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海門(mén)中學(xué)2008~2009第一學(xué)期高三期中考試(數(shù)學(xué)試卷)

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1、海門(mén)中學(xué)2008~2009第一學(xué)期高三期中考試 數(shù) 學(xué) 試 卷 一、選擇題:本大題共14小題,每小題5分,共70分 1.設(shè)全集,集合,集合,則=__ 2.復(fù)數(shù),,則復(fù)數(shù)=________ 3. 若曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)3x-y=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 . 4.設(shè)是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則 _______ 5. 如圖,已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為1,高為8, 一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā),沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)的 最短路線(xiàn)的長(zhǎng)為 . 6.已知為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊,向量 .若,且 ,則角的大小分別

2、為 7. 如圖是利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的的直觀圖,已知=4,且 的面積為16,過(guò)作軸,則的長(zhǎng)為 . 8. 若一系列函數(shù)的解析式相同,值域相同,但其定義域不同,則稱(chēng)這些函數(shù)為“同族函數(shù)”,那么函數(shù)解析式為y=x2,值域?yàn)閧1,4}的“同族函數(shù)”共有_________個(gè) 9.在中,、分別為角、的對(duì)邊,若,,,則邊的長(zhǎng)等于    ?。? 10.一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形,其側(cè)棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,且該六棱柱的高為,底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積為     ?。? 11.已知,則 A C B O P 1

3、2.如圖,O,A,B是平面上的三點(diǎn),向量 設(shè)P為線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)CP上任意一點(diǎn),向量 ,則= . 13.若對(duì)任意實(shí)數(shù)t, 都有.記,則 . 14. 已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖像如圖所示,對(duì)于滿(mǎn)足的任意、,給出下列結(jié)論: ① ; ② ; ③ . 其中正確結(jié)論的序號(hào)是      ?。ò阉姓_結(jié)論的序號(hào)都填上) 二、解答題:共6小題,共90分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 15.(本小題滿(mǎn)分14分) 已知向量,,函數(shù). (Ⅰ)求的最大值及相應(yīng)的的值; (Ⅱ)若,求的值.

4、 16.(本小題滿(mǎn)分14分)在中,已知內(nèi)角,邊.設(shè)內(nèi)角,周長(zhǎng)為.(1)求函數(shù)的解析式和定義域; (2)求的最大值. 17.(本小題滿(mǎn)分15分)如圖,在四棱錐中,平面平面,,是等邊三角形,已知,. (Ⅰ)設(shè)是上的一點(diǎn),證明:平面平面; (Ⅱ)求四棱錐的體積. A B C M P D 18.(本小題滿(mǎn)分15分)已知,(),直線(xiàn)與函數(shù)、的圖像都相切,且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1. (Ⅰ)求直線(xiàn)的方程及的值; (Ⅱ)若(其中是的導(dǎo)函數(shù)),求函數(shù)的

5、最大值; (Ⅲ)當(dāng)時(shí),求證:. 19. (本小題滿(mǎn)分16分)設(shè),定義,其中n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若,其中n∈N*,試比較9與大小,并說(shuō)明理由. 20. (本小題滿(mǎn)分16分)已知定理:“若為常數(shù),滿(mǎn)足,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)”.設(shè)函數(shù),定義域?yàn)锳. (1)試證明的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng); (2)當(dāng)時(shí),求證:; (3)對(duì)于給定的,設(shè)計(jì)構(gòu)造過(guò)程:,…,.如果,構(gòu)造過(guò)程將繼續(xù)下去;如果,構(gòu)造過(guò)程將停止.若對(duì)任意,構(gòu)造過(guò)程可以無(wú)限進(jìn)行下去,求a的值.

6、 海門(mén)中學(xué)2008~2009第一學(xué)期高三期中考試 參考答案 一、選擇題:本大題共14小題,每小題6分,共84分 1.設(shè)全集,集合,集合,則=__ 2.復(fù)數(shù),,則復(fù)數(shù)=____1+2i ____ 3. 若曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)3x-y=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (1,0) . 4.設(shè)是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則 ___-1____ 5. 如圖,已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為1,高為8, 一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā),沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)的 最短路線(xiàn)的長(zhǎng)為 .

7、 6.已知為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊,向量 .若,且 ,則角的大小分別為 7. 如圖是利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的的直觀圖,已知=4,且 的面積為16,過(guò)作軸,則的長(zhǎng)為 . 8. 若一系列函數(shù)的解析式相同,值域相同,但其定義域不同,則稱(chēng)這些函數(shù)為“同族函數(shù)”,那么函數(shù)解析式為y=x2,值域?yàn)閧1,4}的“同族函數(shù)”共有_____6____個(gè) 9.在中,、分別為角、的對(duì)邊,若,,,則邊的長(zhǎng)等于     ?。? 10.一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形,其側(cè)棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,且該六棱柱的高為,底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的

8、體積為      . A C B O P 11.已知,則 12.如圖,O,A,B是平面上的三點(diǎn),向量 設(shè)P為線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)CP上任意一點(diǎn),向量 ,則= ▲ . 13.若對(duì)任意實(shí)數(shù)t, 都有.記,則 -1 . 14. 已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖像如圖所示,對(duì)于滿(mǎn)足的任意、,給出下列結(jié)論: ④ ; ⑤ ; ⑥ . 其中正確結(jié)論的序號(hào)是  ?、冖邸   。ò阉姓_結(jié)論的序號(hào)都填上) 二、解答題:共4小題,共76分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 15.(本小題滿(mǎn)分18分) 已知向量,,函數(shù). (Ⅰ

9、)求的最大值及相應(yīng)的的值; (Ⅱ)若,求的值. 解:(Ⅰ)因?yàn)?,,所? . 因此,當(dāng),即()時(shí),取得最大值; (Ⅱ)由及得,兩邊平方得 ,即. 因此,. 16.(本小題滿(mǎn)分18分) 在中,已知內(nèi)角,邊.設(shè)內(nèi)角,周長(zhǎng)為. (1)求函數(shù)的解析式和定義域; (2)求的最大值. 解:(1)的內(nèi)角和, 由得. 應(yīng)用正弦定理,知, . 因?yàn)椋? 所以 (2)因?yàn)? , 所以,當(dāng),即時(shí),取得最大值. 17.(本小題滿(mǎn)分20分) A B C M P D 如圖,在四棱錐中,平面平面,

10、,是等邊三角形,已知,. (Ⅰ)設(shè)是上的一點(diǎn),證明:平面平面; (Ⅱ)求四棱錐的體積. (Ⅰ)證明:在中, 由于,,, A B C M P D O 所以. 故. 又平面平面,平面平面, 平面, 所以平面, 又平面, 故平面平面. (Ⅱ)解:過(guò)作交于, 由于平面平面, 所以平面. 因此為四棱錐的高, 又是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形. 因此. 在底面四邊形中,,, 所以四邊形是梯形,在中,斜邊邊上的高為, 此即為梯形的高, 所以四邊形的面積為. 故. 18.(本小題滿(mǎn)分20分) 已知,(),直線(xiàn)與函數(shù)、的圖像都 相切,且與函數(shù)的圖像

11、的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1. (Ⅰ)求直線(xiàn)的方程及的值; (Ⅱ)若(其中是的導(dǎo)函數(shù)),求函數(shù)的最大值; (Ⅲ)當(dāng)時(shí),求證:. 解:(Ⅰ)依題意知:直線(xiàn)是函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn),故其斜率 , 所以直線(xiàn)的方程為. 又因?yàn)橹本€(xiàn)與的圖像相切,所以由 , 得(不合題意,舍去); (Ⅱ)因?yàn)椋ǎ?,所? . 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),. 因此,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. 因此,當(dāng)時(shí),取得最大值; (Ⅲ)當(dāng)時(shí),.由(Ⅱ)知:當(dāng)時(shí),,即.因此,有. 19.設(shè),定義,其中n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若,其中n∈N*,試比較9與大小,并說(shuō)明理由. (1)=2,,,∴

12、 ∴,∴數(shù)列{an}上首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列, (2) 兩式相減得: 當(dāng)n=1時(shí),9<;當(dāng)n=2時(shí),9<; 當(dāng)n≥3時(shí),22n=[(1+1)n]2=()2>(2n+1)2,∴9>. 20、已知定理:“若為常數(shù),滿(mǎn)足,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)”.設(shè)函數(shù),定義域?yàn)锳. (1)試證明的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng); (2)當(dāng)時(shí),求證:; (3)對(duì)于給定的,設(shè)計(jì)構(gòu)造過(guò)程:,…,.如果,構(gòu)造過(guò)程將繼續(xù)下去;如果,構(gòu)造過(guò)程將停止.若對(duì)任意,構(gòu)造過(guò)程可以無(wú)限進(jìn)行下去,求a的值. 解(1)∵,∴. 由已知定理,得的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng). (2)先證明在上是增函數(shù),只要證明在上是增函數(shù). 設(shè),則, ∴在上是增函數(shù). 再由在上是增函數(shù),得 當(dāng)時(shí),,即. (3)∵構(gòu)造過(guò)程可以無(wú)限進(jìn)行下去,∴對(duì)任意恒成立. ∴方程無(wú)解,即方程無(wú)解或有唯一解. ∴或由此得到.

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