八年級數(shù)學下冊12.3二次根式的加減素材（打包25套）新蘇科版.zip,年級,數(shù)學,下冊,12.3,二次,根式,加減,素材,打包,25,新蘇科版 “三步六字”圍攻二次根式的加減 二次根式加減時，必須先將所給式子中的每個二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，所以進行二次根式的加減運算時，可以分成“三步六字”圍攻，智取其值. 一、運算過程解讀 第一步：化簡——把每一個根式化簡成“最簡二次根式” 所謂“最簡二次根式”就是二次根式必須符合如下的兩個特征： （1）被開方數(shù)不含分母.如果被開方數(shù)是分式或分數(shù)，可以利用，然后再分母有理化得到.如. （2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.也就是說應該把能開得盡方的因數(shù)或因式開出來.如 第二步：觀察——觀察被開方數(shù)相同的項. 在第一步化簡的基礎上，觀察尋找出被開方數(shù)相同的項，將它們分別聚集在一起，特別要注意一定是化簡后再識別，防止出現(xiàn)認為與，與被開方數(shù)是不相同錯誤現(xiàn)象. 第三步：合并——合并同類二次根式（即被開方數(shù)相同二次根式） 與整式的合并同類項相似，合并同類二次根式時，只是把被開方數(shù)相同的二次根式外面的因數(shù)或因式進行加減，根式內(nèi)部的被開方數(shù)（或式）保持不變. 二、典型案例剖析 【例1】（臨沂）－－ 分析：因為題中的二次根式都不是最簡二次根式，因此必須對每個二次根式先進行化簡. 解：原式=－－ =3－－2 =（3－2）－ =－ 【例2】（烏魯木齊市）計算：． 分析：本題是加減乘除的混合運算，根據(jù)運算順序應當先算有括號內(nèi)的，事實上括號內(nèi)就是二次根式的加減，可用“三步六字”去解決. 解：原式 ． 【例3】（煙臺市）化簡： 分析：本題是一個較為復雜的“二次根式的加減”運算問題，需要搞清兩個性質(zhì)，一個就是“任何不等于0的數(shù)的零次冪都等于1”，另一個就是二次根式的性質(zhì)：，還要掌握一個去括號法則：去掉括號和括號前的“－”時，括號內(nèi)各項都要變號. 解： ． ． 創(chuàng)新展臺： 【例4】（邵陽市）閱讀下列材料，然后回答問題.　 在進行二次根式運算時，我們有時會碰上如，，一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡： ＝；……① ＝……② ＝＝　……③ 以上這種化簡的步驟叫做分母有理化。 還可以用以下方法化簡： ?。健堋　? （1) 請用不同的方法化簡. 　參照③式得＝_________________________； 　　 參照④式得＝___________________________. ?。?）化簡：。 解：（1）， ； （2）原式= = ==． 3 中考中的“二次根式” 一.選擇題 1. （濰坊）下面計算正確的是（　?。? A、 B、 C、 D、 考點：二次根式的混合運算。 專題：計算題。 分析：根據(jù)二次根式的混合運算方法，分別進行運算即可． 解答：解：A.3+不是同類項無法進行運算，故此選項錯誤； B.===3，故此選項正確； C.=， ×==，故此選項錯誤； D.=﹣2， ∵==2，故此選項錯誤； 故選：B． 點評：此題主要考查了二次根式的混合運算，熟練化簡二次根式后，在加減的過程中，有同類二次根式的要合并；相乘的時候，被開方數(shù)簡單的直接讓被開方數(shù)相乘，再化簡；較大的也可先化簡，再相乘，靈活對待． 2.（菏澤）實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡后為（　?。? A、7 B、﹣7 C、2a﹣15 D、無法確定 考點：二次根式的性質(zhì)與化簡；實數(shù)與數(shù)軸。 分析：先從實數(shù)a在數(shù)軸上的位置，得出a的取值范圍，然后求出（a﹣4）和（a﹣11）的取值范圍，再開方化簡． 解答：解：從實數(shù)a在數(shù)軸上的位置可得， 5＜a＜10， 所以a﹣4＞1， a﹣11＜﹣1， 則， =a﹣4+11﹣a， =7． 故選A． 點評：本題主要考查了二次根式的化簡，正確理解二次根式的算術(shù)平方根等概念． 3. （臨沂）計算﹣6+的結(jié)果是（　?。? A、3﹣2 B、5﹣ C、5﹣ D、2 考點：二次根式的加減法。 分析：根據(jù)二次根式的加減運算，先化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并． 解答：解：﹣6+ =2×﹣6×+2， =﹣2+2， =3﹣2． 故選A． 4. （泰安）下列運算正確的是（　?。? A、 B、 C、 D、 考點：二次根式的混合運算。 專題：計算題。 分析：根據(jù)二次根式運算的法則，分別計算得出各答案的值，即可得出正確答案． 解答：解：A．∵=5，∴故此選項錯誤； B．∵4﹣=4﹣3=，∴故此選項錯誤； C.÷==3，∴故此選項錯誤； D．∵?==6，∴故此選項正確． 故選：D． 點評：此題主要考查了二次根式的混合運算，熟練化簡二次根式后，在加減的過程中，有同類二次根式的要合并；相乘的時候，被開方數(shù)簡單的直接讓被開方數(shù)相乘，再化簡；較大的也可先化簡，再相乘，靈活對待． 5. 二次根式有意義時，x的取值范圍是（　?。? A、x≥ B、x≤﹣ C、x≥﹣ D、x≤ 考點：二次根式有意義的條件；解一元一次不等式。 專題：存在型。 分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，列出不等式，求出x的取值范圍即可． 解答：解：∵二次根式有意義， ∴1+2x≥0， 解得x≥﹣． 故選C． 點評：本題考查的是二次根式有意義的條件及解一元一次不等式，比較簡單． 6.（濟寧）下列各式計算正確的是 A. B. C. D. 考點：二次根式的計算和化簡 專題：計算題 分析：本題考查的是二次根式的加減運算，二次根式的加減運算實質(zhì)是合并同類二次根式，合并時，只要把同類二次根式的系數(shù)相加減即可. 解答：解：不是同類二次根式，因此不能合并，故A錯誤. 不是同類二次根式，因此不能合并，故B錯誤. 是同類二次根式，因此能合并，故C正確. 分母與被開方數(shù)不能直接約分，故D錯誤. 因此答案應選C. 點評：此題考察的是二次根式的加減，內(nèi)容單一，題目比較簡單. 7.（山東煙臺）如果，則（ ） A．a(chǎn)＜ B. a≤ C. a＞ D. a≥ 考點：的化簡 專題：化簡 分析：此題考查二次根式性質(zhì)及其應用，同時考查不等式的解法. 當a≥0時，＝a；當a＜0時，＝－a．此題可直接利用非負性列不等式求解. 具有非負思想是解此類題的關(guān)鍵. 解答：因為二次根式具有非負性，所以1－2a≥0，解得a≤，故選B. 點評：化簡要注意a的符號，教材對這一部分要求不高，這道題屬于直來直去的題目，應該屬于較簡單的題目. 二.填空題 8.計算的結(jié)果是_______. 考點：二次根式的計算和化簡 專題：計算題 分析：本題考查的是二次根式的混合運算. 解答：解： =（—） = =3 故答案為：3． 點評：本題是二次根式的混合運算，題目比較簡單. 9. （日照）已知x，y為實數(shù)，且滿足=0，那么x2011﹣y2011=　﹣2?。? 考點：非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；有理數(shù)的乘方。 專題：計算題。 分析：根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出方程求出x、y的值，代入所求代數(shù)式計算即可． 解答：解：∵=0， ∴+=0， ∴x+1=0，y﹣1=0， 解得x=﹣1，y=1， ∴x2011﹣y2011=（﹣1）2011﹣12011， =﹣1﹣1， =﹣2． 故答案為：﹣2． 點評：本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0． 10.（菏澤）使有意義的x的取值范圍是　x≥． 考點：二次根式有意義的條件。 專題：計算題。 分析：本題主要考查自變量的取值范圍，函數(shù)關(guān)系中主要有二次根式．根據(jù)二次根式的意義，被開方數(shù)是非負數(shù)． 解答：解：根據(jù)題意得：4x﹣1≥0， 解得x≥． 故答案為x≥． 點評：函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)為非負數(shù)． 三.計算題 11.（德州）當時，=． 考點：分式的化簡求值；二次根式的化簡求值。 專題：計算題。 分析：先將分式的分子和分母分別分解因式，約分化簡，然后將x的值代入化簡后的代數(shù)式即可求值． 解答：解：﹣1 =﹣1 =﹣ = =，將x=代入上式中得， 原式===． 故答案為：． 點評：本題主要考查分式求值方法之一：先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應的值代入求出分式的值． 7 二次根式中非負數(shù)的解題功能 非負數(shù)在二次根式中占有極其重要的位置，同學們在解題時應特別注意并充分利用，現(xiàn)分類舉例說明： 一、二次根式中被開方數(shù)的取值范圍是非負數(shù)，即若有意義，則a0. 例1、 把代數(shù)式x根號外的因式移到根號內(nèi)，化簡的結(jié)果為_____ 解：由-0，又由分式的定義x0得x<0. 所以原式=-(-x)=- =-. 特別地：1、若有意義，則a=o. 例2、 能使有意義的實數(shù)x的值有（ ）個 (A)0 (B)1 (C)2 (D)無數(shù)個 解：由有意義，得x+1=0,∴x=‐1. 故選（B）. 2、若和都有意義，則a=0. 例3.已知 y=++5求：x2+y2―xy的值. 分析：由已知條件知與都有意義. ∴x―3=0,得x=3,代入y=++5中得y=5. x2+y2―xy=32―35+52=19. 二、二次根式的值為非負數(shù)，即0（a0）. 例4、已知：a=2―,求的值. 解：原式=.∵a―1=2――1=1―<0. ∴=|a-1|=-(a-1)=1-a=1-2+=-1. 特別地：若++=0，則a=b=c=0. 例5、若+=0，則ba=______. 解：∵0，=0，+=0. ∴a―2=b+1=0. ∴a=2,b=-1. ∴. ba=(-1)2=1. 練習： 1、若a、b都是實數(shù)，且，求ab的值. 2、若，試求a2005+b2006的值. 2 ?二次根式加減法運算的步驟是怎樣的？ 難易度：★★★ 關(guān)鍵詞：二次根式 答案： 步驟：①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號．②把不是最簡二次根式的二次根式進行化簡．③合并被開方數(shù)相同的二次根式． 【舉一反三】 典例：已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值． 思路導引：本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3．其次，根據(jù)二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，再合并同類二次根式，最后代入求值． 標準答案： 1 二次根式常見錯誤剖析 本文通過對一些二次根式運算中典型錯誤的剖析，揭示錯誤之所在,診斷產(chǎn)生錯誤的原因，從中探尋正確的解法，以避免類似錯誤發(fā)生，現(xiàn)舉例剖析，供讀者參考. 一. 應用性質(zhì)時,忽視a≥0這一條件 例1 化簡: 錯解:原式=2-x. 錯解剖析:導致錯解的原因是忽視了算術(shù)平方根的非負性,避免出錯的方法是先寫出化簡后的帶絕對值的代數(shù)式,再判斷絕對值中的代數(shù)式的符號然后去絕對值. 正解:原式= 二. 對二次根式變形時,將負號誤帶入根號內(nèi),造成錯解 例2 將根號外的因式移到根號內(nèi). 錯解:原式= 錯解剖析: 中的根式符號“-”號不能移到根號里面，因為是非正數(shù)，而則是非負數(shù). 正解:原式= 三.錯誤理解最簡二次根式 例3 下列根式中,不是最簡二次根式的是( ) A. B. C. D. 錯解: A或C. 錯解剖析:由于最簡二次根式應滿足兩個條件:一是被開方數(shù)中不能含有開的盡方的因數(shù)或因式,二是被開方數(shù)中不能含有字母，因而A、 B、C都應是最簡二次根式.事實上, 中比再含有開得盡方的因式了, 盡管式子含有分母,但被開方數(shù)是2b,因而它仍是最簡二次根式.而=被開放數(shù)中含有分母,故它不是最簡二次根式.對于這類題,不可僅從表面形式上作出結(jié)論,應深究其所具有的本質(zhì)特征才行. 正解: D 四.錯用分配律 對乘法分配律a(b+c)=ab+ac的變形應用(a+b)÷d=(a+b)的錯誤理解. 例4 計算:. 錯解:原式== 錯解剖析:錯解的原因是把和對除數(shù)的分配即(a+b)÷d=(a+b),誤解為除數(shù)對和的分配. 正解: 原式= 五.不熟悉二次根式的運算法則 例5 下列計算正確的是( ) A. B. C. D. 錯解: C或D. 錯解剖析:產(chǎn)生上述錯誤的原因在于對二次根式的運算法則不熟悉. A中;B中; C中 D中 正解: A 通過以上幾例可以看出,為避免二次根式問題出現(xiàn)錯誤,應把握準幾個相關(guān)的概念:二次根式,最簡二次根式以及同類二次根式等，從定義本身全面分析,獲得結(jié)果,同時要能熟練地運用分母有理化的方法進行化簡計算,正確處理,掌握,和a=的限制條件,以保證在化簡過程中不出差錯. 2 二次根式新題型賞析 隨著課改是進一步推進，近年來中考試題中出現(xiàn)了不少新題型，這類問題往往給出學生一些新情境，設置一些新問題，要求學生充分發(fā)揮閱讀理解能力、應變能力和創(chuàng)新能力解答試題，可以全面考查學生綜合素質(zhì)，這些試題已成為中考試題中的一道靚麗的風景線。本文擬以與二次根式有關(guān)的創(chuàng)新題為例加以分析，希望對讀者有所啟發(fā)。 一、程序運算型 圖1 例2、（荊州）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原來如下：當輸入的x為64時，輸出的y是（ ） A、8 B、 C、 D、 解析：64的算術(shù)平方根是8，是有理數(shù)，再取算術(shù)平方根為，是無理數(shù)，所以輸出的是，選B。 評注：以“數(shù)值轉(zhuǎn)換機”的形式考查平方根有關(guān)概念，形式新穎。這類題目不僅考查學生基礎知識的掌握情況，而且可以考察學生的綜合能力。 二、估算型 例3、（揚州）大家知道是一個無理數(shù)，那么－1在哪兩個整數(shù)之間（ ） A．1與2 B．2與3 C．3與4 D．4與5 解析：因為，所以，所以，選A。 評注：新課標要求：能用有理數(shù)估算一個無理數(shù)的大致范圍，估算的方法很多，可以采用平方法，作差法等等。 三、無關(guān)型 例4、（呂梁）課堂上，李老師給大家出了這樣一道題：當時，求代數(shù)式的值．小明一看，“太復雜了，怎么算呢？”你能幫小明解決這個問題嗎？請你寫出具體過程． 解：原式． 所以，當，時，代數(shù)式的值都是． 評注：本題看似復雜，其實簡單，只要先化簡，可以發(fā)現(xiàn)其結(jié)果與x 的取值無關(guān)。做完后有“柳暗花明又一村”之感。這也提示我們在在碰到難題或陌生的問題時不要害怕，應敢于探索。 四、說理型 例5、（內(nèi)江）已知實數(shù)x、y、a滿足：，試問長度分別為a、y、a的三條線段能否組成一個三角形？如果能，請求出該三角形的面積；如果不能，請說明理由. 分析：要判斷能否組成三角形，關(guān)鍵是確定三邊之間的關(guān)系，而條件中給出的是一個含二次根式的等式，整體觀察可以發(fā)現(xiàn)被開放數(shù)之間存在一定的關(guān)系可用二次根式的性質(zhì)來解。 解：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，解得，所以以長為x、y、a的三條線段能組成一個三角形，且是一個直角三角形，其面積為6。 評注：本題通過整體觀察，發(fā)現(xiàn)前兩個二次根式的被開方數(shù)互為相反數(shù)，進而得到x+y-8=0，，從而得到，再利用非負數(shù)的性質(zhì)得到相應方程。 評注：本題全面考查了二次根式的兩個非負性，同時將二次根式與幾何問題結(jié)合在一起，考查學生綜合運用所學知識解決問題的能力。 五、規(guī)律探究型 例1、（大連）用計算器計算：，，，…，請你猜測的結(jié)果為______________。 解析：本題可從特殊到一般，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：=10， =100，=1000， …，猜測的結(jié)果為10n. 評注：近幾年來具新意的以觀察探索歸納猜想為形式的新穎題脫穎而出，此類問題的設置有利于考查學生的創(chuàng)新意識和獨立解決問題的能力，有助于引導學生在平時的學習過程中進行自覺的探索，是中考必考內(nèi)容之一，這類問題形式多種多樣，可以是數(shù)形結(jié)合的，也可以是探究一組數(shù)的變化規(guī)律的，或單純圖形的變化趨勢，有助于發(fā)展學生的合情推理能力，有助于學生“符號感”的形成． 3 《二次根式的加減》疑難分析 1．同類二次根式:幾個二次根式化成最簡二次根式后,如果被開方數(shù)相同,這幾個二次根式就叫做同類二次根式,特別強調(diào)一定先要化成最簡二次根式. 2．二次根式的加減的實質(zhì)是合并同類二次根式,整式的加減運算中的交換律、結(jié)合律及添、去括號法則在二次根式的加減運算中仍然適用. 3．不是同類二次根式的不能合并,如. 例題選講 例1 若兩個最簡二次根式與是同類二次根式,則a、b的值是（ ） (A)a=0,b=2 (B)a=1,b=1 (C)a=0,b=2或a=1,b=1 (D)a=2,b=0 解：∵由題意得方程組解得，∴應選(A) 評注：本例要求熟練掌握同類二次根式的意義，并構(gòu)建方程組求解.注意：同類二次根式的被開方數(shù)相同必須在最簡二次根式的條件下. 例2 計算: 解：原式 評注：二次根式的加減運算就是先將每項化成最簡二次根式,再合并同類二次根式. 例3 若矩形的長為,寬為,求矩形的的周長和面積. 解: 矩形的長為: 矩形的面積為: 評注：結(jié)合幾何性質(zhì),熟練的進行二次根式的加減和乘除運算. 1 ? 《二次根式的加減》考點分析 中考考點 知道什么是同類二次根式（能判斷幾個二次根式是否為同類二次根式，并把同類二次根式的概念與方程或方程組相聯(lián)系，同時考查二次根式的加減法運算，即合并同類二次根式） 會進行二次根式的加減法運算. 考點講解 ??? 1．同類二次根式的概念：幾個二次根式都化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式.同類二次根式的定義和判斷，是學好二次根式加減運算的基礎和關(guān)鍵.判斷幾個二次根式是否是同類二次根式，必須滿足以下兩個條件：（1）它們都是最簡二次根式；（2）它們的被開方數(shù)必須完全相同.需要強調(diào)的是：同類二次根式與根號前面的數(shù)或式無關(guān). ??? 另外，對尚未化為最簡二次根式的幾個根式，被開方數(shù)不相同，并不能判定為不同類二次根式.如：與-2，它們分別可化為6、-，故它們?nèi)詾橥惗胃? ??? 2．二次根式的加減法是學習本節(jié)內(nèi)容的重點.二次根式的加減，實質(zhì)上就是對二次根式進行化簡與合并.合并“同類二次根式”與合并“同類項”類同，因此合并同類二次根式時，只把根號外的因式（數(shù)）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)保持不變.這就是對二次根式進行加減運算.其步驟是：（1）對每個二次根式化簡，一般先化為最簡二次根式；（2）對同類二次根式進行合并、整理即得結(jié)果. ??? 3．原來在學習整式加減法中運用的交換律、分配律及去括號、添括號法則在二次根式的加減法中仍然適用. ??? 4．二次根式的加減運算結(jié)果應寫成最簡形式，這結(jié)果或是單個最簡二次根式，或是幾個不同類最簡二次根式的和、差. ??? 5．考查本節(jié)的知識，要求能判斷幾個二次根式是否為同類二次根式，并能熟練地進行二次根式的加、減運算. 考題評析 1．（福州市）下列二次根式中與是同類二次根式的是（?? ）. （A） （B） （C） （D） ??? 考點：同類二次根式. ??? 評析：要判斷同類二次根式，首先明確最簡二次根式及化簡二次根式的方法.然后看被開方數(shù)是否相同（技巧：將各二次根式被開方數(shù)均除以作判斷標準的最簡二次根式的被開方數(shù)，結(jié)果能寫成完全平方數(shù)即是，如300÷3=100=102，故選D）. 2．（江西省）計算：= . ??? 考點：無理數(shù)的加減 ??? 評析：運算是減法，首先化成最簡二次根式，再合并，要正確運用法則. 3．（西安市）已知a=2+，b=-2，求下式的值： （a4-b4）÷ ??? 考點：運用二次根式和差求代數(shù)式的值（分式運算及無理數(shù)） ??? 評析：由于代數(shù)式比較復雜，首先要化簡該代數(shù)式，即分式運算要注意因式分解和約分，其次觀察所給的字母的值代入計算是否簡單，若計算繁瑣，則利用其較簡單代數(shù)式的值整體代入. ??? 如該題可知：? a-b=4故代數(shù)式化簡成與a+b和a-b有關(guān)的式子.（ab=-1等）計算.注：此方法是常用的一種技巧，要理解掌握. 2 《二次根式加減》錯解分析 初學二次根式，若對于二次根式的根念或有關(guān)的運算理解不透，則常會出現(xiàn)一些解題上的錯誤．現(xiàn)就有關(guān)的易出現(xiàn)的錯誤，歸納如下，希望對你的學習有幫助喲． 例1　當時，是否是二次根式？ 【錯解】因為，所以不是二次根式． 【分析】根據(jù)二次根式的定義，形如叫做二次根式．對于二次根式的理解是:（1）帶有根號;（2）被開方數(shù)非負．所以二次根式是形式上的定義．所以是二次根式． 例2　化簡：（1）；（2）． 【錯解】（1）；（2）． 【分析】上述錯解在把被開方數(shù)是和的形式模仿進行運算了．實際上（1）=； （2）===8≠4． 例3　計算． 【錯解】= 【分析】錯解在雖然結(jié)果正確，但沒有考慮的使用條件是a≥0，b≥0．實際上負數(shù)沒有算術(shù)平方根． 正確的解法是= 例4　如果，則_____． 【錯解】由，得，所以． 【分析】錯解在沒有根據(jù)絕對值的意義全面的考慮問題．取了特殊值，實際上，所以． 例5　計算：（1）；（2）． 【錯解】（1）=; （2）=． 【分析】（1）錯解沒有理解合并同類二次根式的方法:合并同類二次根式，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．（2）錯解在把根號外的因式與根號內(nèi)的因式直接相除． 正確的解法是： （1）=; （2） =． 2 二次根式規(guī)律探索題例析 數(shù)學課程標準自主探索與合作交流是學生學習的重要方式,從而探究規(guī)律型試題滲透到各個知識點.下面是中考數(shù)學試題, 例舉幾道與二次根式有關(guān)的規(guī)律探索題加以分析,供同學們學習時參考. 例1(遼寧大連市)用計算器計算：,,,…請你猜測的結(jié)果為_________。 解析:這是一道用計算器進行探索的規(guī)律性試題,用計算器不難算得: ，,的值分別是10,100,1000,從而猜測待求式的結(jié)果是10n. 說明：這是由課本16頁第10題改編的一道中考試題,其實,有些中考試題就是課本典型題目或其變式,望同學們對課本中的典型題目要格外重視. 例2(廣西桂林市)在中,共有 個有理數(shù). A.42 B.43 C.44 D.45 解析:本題逐一驗證顯然不可能,我們不妨反過來考慮,若這些算術(shù)平方根是有理數(shù),則其被開方數(shù)應是正整數(shù)的平方,又所有的被開方數(shù)是連續(xù)整數(shù),而442=1936,452=2025,即44<<45,所以在中,共有44個有理數(shù),選C. 例3(湖南邵陽市)如圖1中,螺旋形是由一系列等腰直角三角形組成,其序號依次為①,②,③,④,⑤,…,則第n個等腰直角三角形的斜邊長是 . 解析:第①,②,③,④的斜邊分別為,不難發(fā)現(xiàn):斜邊都是二次根式,且被開方數(shù)是以底數(shù)為2,指數(shù)是三角形序號的數(shù),即第n個等腰直角三角形的斜邊長是2n.例4(廣州市)已知A=， B=(n為正整數(shù))．當n≤5時，有AB=;當n=7時,A=6.5>B=;當n=8時,A=7.5>B=,……,由此歸納出當n≥6時，A>B. 1 二次根式錯解分類辨析 二次根式是初中數(shù)學中的重要內(nèi)容，其中的概念和性質(zhì)都有條件限制，同學們在運用這些概念和性質(zhì)解題時，往往會忽視這些條件而導致錯解．現(xiàn)列舉六種常見的解題錯誤進行分析，希望能引起同學們的注意． 一、忽視二次根式中這一隱含條件而造成錯解 例1、化簡 錯解： = 辨析：錯解中忽視了＞0這一隱含條件，即＜1，此式的值應為負值． 正解： = 二、運用時忽視＜0這種情形，沒有把區(qū)別開來． 例2、化簡 錯解：=1－ 辨析：錯解中沒有把區(qū)別開來，忽視了1－是一個負數(shù)這種情況．平時應養(yǎng)成先判斷的符號，再脫去中的根號這一好的習慣． 正解：因為1－＜0 所以==－1 三、運用二次根式性質(zhì)時出錯 例3、 錯解： 辨析：上面錯在不明確的意義，也不明確二次根式乘法的運算步驟． 正解： 四、忽視同類二次根式的定義 例4、已知是同類二次根式，則、b的值是（ ） A、 ， B、， C、 D、 錯解：由解得 故選B． 辨析：兩個根式是同類二次根式，必須滿足以下兩個條件：①是最簡二次根式，②被開方數(shù)相同。而不是最簡二次根式，故需先將其化簡． 正解：依題意：解得 故選A． 五、違背運算規(guī)律 例5 計算：． 錯解：原式=． 分析：對于同一級運算，要按從左到右的順序進行，錯解中違反了這一規(guī)律． 正解：原式= = 六、忽視將二次根式的計算結(jié)果化為最簡二次根式 例6、 計算：。 錯解：原式=。 分析：錯解中的、不是最簡二次根式，應把它化為最簡二次根式后，再把同類二次根式進行合并計算出最后結(jié)果． 正解：原式= = = 3 ?什么叫同類二次根式？ 難易度：★★★ 關(guān)鍵詞：同類二次根式 答案： 化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同．這樣的二次根式叫做同類二次根式． 【舉一反三】 典例：若a、b都是實數(shù)，且 ，求ab的值． 思路導引：因為，根據(jù)題意，左右對照可知，a=3，b=2，故可求ab的值．∵∴∴a=3，b=2，∴ab=9． 標準答案：ab=9． 1 什么是最簡二次根式？ 難易度：★★★ 關(guān)鍵詞：最簡二次根式、條件 答案： 滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式。 （1）被開方數(shù)不含分母； （2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式． 【舉一反三】 典例：下列根式中不是最簡二次根式的是（　?。〢、 ?B、 C D、 思路導引：判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式中的兩個條件（被開方數(shù)不含分母，也不含能開的盡方的因數(shù)或因式）．是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．因為= =，因此不是最簡二次根式．故選B． 標準答案：B 1 關(guān)注二次根式“外移”“內(nèi)移”問題 二次根式的化簡運算是中考數(shù)學命題的熱點之一，它主要有兩種題目類型：一類是因式開平方后“外移”，另一類是因式平方后“內(nèi)移”。在進行二次根式“外移”“內(nèi)移”運算時，若能根據(jù)二次根式的性質(zhì)，結(jié)合題目特征靈活運用，常常能使問題迎刃而解，下面將結(jié)合例題加以說明。 例1、已知x≤1，化簡= . 分析：因為x≤1，所以1—x≥0，x—2<0. 故= =1—x—= —1。 例2、已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡 b—= 。 分析：根據(jù)題意，得b>a，所以b—a>0， 故b—=b—= b—（b—a）=b—b+a=a。 a b 例3、若xy<0，則化簡為（ ） A、x B、-x C、x D、-x 分析：由，得x≥0，又因為xy<0，所以x<0，y>0，故= == —x，故應選B。 點撥：在進行二次根式“外移”運算時，應先把根號內(nèi)的因式寫成平方形式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)： 進行化簡。 例4、把（1—a）的根號外的因式移到根號內(nèi)，則該因式等于 。 A、 B、 C、- D、- 分析：由（1-a）可知->0，所以a-1<0，即a<1。 當a<1時，1-a>0。所以（1—a） == ===，故應選A。 點撥：在進行二次根式 “內(nèi)移”運算時，應先確定根號外因式的符號，若根號外的因式是非負數(shù)，則把因式平方后移到根號內(nèi)；若根號外的因式是負數(shù)，則把負號留在根號外，再把根號外因式的相反數(shù)平方后移到根號內(nèi)進行化簡。 練習：1、若b>0，化簡的結(jié)果是（ ） A、-b B、b C、-b D、b 2、實數(shù)p在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡 。 0 1 p 2 3、閱讀下面一道題的解答過程，請判斷是否正確，若不正確，請寫出正確答案。 已知a為實數(shù)，化簡 。 解：原式=a。 答案：1、B 2、1 3、不正確，原式=（1—a）。 2 判斷同類二次根式的方法是什么？ 難易度：★★★ 關(guān)鍵詞：二次根式 答案： ①首先將不是最簡形式的二次根式化為最簡二次根式；②再看被開方數(shù)是否相同。 【舉一反三】 下列二次根式中，哪些是同類二次根式? 1 合并同類二次根式的方法是什么？ 難易度：★★★ 關(guān)鍵詞：二次根式 答案： 合并同類二次根式時，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變． 【舉一反三】 典例：計算： 思路導引：先化簡二次根式，再合并同類二次根式。 標準答案： 2 在進行二次根式加減法運算時應注意什么問題？ 難易度：★★★★ 關(guān)鍵詞：二次根式的加減法 答案： ①進行二次根式的加減運算時，過去在學習整式的加減運算中的交換律，結(jié)合律及去括號，添括號法則仍然適用； ②二次根式的加減運算結(jié)果應寫成最簡結(jié)果或幾個非同類二次根式的和。 【舉一反三】 思路導引：各項化為最簡根式、去絕對值號、去括號，然后進行四則混合運算即可。 ? 1 如何將二次根式與解直角三角形進行有機的結(jié)合？ 難易度：★★★ 關(guān)鍵詞：二次根式 答案： 將二次根式與解直角三角形相結(jié)合，先解直角三角形，再根據(jù)二次根式的有關(guān)性質(zhì)進行化簡。 【舉一反三】 典例：有一艘船在點O處測得一小島上的電視塔A在北偏西60°的方向上，船向西航行20海里到達B處，測得電視塔在船的西北方向。問再向西航行多少海里，船離電視塔最近？（結(jié)果保留根號） 思路導引：此題將二次根式與解直角三角形相結(jié)合，先解直角三角形，再根據(jù)二次根式的有關(guān)性質(zhì)進行化簡.船離電視塔最近時，應為線段AC的長。 標準答案：設BC=，則在R△ACB中，∠ABC=45°，所以AC=BC=。在R△ACO中，∠AOC=30°，AC=（+20）÷，所以有：（+20）÷=，解得：= 即===+10。答：再向西航行（+10）海里，船離電視塔最近。 1 如何進行二次根式的混合運算？ 難易度：★★★ 關(guān)鍵詞：二次根式 答案： （1）二次根式的混合運算與整式的混合運算類似。其運算順序是：先乘方開方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去括號再計算）。（2）在二次根式混合運算的過程中，每個二次根式可以看做一個“單項式”，幾個被開方數(shù)不同的二次根式的和可以看做“多項式”，故二次根式的運算可以看做整式的運算。（3）實數(shù)運算中的運算律，運算法則及乘法公式在二次根式的運算中仍然適用。 【舉一反三】 典例：已知=2-，其中a、b是實數(shù)，且a+b≠0，化簡+，并求值． 思路導引：由于（+）（-）=1，因此對代數(shù)式的化簡，可先將分母有理化，再通過解含有字母系數(shù)的一元一次方程得到x的值，代入化簡得結(jié)果即可． 標準答案：原式=+????????? =+??? =（x+1）+x-2+x+2 ??? =4x+2 ??? ∵=2-??? ∴b（x-b）=2ab-a（x-a）??? ∴bx-b2=2ab-ax+a2 ??? ∴（a+b）x=a2+2ab+b2??? ∴（a+b）x=（a+b）2??? ∵a+b≠0?? ?∴x=a+b ??? ∴原式=4x+2=4（a+b）+2 1 計算 解 根式化簡十二法 　　含有根式的分式化簡，是中考、競賽中的常見題型．若用常規(guī)解法：分母有理化，有時會很繁瑣，甚至會陷入“困境”，如能根據(jù)題目本身的特點，采用靈活的解題技巧，則會收到事半功倍的良好效果，下面舉例說明． 　　1.先平方，再開方 ∵x>0，所以原式=x=2. 　　2.先分解，再約分 　　 (天津競賽) 　　 　　　 　　3.常數(shù)代換 　　 　　　 4.分子有理化 　　　　　　 　　5.活用乘法公式 .(山東競賽) 　　6.依次通分 　　(廣州聯(lián)賽) 　　 　　7.逆用分式計算法則 　　.(天津競賽) 　　 　　8.巧用倒數(shù) 　　(四川聯(lián)賽) 　　 　　 　　9.換元轉(zhuǎn)化 　　例9化簡.(山東) 　　 　　則x＋y＝2a＋2，xy＝2a＋2．于是有 　　 　　10.直接配方 　　.(上海競賽) 　　 　　　 　　11.裂項相消 　　.(四川聯(lián)賽題) 　　 　　12．運用比例性質(zhì) 　　.(全國部分省市初中數(shù)學通訊賽試題) 　　 　　　 　　由等比性質(zhì)得 　　。 5 根式問題常見錯誤例析 在解二次要式的化簡或計算問題時，常見一些同學因概念不清或忽視問題的必要條件而造成錯誤?，F(xiàn)舉例剖析如下： 一、概念不清 例1 若x+=4,則x-= . 錯解：(x-)2=(x+)2－4=42-4=12,∴x－=2. 評析：解題過程中忽視了平方根定義中“x2=a”,x可取正負兩個值。 正解：(x-)2=12,∴x-=±2。 二、錯誤理解代數(shù)式的意義 例2 計算：÷。 錯解：÷=÷×=×·=5。 評析：上面解法中錯誤地將根式理解為x,前者是運算結(jié)果，后者是一種運算：錯誤地理解改變了運算順序： ÷相當于÷(×)； 而×·則是(÷)·。 正解：原式=÷=÷=×=5。 三、忽視運算法則 例3 計算：÷(-)。 錯解：原式=÷-÷ =×-×=5-12。 評析：本題誤將乘法分配律用于除法，忽視a÷(b+c)≠a÷b+a÷c. 正解：原式=÷ =×=-6. 四、忽視“分母的有理化因式其值不能為零” 分母有理化的一般方法是分子、分母同乘以分母的有理化因式，其次是借助分解，然后約分；利用前一方法分母有理化應注意的有理化因式值的情況。 例4 計算：x÷(1＋)(x≥-1). 錯解：x÷(1+)===-1. 評析：因x≥-1，故x=0符合題意，但當x=0時，1-=0，此時相當于分子分母同乘以零.故雖計算結(jié)果正確，但其過程也是錯誤的。 正解：當x=0時，x÷(1+)=0; 當x≠0時，原式===-1。 例5 化簡。 錯解：原式===1-。 評析因a≥0，故a可取1，而當a=1時，1-=0，此時分母不可乘以(1-)。 正解：采用約分法： 原式==1-。 五、忽視隱含條件 例6 已知a為實數(shù)，化簡：a。 錯解：原式=a=a·= a·=。 評析：題中僅知a為實數(shù)，而沒有明確a的正負性，為此，應從中挖掘隱含條件：->0，∴a<0。 正解：原式= a=a· =a·= —。 例7 已知a+b=－8，ab＝8，化簡. 錯解：原式=b+a=+。 == =6=12。 正解：注意到a+b=－8，ab=8，故a<0,b<0. 所以，原式=b+a=+ =﹣=﹣ =﹣6=﹣12。 六、忽視定義的前提條件 例8 若最簡二次根式與是同類二次根式，求a的值。 錯解：∵最簡二次根式與是同類二次根式， ∴2a+1=3a+2,∴a= -1。 評析：當a= -1時，2a+1=3a+2= —1，此時與均無意義故滿足條件的a不存在。 例9 已知最簡二次根式與，是同類二次根式，求a、b的值。 錯解：由條件，得解得 評析：當a=3，b=1時，已不是最簡二次根式，與條件不符；此外與同類二次根式的定義也不相符。 正解：化簡=2，故解得 七、忽視分母不能為零 例10 二次根式中，實數(shù)x滿足的條件是 。 錯解：x≥3， 評析：當x=3時，分母為0,無意義。 正解：x>3, 例11 若y=+7,求x+y的立方根。 錯解：由條件，得x2－1=0,∴x±1。 (1)當x=1時，y=7,x+y=8,立方根為2； (2)當x= -1時，y=7,x+y=6,立方根為。 評析：當x= -1時，x+1=0,式子無意義。 正解：x= 1時，y=7,x+y=8,立方根為2。 八、忽視算術(shù)根的非負性 例12 化簡。 錯解：原式==1-。 評析：表示(1-)2的算術(shù)平方根，故結(jié)果不應為負。 正解：原式==∣1-∣=-1。 4