程技術(shù)的具體應(yīng)用緊密結(jié)合起來.
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