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1、第1章 勾股定理 　 一、選擇題（共11小題） 1．如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（　?。? A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 2．下列各組線段能構成直角三角形的一組是（　?。? A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6 3．如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（　?。? A．1

2、3cm B．2cm C． cm D．2cm 4．△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，如果a2+b2=c2，那么下列結論正確的是（　?。? A．csinA=a B．bcosB=c C．a(chǎn)tanA=b D．ctanB=b 5．一圓錐體形狀的水晶飾品，母線長是10cm，底面圓的直徑是5cm，點A為圓錐底面圓周上一點，從A點開始繞圓錐側面纏一圈彩帶回到A點，則彩帶最少用多少厘米（接口處重合部分忽略不計）（　?。? A．10πcm B．10cm C．5πcm D．5cm 6．下列四組線段中，可以構成直角三角形的是（　?。? A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D

3、．1，，3 7．a(chǎn)、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊，且a：b：c=1：：，則cosB的值為（　?。? A． B． C． D． 8．如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度為（滑輪上方的部分忽略不計）為（　?。? A．12m B．13m C．16m D．17m 9．下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的邊長，其中能構成直角三角形的是（　?。? A．，， B．1，， C．6，7，8 D．2，3，4 10．如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2，點B到直線b

4、的距離為3，AB=．試在直線a上找一點M，在直線b上找一點N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短，則此時AM+NB=（　?。? A．6 B．8 C．10 D．12 11．如圖，在6個邊長為1的小正方形及其部分對角線構成的圖形中，如圖從A點到B點只能沿圖中的線段走，那么從A點到B點的最短距離的走法共有（　　） A．1種 B．2種 C．3種 D．4種 　 二、填空題（共11小題） 12．已知A，B，C三地位置如圖所示，∠C=90，A，C兩地的距離是4km，B，C兩地的距離是3km，則A，B兩地的距離是　　km；若A地在C地的正東方向，則B地在C地的　　方向． 13．

5、太原市公共自行車的建設速度、單日租騎量等四項指標穩(wěn)居全國首位．公共自行車車樁的截面示意圖如圖所示，AB⊥AD，AD⊥DC，點B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，則點A到地面的距離是　　cm． 14．如圖是根據(jù)某公園的平面示意圖建立的平面直角坐標系，公園的入口位于坐標原點O，古塔位于點A（400，300），從古塔出發(fā)沿射線OA方向前行300m是盆景園B，從盆景園B向左轉90后直行400m到達梅花閣C，則點C的坐標是　　． 15．如圖，小明從A地沿北偏東60方向走2千米到B地，再從B地正南方向走3千米到C地，此時小明距離

6、A地　　千米（結果可保留根號）． 16．如圖，一只螞蟻沿著邊長為2的正方體表面從點A出發(fā)，經(jīng)過3個面爬到點B，如果它運動的路徑是最短的，則AC的長為　　． 17．如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行　　米． 18．如圖，小聰用一塊有一個銳角為30的直角三角板測量樹高，已知小聰和樹都與地面垂直，且相距3米，小聰身高AB為1.7米，則這棵樹的高度=　　米． 19．如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45，∠MBC=30，則警示牌的高CD

7、為　　米（結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)： =1.41， =1.73）． 20．在底面直徑為2cm，高為3cm的圓柱體側面上，用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長度為　　cm．（結果保留π） 21．圖①所示的正方體木塊棱長為6cm，沿其相鄰三個面的對角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點A爬行到頂點B的最短距離為　　cm． 22．如圖，點E是正方形ABCD內(nèi)的一點，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點B順時針旋轉90到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，則∠BE′C=　　度． 　 三、解答

8、題（共8小題） 23．如圖，有兩條公路OM、ON相交成30角，沿公路OM方向離O點80米處有一所學校A．當重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛時，在以P為圓心50米長為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到卡車噪聲的影響，且卡車P與學校A的距離越近噪聲影響越大．若已知重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為18千米/時． （1）求對學校A的噪聲影響最大時卡車P與學校A的距離； （2）求卡車P沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間． 24．“為了安全，請勿超速”．如圖，一條公路建成通車，在某直線路段MN限速60千米/小時，為了檢測車輛是否超速，在公路MN旁設立了觀測點C，從觀測點C測得一小車

9、從點A到達點B行駛了5秒鐘，已知∠CAN=45，∠CBN=60，BC=200米，此車超速了嗎？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73） 25．校車安全是近幾年社會關注的熱點問題，安全隱患主要是超速和超載．某中學九年級數(shù)學活動小組進行了測試汽車速度的實驗，如圖，先在筆直的公路l旁選取一點A，在公路l上確定點B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60，再在AC上確定點D，使得∠BDC=75，測得AD=40米，已知本路段對校車限速是50千米/時，若測得某校車從B到C勻速行駛用時10秒，問這輛車在本路段是否超速？請說明理由（參考數(shù)據(jù)： =1.41， =1.73） 26．如圖，一根長6米的

10、木棒（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，與地面的傾斜角（∠ABO）為60．當木棒A端沿墻下滑至點A′時，B端沿地面向右滑行至點B′． （1）求OB的長； （2）當AA′=1米時，求BB′的長． 27．小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高．小明說：“這樓起碼20層！”小華卻不以為然：“20層？我看沒有，數(shù)數(shù)就知道了！”小明說：“有本事，你不用數(shù)也能明白！”小華想了想說：“沒問題！讓我們來量一量吧！”小明、小華在樓體兩側各選A、B兩點，測量數(shù)據(jù)如圖，其中矩形CDEF表示樓體，AB=150米，CD=10米，∠A=30，∠B=45，（A、C、D、B四點在同一直線上）問： （1

11、）樓高多少米？ （2）若每層樓按3米計算，你支持小明還是小華的觀點呢？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41，≈2.24） 28．如圖，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道．為了加快施工進度，想在小山的另一側同時施工．為了使山的另一側的開挖點C在AB的延長線上，設想過C點作直線AB的垂線L，過點B作一直線（在山的旁邊經(jīng)過），與L相交于D點，經(jīng)測量∠ABD=135，BD=800米，求直線L上距離D點多遠的C處開挖？（≈1.414，精確到1米） 29．小明聽說“武黃城際列車”已經(jīng)開通，便設計了如下問題：如圖，以往從黃石A坐客車到武昌客運站B，現(xiàn)在可以在A坐城際列車到武漢青山站C

12、，再從青山站C坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運站B．設AB=80km，BC=20km，∠ABC=120．請你幫助小明解決以下問題： （1）求A、C之間的距離；（參考數(shù)據(jù)=4.6） （2）若客車的平均速度是60km/h，市內(nèi)的公共汽車的平均速度為40km/h，城際列車的平均速度為180km/h，為了最短時間到達武昌客運站，小明應該選擇哪種乘車方案？請說明理由．（不計候車時間） 30．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設c為最長邊，當a2+b2=c2時，△ABC是直角三角形；當a2+b2≠c2時，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關系，探究△ABC的形狀（按角分類）． （1）當△ABC

13、三邊分別為6、8、9時，△ABC為　　三角形；當△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為　　三角形． （2）猜想，當a2+b2　　c2時，△ABC為銳角三角形；當a2+b2　　c2時，△ABC為鈍角三角形． （3）判斷當a=2，b=4時，△ABC的形狀，并求出對應的c的取值范圍． 　 第1章 勾股定理 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共11小題） 1．如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（　?。? A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 【考點】勾股定理的應用． 【專題】應用

14、題． 【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出． 【解答】解：如圖，設大樹高為AB=10m， 小樹高為CD=4m， 過C點作CE⊥AB于E，則EBDC是矩形， 連接AC， ∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m， 在Rt△AEC中，AC==10m， 故選B． 【點評】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關鍵． 　 2．下列各組線段能構成直角三角形的一組是（　?。? A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6

15、 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個是直角三角形判定則可．如果有這種關系，這個就是直角三角形． 【解答】解：A、∵302+402=502，∴該三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正確； B、∵72+122≠132，∴該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故錯誤； C、∵52+92≠122，∴該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故錯誤； D、∵32+42≠62，∴該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故錯誤； 故選A． 【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應用

16、勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，進而作出判斷． 　 3．如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（　　） A．13cm B．2cm C． cm D．2cm 【考點】平面展開-最短路徑問題． 【分析】將容器側面展開，建立A關于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求． 【解答】解：如圖： ∵高為12cm，底面

17、周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒， 此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點A處， ∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm， ∴將容器側面展開，作A關于EF的對稱點A′， 連接A′B，則A′B即為最短距離， A′B= = =13（Cm）． 故選：A． 【點評】本題考查了平面展開﹣﹣﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵．同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力． 　 4．△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，如果a2+b2=c2，那么下列結論正確的是（　?。? A．csinA

18、=a B．bcosB=c C．a(chǎn)tanA=b D．ctanB=b 【考點】勾股定理的逆定理；銳角三角函數(shù)的定義． 【分析】由于a2+b2=c2，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得到正確選項． 【解答】解：∵a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90． A、sinA=，則csinA=a．故本選項正確； B、cosB=，則cosBc=a．故本選項錯誤； C、tanA=，則=b．故本選項錯誤； D、tanB=，則atanB=b．故本選項錯誤． 故選A． 【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理的逆定理．判

19、斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可． 　 5．一圓錐體形狀的水晶飾品，母線長是10cm，底面圓的直徑是5cm，點A為圓錐底面圓周上一點，從A點開始繞圓錐側面纏一圈彩帶回到A點，則彩帶最少用多少厘米（接口處重合部分忽略不計）（　?。? A．10πcm B．10cm C．5πcm D．5cm 【考點】平面展開-最短路徑問題；圓錐的計算． 【專題】計算題． 【分析】利用圓錐側面展開圖的弧長等于底面圓的周長，進而得出扇形圓心角的度數(shù)，再利用勾股定理求出AA′的長． 【解答】解：由兩點間直線距離最短可知，圓錐側面展開圖AA′最短， 由題意可得

20、出：OA=OA′=10cm， ==5π， 解得：n=90， ∴∠AOA′=90， ∴AA′==10（cm）， 故選：B． 【點評】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題，得出∠AOA′的度數(shù)是解題關鍵． 　 6．下列四組線段中，可以構成直角三角形的是（　?。? A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 【考點】勾股定理的逆定理． 【專題】計算題． 【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可． 【解答】解：A、42+52=41≠62，不可以構成直角三角形，故A選項錯誤； B、1.52+22=6.25=2.52，

21、可以構成直角三角形，故B選項正確； C、22+32=13≠42，不可以構成直角三角形，故C選項錯誤； D、12+（）2=3≠32，不可以構成直角三角形，故D選項錯誤． 故選：B． 【點評】本題考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形． 　 7． a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊，且a：b：c=1：：，則cosB的值為（　?。? A． B． C． D． 【考點】勾股定理的逆定理；銳角三角函數(shù)的定義． 【專題】計算題． 【分析】先由勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再利用余弦函數(shù)的定義即可求解． 【

22、解答】解：∵a：b：c=1：：， ∴b=a，c=a， ∴a2+b2=a2+（a）2=3a2=c2， ∴△ABC是直角三角形，∠C=90， ∴cosB===． 故選：B． 【點評】本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形，同時考查了余弦函數(shù)的定義：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA． 　 8．（2013?濟南）如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度為（滑輪上方的部分忽略不計）為（　　） A．1

23、2m B．13m C．16m D．17m 【考點】勾股定理的應用． 【專題】應用題． 【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，設旗桿高度為x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x． 【解答】解：設旗桿高度為x，則AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m， 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2， 解得：x=17， 即旗桿的高度為17米． 故選：D． 【點評】本題考查了勾股定理的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，構造直角三角形的一般方法就是作垂線． 　 9．下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的

24、邊長，其中能構成直角三角形的是（　　） A．，， B．1，， C．6，7，8 D．2，3，4 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是． 【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能構成直角三角形，故錯誤； B、12+（）2=（）2，能構成直角三角形，故正確； C、62+72≠82，不能構成直角三角形，故錯誤； D、22+32≠42，不能構成直角三角形，故錯誤． 故選：B． 【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的

25、逆定理加以判斷即可． 　 10．（2013?鄂州）如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2，點B到直線b的距離為3，AB=．試在直線a上找一點M，在直線b上找一點N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短，則此時AM+NB=（　?。? A．6 B．8 C．10 D．12 【考點】勾股定理的應用；線段的性質：兩點之間線段最短；平行線之間的距離． 【專題】壓軸題． 【分析】MN表示直線a與直線b之間的距離，是定值，只要滿足AM+NB的值最小即可，作點A關于直線a的對稱點A′，并延長AA′，過點B作BE⊥AA′于點E，連接A′B交直線b于點N，過點N作N

26、M⊥直線a，連接AM，則可判斷四邊形AA′NM是平行四邊形，得出AM=A′N，由兩點之間線段最短，可得此時AM+NB的值最?。^點B作BE⊥AA′，交AA′于點E，在Rt△ABE中求出BE，在Rt△A′BE中求出A′B即可得出AM+NB． 【解答】解：作點A關于直線a的對稱點A′，并延長AA′，過點B作BE⊥AA′于點E，連接A′B交直線b于點N，過點N作NM⊥直線a，連接AM， ∵A到直線a的距離為2，a與b之間的距離為4， ∴AA′=MN=4， ∴四邊形AA′NM是平行四邊形， ∴AM+NB=A′N+NB=A′B， 過點B作BE⊥AA′，交AA′于點E， 易得AE=2+4+3

27、=9，AB=2，A′E=2+3=5， 在Rt△AEB中，BE==， 在Rt△A′EB中，A′B==8． 故選：B． 【點評】本題考查了勾股定理的應用、平行線之間的距離，解答本題的關鍵是找到點M、點N的位置，難度較大，注意掌握兩點之間線段最短． 　 11．如圖，在6個邊長為1的小正方形及其部分對角線構成的圖形中，如圖從A點到B點只能沿圖中的線段走，那么從A點到B點的最短距離的走法共有（　?。? A．1種 B．2種 C．3種 D．4種 【考點】勾股定理的應用． 【專題】計算題． 【分析】如圖所示，找出從A點到B點的最短距離的走法即可． 【解答】解：根據(jù)題意得出最短路程如

28、圖所示， 最短路程長為+1=2+1， 則從A點到B點的最短距離的走法共有3種， 故選：C． 【點評】此題考查了勾股定理的應用，弄清題意是解本題的關鍵． 　 二、填空題（共11小題） 12．（2015?廈門）已知A，B，C三地位置如圖所示，∠C=90，A，C兩地的距離是4km，B，C兩地的距離是3km，則A，B兩地的距離是　5　km；若A地在C地的正東方向，則B地在C地的　正北　方向． 【考點】勾股定理的應用；方向角． 【分析】根據(jù)勾股定理來求AB的長度．由于∠C=90，A地在C地的正東方向，則B地在C地的正北方向． 【解答】解：∵∠C=90，A，C兩地的距離是4km

29、，B，C兩地的距離是3km， ∴AB===5（km）． 又∵A地在C地的正東方向，則B地在C地的 正北方向． 故答案是：5；正北． 【點評】本題考查了勾股定理的應用和方向角．勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數(shù)學模型解決現(xiàn)實世界的實際問題． 　 13．太原市公共自行車的建設速度、單日租騎量等四項指標穩(wěn)居全國首位．公共自行車車樁的截面示意圖如圖所示，AB⊥AD，AD⊥DC，點B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，則點A到地面的距離是　　cm． 【考點】勾股定理的應用． 【分析】分別過點A作AM⊥BF于

30、點M，過點C作CN⊥AB于點N，利用勾股定理得出BN的長，再利用相似三角形的判定與性質得出即可． 【解答】解：過點A作AM⊥BF于點M，過點C作CN⊥AB于點N， ∵AD=24cm，則NC=24cm， ∴BN===7（cm）， ∵∠AMB=∠CNB=90，∠ABM=∠CBN， ∴△BNC∽△BMA， ∴=， ∴=， 則：AM==， 故點A到地面的距離是： +4=（m）． 故答案為：． 【點評】此題主要考查了勾股定理的應用以及相似三角形的判定與性質，得出△BNC∽△BMA是解題關鍵． 　 14．如圖是根據(jù)某公園的平面示意圖建立的平面直角坐標系，公園的入口位于坐標原點

31、O，古塔位于點A（400，300），從古塔出發(fā)沿射線OA方向前行300m是盆景園B，從盆景園B向左轉90后直行400m到達梅花閣C，則點C的坐標是?。?00，800）　． 【考點】勾股定理的應用；坐標確定位置；全等三角形的應用． 【分析】根據(jù)題意結合全等三角形的判定與性質得出△AOD≌△ACB（SAS），進而得出C，A，D也在一條直線上，求出CD的長即可得出C點坐標． 【解答】解：連接AC， 由題意可得：AB=300m，BC=400m， 在△AOD和△ACB中 ∵， ∴△AOD≌△ACB（SAS）， ∴∠CAB=∠OAD， ∵B、O在一條直線上， ∴C，A，D也在一條直

32、線上， ∴AC=AO=500m，則CD=AC=AD=800m， ∴C點坐標為：（400，800）． 故答案為：（400，800）． 【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及勾股定理，得出C，A，D也在一條直線上是解題關鍵． 　 15．如圖，小明從A地沿北偏東60方向走2千米到B地，再從B地正南方向走3千米到C地，此時小明距離A地　　千米（結果可保留根號）． 【考點】勾股定理的應用；方向角． 【分析】根據(jù)題意利用銳角三角函數(shù)得出BD，AD的長，再利用勾股定理得出AC的長． 【解答】解：如圖所示，由題意可得：AB=2，∠B=60， 則BD=ABcos60=1（k

33、m）， AD=ABsin60=（km）， 故DC=2km， 則AC===（km）． 故答案為：． 【點評】此題主要考查了勾股定理的應用以及解直角三角形的應用，得出AD，DC的長是解題關鍵． 　 16．如圖，一只螞蟻沿著邊長為2的正方體表面從點A出發(fā)，經(jīng)過3個面爬到點B，如果它運動的路徑是最短的，則AC的長為　?。? 【考點】平面展開-最短路徑問題． 【專題】計算題． 【分析】將正方體展開，右邊與后面的正方形與前面正方形放在一個面上，此時AB最短，根據(jù)三角形MCB與三角形ACN相似，由相似得比例得到MC=2NC，求出CN的長，利用勾股定理求出AC的長即可． 【解答】解

34、：將正方體展開，右邊與后面的正方形與前面正方形放在一個面上，展開圖如圖所示，此時AB最短， ∵△BCM∽△ACN， ∴=，即==2，即MC=2NC， ∴CN=MN=， 在Rt△ACN中，根據(jù)勾股定理得：AC==， 故答案為：． 【點評】此題考查了平面展開﹣最短路徑問題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，勾股定理，熟練求出CN的長是解本題的關鍵． 　 17．如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行　10　米． 【考點】勾股定理的應用． 【專題】幾何圖形問題；轉化思想． 【分析】根據(jù)“兩點之間

35、線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出． 【解答】解：如圖，設大樹高為AB=12m， 小樹高為CD=6m， 過C點作CE⊥AB于E，則四邊形EBDC是矩形， 連接AC， ∴EB=6m，EC=8m，AE=AB﹣EB=12﹣6=6（m）， 在Rt△AEC中， AC==10（m）． 故小鳥至少飛行10m． 故答案為：10． 【點評】本題考查了勾股定理的應用，根據(jù)實際得出直角三角形，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力． 　 18．如圖，小聰用一塊有一個銳角為30的直角三角板測量樹高，已知小聰和樹都與地面垂直，且相距3米，

36、小聰身高AB為1.7米，則這棵樹的高度=　4.7　米． 【考點】勾股定理的應用． 【分析】先根據(jù)題意得出AD的長，在Rt△ACD中利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長，由CE=CD+DE即可得出結論． 【解答】解：由題意，易知∠CAD=30，∠CDA=90，AD=3，CE⊥BE，DE=AB=1.7米， ∴tan∠CAD=， ∴CD=3=3， ∴CE=3+1.7=4.7（米）． 即這棵樹的高度為4.7米． 故答案為：4.7． 【點評】本題考查的是解直角三角形在實際生活中的應用，難度適中，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關鍵． 　 19．如圖，是矗立在高速公

37、路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45，∠MBC=30，則警示牌的高CD為　2.9　米（結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)： =1.41， =1.73）． 【考點】勾股定理的應用． 【分析】首先根據(jù)等腰直角三角形的性質可得DM=AM=4m，再根據(jù)勾股定理可得MC2+MB2=（2MC）2，代入數(shù)可得答案． 【解答】解：由題意可得：∵AM=4米，∠MAD=45， ∴DM=4m， ∵AM=4米，AB=8米， ∴MB=12米， ∵∠MBC=30， ∴BC=2MC， ∴MC2+MB2=（2MC）2， MC2+122=（2MC）2， ∴MC

38、=4， 則DC=4﹣4≈2.9（米）， 故答案為：2.9． 【點評】此題主要考查了勾股定理得應用，關鍵是掌握直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方． 　 20．在底面直徑為2cm，高為3cm的圓柱體側面上，用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長度為　3　cm．（結果保留π） 【考點】平面展開-最短路徑問題． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)繞兩圈到C，則展開后相當于求出直角三角形ACB的斜邊長，并且AB的長為圓柱的底面圓的周長的1.5倍，BC的長為圓柱的高，根據(jù)勾股定理求出即可． 【解答】解：如圖所示， ∵無彈性的絲帶從A至C，繞了1.5圈，

39、 ∴展開后AB=1.52π=3πcm，BC=3cm， 由勾股定理得：AC===3cm． 故答案為：3． 【點評】本題考查了平面展開﹣最短路線問題和勾股定理的應用，能正確畫出圖形是解此題的關鍵，用了數(shù)形結合思想． 　 21．圖①所示的正方體木塊棱長為6cm，沿其相鄰三個面的對角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點A爬行到頂點B的最短距離為?。?+3）　cm． 【考點】平面展開-最短路徑問題；截一個幾何體． 【專題】壓軸題；數(shù)形結合． 【分析】要求螞蟻爬行的最短距離，需將圖②的幾何體表面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結果．

40、 【解答】解：如圖所示： △BCD是等腰直角三角形，△ACD是等邊三角形， 在Rt△BCD中，CD==6cm， ∴BE=CD=3cm， 在Rt△ACE中，AE==3cm， ∴從頂點A爬行到頂點B的最短距離為（3+3）cm． 故答案為：（3+3）． 【點評】考查了平面展開﹣最短路徑問題，本題就是把圖②的幾何體表面展開成平面圖形，根據(jù)等腰直角三角形的性質和等邊三角形的性質解決問題． 　 22．如圖，點E是正方形ABCD內(nèi)的一點，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點B順時針旋轉90到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，則∠BE′C=　135　度． 【考點】

41、勾股定理的逆定理；正方形的性質；旋轉的性質． 【專題】壓軸題． 【分析】首先根據(jù)旋轉的性質得出，△EBE′是直角三角形，進而得出∠BEE′=∠BE′E=45，即可得出答案． 【解答】解：連接EE′ ∵△ABE繞點B順時針旋轉90到△CBE′ ∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形， ∵△ABE與△CE′B全等 ∴BE=BE′=2，∠AEB=∠BE′C ∴∠BEE′=∠BE′E=45， ∵EE′2=22+22=8，AE=CE′=1，EC=3， ∴EC2=E′C2+EE′2， ∴△EE′C是直角三角形， ∴∠EE′C=90， ∴∠AEB=135． 故答案為：135

42、． 【點評】此題主要考查了旋轉的性質，根據(jù)已知得出△EBE′是直角三角形是解題關鍵． 　 三、解答題（共8小題） 23．如圖，有兩條公路OM、ON相交成30角，沿公路OM方向離O點80米處有一所學校A．當重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛時，在以P為圓心50米長為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到卡車噪聲的影響，且卡車P與學校A的距離越近噪聲影響越大．若已知重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為18千米/時． （1）求對學校A的噪聲影響最大時卡車P與學校A的距離； （2）求卡車P沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間． 【考點】勾股定理的應用；垂徑定理的應用． 【分析】

43、（1）直接利用直角三角形中30所對的邊等于斜邊的一半求出即可； （2）根據(jù)題意可知，圖中AB=50m，AD⊥BC，且BD=CD，∠AOD=30，OA=80m；再利用垂徑定理及勾股定理解答即可． 【解答】解：（1）過點A作AD⊥ON于點D， ∵∠NOM=30，AO=80m， ∴AD=40m， 即對學校A的噪聲影響最大時卡車P與學校A的距離為40米； （2）由圖可知：以50m為半徑畫圓，分別交ON于B，C兩點，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=80m， ∵在Rt△AOD中，∠AOB=30， ∴AD=OA=80=40m， 在Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得

44、：BD===30m， 故BC=230=60米，即重型運輸卡車在經(jīng)過BC時對學校產(chǎn)生影響． ∵重型運輸卡車的速度為18千米/小時，即=300米/分鐘， ∴重型運輸卡車經(jīng)過BC時需要60300=0.2（分鐘）=12（秒）． 答：卡車P沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間為12秒． 【點評】此題考查的是垂徑定理與勾股定理在實際生活中的運用，解答此題的關鍵是卡車在哪段路上運行時對學校產(chǎn)生影響． 　 24． “為了安全，請勿超速”．如圖，一條公路建成通車，在某直線路段MN限速60千米/小時，為了檢測車輛是否超速，在公路MN旁設立了觀測點C，從觀測點C測得一小車從點A到達點B

45、行駛了5秒鐘，已知∠CAN=45，∠CBN=60，BC=200米，此車超速了嗎？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73） 【考點】勾股定理的應用． 【分析】根據(jù)題意結合銳角三角函數(shù)關系得出BH，CH，AB的長進而求出汽車的速度，進而得出答案． 【解答】解：此車沒有超速． 理由：過C作CH⊥MN， ∵∠CBN=60，BC=200米， ∴CH=BC?sin60=200=100（米）， BH=BC?cos60=100（米）， ∵∠CAN=45， ∴AH=CH=100米， ∴AB=100﹣100≈73（m）， ∵60千米/小時=m/s， ∴=14.6（m/s）＜≈1

46、6.7（m/s）， ∴此車沒有超速． 【點評】此題主要考查了勾股定理以及銳角三角函數(shù)關系的應用，得出AB的長是解題關鍵． 　 25．校車安全是近幾年社會關注的熱點問題，安全隱患主要是超速和超載．某中學九年級數(shù)學活動小組進行了測試汽車速度的實驗，如圖，先在筆直的公路l旁選取一點A，在公路l上確定點B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60，再在AC上確定點D，使得∠BDC=75，測得AD=40米，已知本路段對校車限速是50千米/時，若測得某校車從B到C勻速行駛用時10秒，問這輛車在本路段是否超速？請說明理由（參考數(shù)據(jù)： =1.41， =1.73） 【考點】勾股定理的應用． 【分析】

47、過點D作DE⊥AB于點E，證明△BCD≌△BED，在Rt△ADE中求出DE，繼而得出CD，計算出AC的長度后，在Rt△ABC中求出BC，繼而可判斷是否超速． 【解答】解：過點D作DE⊥AB于點E， ∵∠CDB=75， ∴∠CBD=15，∠EBD=15， 在Rt△CBD和Rt△EBD中， ∵， ∴△CBD≌△EBD， ∴CD=DE， 在Rt△ADE中，∠A=60，∴∠ADE=30，AD=40米， 則AE=AD=20米， ∴DE==20米， ∴AC=AD+CD=AD+DE=（40+20）米， 在Rt△ABC中，∵∠A=60， ∴∠ABC=30， ∴AB=2AC=80+4

48、0， ∴BC==（40+60）米， 則速度==4+6≈12.92米/秒， ∵12.92米/秒=46.512千米/小時， ∴該車沒有超速． 【點評】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，求出BC的長度，需要多次解直角三角形，有一定難度． 　 26．如圖，一根長6米的木棒（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，與地面的傾斜角（∠ABO）為60．當木棒A端沿墻下滑至點A′時，B端沿地面向右滑行至點B′． （1）求OB的長； （2）當AA′=1米時，求BB′的長． 【考點】勾股定理的應用；解直角三角形的應用． 【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)解直

49、角三角形AOB即可； （2）首先求出OA的長和OA′的長，再根據(jù)勾股定理求出OB′的長即可． 【解答】解：（1）根據(jù)題意可知：AB=6，∠ABO=60，∠AOB=90， 在Rt△AOB中，∵cos∠ABO=， ∴OB=ABcos∠ABO=6cos60=3米， ∴OB的長為3米； （2）根據(jù)題意可知A′B′=AB=6米， 在Rt△AOB中，∵sin∠ABO=， ∴OA=ABsin∠ABO=6sin60=9米， ∵OA′=OA﹣AA′，AA′=1米， ∴OA′=8米， 在Rt△A′OB′中，OB′=2米， ∴BB′=OB′﹣OB=（2﹣3）米． 【點評】本題考查了勾股

50、定理的應用和特殊角的銳角三角函數(shù)，是中考常見題型． 　 27．小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高．小明說：“這樓起碼20層！”小華卻不以為然：“20層？我看沒有，數(shù)數(shù)就知道了！”小明說：“有本事，你不用數(shù)也能明白！”小華想了想說：“沒問題！讓我們來量一量吧！”小明、小華在樓體兩側各選A、B兩點，測量數(shù)據(jù)如圖，其中矩形CDEF表示樓體，AB=150米，CD=10米，∠A=30，∠B=45，（A、C、D、B四點在同一直線上）問： （1）樓高多少米？ （2）若每層樓按3米計算，你支持小明還是小華的觀點呢？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41，≈2.24） 【考點】勾股定理的

51、應用． 【專題】應用題． 【分析】（1）設樓高為x，則CF=DE=x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分別用x表示AC、BD的值，然后根據(jù)AC+CD+BD=150，求出x的值即可； （2）根據(jù)（1）求出的樓高x，然后求出20層樓的高度，比較x和20層樓高的大小即可判斷誰的觀點正確． 【解答】解：（1）設樓高為x米，則CF=DE=x米， ∵∠A=30，∠B=45，∠ACF=∠BDE=90， ∴AC=x米，BD=x米， ∴x+x=150﹣10， 解得x==70（﹣1）（米）， ∴樓高70（﹣1）米． （2）x=70（﹣1）≈70（1.73﹣1）=700.73=51.1米＜32

52、0米， ∴我支持小華的觀點，這樓不到20層． 【點評】本題考查了勾股定理的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用方程思想求解，難度一般． 　 28．如圖，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道．為了加快施工進度，想在小山的另一側同時施工．為了使山的另一側的開挖點C在AB的延長線上，設想過C點作直線AB的垂線L，過點B作一直線（在山的旁邊經(jīng)過），與L相交于D點，經(jīng)測量∠ABD=135，BD=800米，求直線L上距離D點多遠的C處開挖？（≈1.414，精確到1米） 【考點】勾股定理的應用． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】首先證明△BCD是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理可得CD2

53、+BC2=BD2，然后再代入BD=800米進行計算即可． 【解答】解：∵CD⊥AC， ∴∠ACD=90， ∵∠ABD=135， ∴∠DBC=45， ∴∠D=45， ∴CB=CD， 在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2， 2CD2=8002， CD=400≈566（米）， 答：直線L上距離D點566米的C處開挖． 【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結合的思想的應用． 　 29．小明聽說“武黃城際列車”已經(jīng)開通，便設計了如下問

54、題：如圖，以往從黃石A坐客車到武昌客運站B，現(xiàn)在可以在A坐城際列車到武漢青山站C，再從青山站C坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運站B．設AB=80km，BC=20km，∠ABC=120．請你幫助小明解決以下問題： （1）求A、C之間的距離；（參考數(shù)據(jù)=4.6） （2）若客車的平均速度是60km/h，市內(nèi)的公共汽車的平均速度為40km/h，城際列車的平均速度為180km/h，為了最短時間到達武昌客運站，小明應該選擇哪種乘車方案？請說明理由．（不計候車時間） 【考點】勾股定理的應用． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】（1）過點C作AB的垂線，交AB的延長線于E點，利用勾股定理求得AC的長即可；

55、 （2）分別求得乘車時間，然后比較即可得到答案． 【解答】解：（1）過點C作AB的垂線，交AB的延長線于E點， ∵∠ABC=120，BC=20， ∴BE=10， 在△ACE中， ∵AC2=8100+300， ∴； （2）乘客車需時間（小時）； 乘列車需時間（小時）； ∴選擇城際列車． 【點評】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是正確的構造直角三角形． 　 30．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設c為最長邊，當a2+b2=c2時，△ABC是直角三角形；當a2+b2≠c2時，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關系，探究△ABC的形狀（按角分類）． （

56、1）當△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為　銳角　三角形；當△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為　鈍角　三角形． （2）猜想，當a2+b2?。尽2時，△ABC為銳角三角形；當a2+b2　＜　c2時，△ABC為鈍角三角形． （3）判斷當a=2，b=4時，△ABC的形狀，并求出對應的c的取值范圍． 【考點】勾股定理的逆定理；勾股定理． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）利用勾股定理列式求出兩直角邊為6、8時的斜邊的值，然后作出判斷即可； （2）根據(jù)（1）中的計算作出判斷即可； （3）根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊求出最長邊c點的最大值，然后得到c的取值范圍，然后分情

57、況討論即可得解． 【解答】解：（1）兩直角邊分別為6、8時，斜邊==10， ∴△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為銳角三角形； 當△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為鈍角三角形； 故答案為：銳角；鈍角； （2）當a2+b2＞c2時，△ABC為銳角三角形； 當a2+b2＜c2時，△ABC為鈍角三角形； 故答案為：＞；＜； （3）∵c為最長邊，2+4=6， ∴4≤c＜6， a2+b2=22+42=20， ①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2， ∴當4≤c＜2時，這個三角形是銳角三角形； ②a2+b2=c2，即c2=20，c=2， ∴當c=2時，這個三角形是直角三角形； ③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2， ∴當2＜c＜6時，這個三角形是鈍角三角形． 【點評】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，讀懂題目信息，理解三角形為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時的三條邊的數(shù)量關系是解題的關鍵． 　 36 / 36文檔可自由編輯打印