八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)11.3用反比例函數(shù)解決問(wèn)題素材（打包26套）新蘇科版.zip,年級(jí),數(shù)學(xué),下冊(cè),11.3,反比例,函數(shù),解決問(wèn)題,素材,打包,26,新蘇科版 “反比例函數(shù)”與“閉眼打轉(zhuǎn)問(wèn)題” “反比例函數(shù)”與“閉眼打轉(zhuǎn)問(wèn)題”，是兩件風(fēng)馬牛不相及的事情，怎么會(huì)扯上關(guān)系？同學(xué)們別急！看了下面這段故事，你會(huì)感受到反比例函數(shù)的“神奇力量”，你會(huì)覺(jué)得數(shù)學(xué)是那么的“酷”！ ?　　相傳公元1896年，挪威生理學(xué)家古德貝爾對(duì)閉眼打轉(zhuǎn)的問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究。他收集了大量事例后分析說(shuō)：這一切都是由于人自身兩條腿在作怪！長(zhǎng)年累月養(yǎng)成的習(xí)慣，使每個(gè)人一只腳伸出的步子，要比另一只腳伸出的步子長(zhǎng)一段微不足道的距離。而正是這一段很小的步差x，導(dǎo)致了這個(gè)人走出一個(gè)半徑為y的大圈子！ 現(xiàn)在我們來(lái)研究一下x與y之間的函數(shù)關(guān)系： 假定某人兩腳踏線間相隔為d。很明顯，當(dāng)人在打圈子時(shí)，兩只腳實(shí)際上走出了兩個(gè)半徑相差為d的同心圓。設(shè)該人平均步長(zhǎng)為。那么，一方面這個(gè)人外腳比內(nèi)腳多走路程；另一方面，這段路程又等于這個(gè)人走一圈的步數(shù)與步差的乘積，即， 化簡(jiǎn)得? 對(duì)一般的人，d＝0.1米，＝0.7米，代入得 （米） 這就是所求的迷路人打圈子的半徑公式，它是一個(gè)反比例函數(shù)！ 假如設(shè)迷路人兩腳差為0.1毫米，那么僅此微小的差異，就足以使他在大約三公里的范圍內(nèi)繞圈子！ 看到這里，你是否被神奇的反比例函數(shù)所折服！且慢，我們?cè)賮?lái)看一個(gè)有趣的游戲： 在世界著名的水都威尼斯，有個(gè)馬爾克廣場(chǎng)。廣場(chǎng)的一端有一座寬82米的雄偉教堂。教堂的前面是一片開(kāi)闊地。這片開(kāi)闊地經(jīng)常吸引著四方游人到這里做一種奇特的游戲：把眼睛蒙上，然后從廣場(chǎng)的一端向另一端教堂走去，看誰(shuí)能到達(dá)教堂的正前面！ 奇怪的是，盡管這段距離只有175米，但卻沒(méi)有一名游客能幸運(yùn)地做到這一點(diǎn)！全都走成了弧線，或左或右，偏斜到了一邊！ 為什么是這樣呢？我們就先來(lái)計(jì)算一下，當(dāng)人們閉起眼睛，從廣場(chǎng)一端中央的M點(diǎn)抵達(dá)教堂CD的最小的弧半徑是多少。如下圖，注意到矩形邊（米），（米）。那么上述問(wèn)題，無(wú)疑相當(dāng)于幾何中的以下命題： 已知：在矩形中（米），為邊的中點(diǎn)，（米），求弧所在圓的半徑。 在解這個(gè)問(wèn)題之前，先介紹一下同學(xué)們馬上要學(xué)的勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。（為什么有這個(gè)美妙的結(jié)論，請(qǐng)同學(xué)們預(yù)習(xí)接下來(lái)學(xué)習(xí)的內(nèi)容） 下面我們一起來(lái)解決問(wèn)題： 如圖，由于是直角三角形，于是由勾股定理有 即 解這個(gè)方程，得 這就是說(shuō)，游人要想成功，他所走的弧線半徑必須不小于 394米。那么就讓我們?cè)儆?jì)算一下，要達(dá)到上述要求，游人的兩腳的步差需要什么限制。根據(jù)公式：，因?yàn)?，所以（米?0.35（毫米） ? 這表明游人的兩只腳的步差必須小于0.35毫米，否則是不可能成功的！然而，在閉上眼睛的前提下，使兩腳的步差這么小一般人是辦不到的，這便是在游戲中為什么沒(méi)有人能被蒙上眼睛走到教堂前面的道理。 同學(xué)們，看到這里你是否覺(jué)得數(shù)學(xué)真的很有用！那么，讓我們一起努力學(xué)習(xí)吧。 2 你犯過(guò)這樣的錯(cuò)誤嗎? 反比例函數(shù)是八年級(jí)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，更是歷年中考的熱點(diǎn)。但初學(xué)者由于概念理解上的偏差、研究增減性時(shí)不分象限（籠統(tǒng)地說(shuō)：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，或當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大）和數(shù)形分離（不會(huì)在函數(shù)圖像中發(fā)現(xiàn)并采集相關(guān)信息）等現(xiàn)象，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些不必要的錯(cuò)誤，不知你是否也犯過(guò)下面的錯(cuò)誤： 一、忽視反比例函數(shù)成立的條件“k是常數(shù)，且” 例1．若函數(shù)是反比例函數(shù)，則k的值為（ ） A． B． C．或 D．或 錯(cuò)解：∵是反比例函數(shù)， ∴，解得，．故選C． 剖析：根據(jù)反比例函數(shù)定義可知，反比例函數(shù)（或）中存在著隱含條件“”．本題的錯(cuò)誤原因是只考慮到反比例滿足這一條件，而忽視了隱含條件“”． 正解：由題意得，，解得，． 當(dāng)時(shí)，（符合題意） 當(dāng)時(shí)，（不符合題意，舍去） 所以時(shí)，是反比例函數(shù)，故選C． 二、數(shù)形分離，顧此失彼 例2．如圖（1），P是反比例函數(shù)的圖像上一點(diǎn)，過(guò)P向x軸，y軸引垂線，若S陰影=5，則此函數(shù)圖像的解析式為 ． 錯(cuò)解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，y0），則，解得． ∴或． 剖析：上述解題過(guò)程中沒(méi)有考慮到圖像信息而導(dǎo)致錯(cuò)誤．仔細(xì)觀察圖像，不難發(fā)現(xiàn)雙曲線在第二、四象限，所以． 正解：由陰影部分的面積等于5，得，解得． ∵的圖像在第二、四象限，∴，即． 三、實(shí)際問(wèn)題中忽視自變量的取值范圍 例3．甲、乙兩地相距100千米，一輛汽車從甲地開(kāi)往乙地，把汽車到達(dá)乙地所用的時(shí)間t（小時(shí)）表示汽車速度v（千米/時(shí)）的函數(shù)，并畫(huà)出圖像。 錯(cuò)解：由，得。所畫(huà)圖像，如圖（2）所示： 剖析：由自變量的實(shí)際意義可知，函數(shù)圖像只能在第1象限內(nèi)。解答本題容易忽視自變量這一隱含條件，導(dǎo)致把整個(gè)圖像都畫(huà)出來(lái)。 正解：由，得， 且。 用描點(diǎn)法畫(huà)出如圖（3）的圖像所示： 為避免再犯以上錯(cuò)誤，筆者建議你在學(xué)習(xí)時(shí)關(guān)注以下幾個(gè)方面： 1．利用反比例函數(shù)關(guān)系式解決問(wèn)題時(shí)，注意這一限制條件． 2．解與實(shí)際問(wèn)題相關(guān)的圖像題時(shí)，要關(guān)注自變量的實(shí)際意義，不能擴(kuò)大或縮小其取值范圍． 3．利用反比例函數(shù)的性質(zhì)比較大小時(shí)，如果兩點(diǎn)不在同一個(gè)象限時(shí)，需要根據(jù)圖像作出合理的判斷，切不可用所謂的“性質(zhì)”比較大小． 4．畫(huà)函數(shù)的圖像時(shí)，要注意自變量不等于0這一隱含條件，不能出現(xiàn)圖像與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)等現(xiàn)象． 2 利用反比例函數(shù)關(guān)系式求值 對(duì)于某些與反比例函數(shù)有關(guān)的求值問(wèn)題，靈活巧用反比例函數(shù)關(guān)系式，可找到很好的解題途徑. 例1（陜西?。┮阎狝（，），B（，）兩點(diǎn)都在圖像上．若＝－3，則的值為_(kāi)_____． 分析：用的代數(shù)式表示、用的代數(shù)式表示，將求的值轉(zhuǎn)化為求與有關(guān)的代數(shù)式的值． 解：由A（，），B（，）兩點(diǎn)都在圖像上， 那么＝，＝． 因?yàn)椋剑?， 所以＝＝－12． 例2 （四川省自貢市）兩個(gè)反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示，點(diǎn)、、、…，在反比例函數(shù)的圖像上，它們的橫坐標(biāo)分別是，，，…，，縱坐標(biāo)分別是1，3，5，…，共2010個(gè)連續(xù)奇數(shù)，過(guò)點(diǎn)、、、…，分別作軸的平行線，與的圖像的交點(diǎn)依次是、，、…、，則＝______． 分析：注意到點(diǎn)是反比例函數(shù)上的一點(diǎn)，要求的值，應(yīng)先確定的值．又是反比例函數(shù)上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，那么應(yīng)先確定點(diǎn)的縱坐標(biāo)． 解：依題意，點(diǎn)、、、…，的縱坐標(biāo)為從1開(kāi)始的連續(xù)2010個(gè)奇數(shù)． 所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2×2010－1＝4019． 因?yàn)辄c(diǎn)（，4019）在反比例函數(shù)的圖像上， 所以，． 因?yàn)辄c(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上， 所以． 例3 （浙江省衢州市）已知是正整數(shù)，是反比例函數(shù)圖像上的一列點(diǎn)，其中＝1，＝2，…，＝，記，，…，，且，則的值是_______． 分析：從消元入手，用的代數(shù)式分別表示，，，…，，這樣，, ，，…也可用的代數(shù)式表示，接下來(lái)，只要求的值． 解：由是反比例函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，得． 因?yàn)椋?，＝2，…，＝10， 所以，，，…，． 所以，，，…． 所以 因?yàn)椋? 所以，＝2，． 所以． 3 反比例函數(shù)中考題賞析 隨著課程改革的進(jìn)一步推進(jìn),有關(guān)反比例函數(shù)的考題出現(xiàn)了不少新題型,命題者往往給出一些新情境,設(shè)置一些新問(wèn)題,以考查同學(xué)們的應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力.現(xiàn)就中考試題中的有關(guān)反比例函數(shù)的新題型,精選兩例析解如下,供同學(xué)們鑒賞： 例1 如圖，，，……在函數(shù)的圖像上，，，，……都是等腰直角三角形，斜邊、、，……都在軸上 (1)求的坐標(biāo)； (2)求的值. 分析:通過(guò)解直線OP1、A1P2、A2P3、……A9P10所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式與反比例函數(shù)的聯(lián)列方程組,可以分別求得點(diǎn)P1、P2、P3的坐標(biāo),再通過(guò)點(diǎn)P1、P2、P3的坐標(biāo)來(lái)探求坐標(biāo)之間的規(guī)律,從而使問(wèn)題得以解決. 解:(1)由題意可知直線OP1的解析式為， 解方程組得到點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（2，2）， (2)因?yàn)槭堑妊苯侨切?故可設(shè)直線P1A1的解析式為 由直線過(guò)點(diǎn)P1（2，2），代入可得b=4, 從而直線P1A1的解析式為 令可以求得點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（4，0），又可以得到直線A1P2的解析式為，解方程組：得到點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（） 同理可以求得點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（） 由,,…… 可以得到, 從而可以得到 = =. 評(píng)注：這道題是由05年江蘇南通的一道中考題演變而來(lái),題設(shè)條件、圖形都一模一樣，可所求結(jié)論增加了難度.江蘇南通的那道題只要求點(diǎn)A2的坐標(biāo),而現(xiàn)在這道題不僅要求點(diǎn)的坐標(biāo)，還要求的值.這可以看出命題者的匠心獨(dú)運(yùn)、用心良苦.當(dāng)然江蘇南通那道題的解題思路也為現(xiàn)在這道題作了鋪墊. 求函數(shù)圖像交點(diǎn)坐標(biāo),可以通過(guò)解函數(shù)圖像所對(duì)應(yīng)解析式的聯(lián)立方程組,方程組的解就是函數(shù)圖像交點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)所求和的項(xiàng)比較多時(shí),不必一一求出,可通過(guò)觀察分析前幾項(xiàng),探求它們之間的規(guī)律,可使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn),事半功倍. 例2已知：等腰三角形OAB在直角坐標(biāo)系中的位置如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－6，0）. (1)若三角形OAB關(guān)于y軸的軸對(duì)稱圖形是三角形O， 請(qǐng)直接寫出A、B的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)若將三角形沿x軸向右平移a個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)A 恰好落在反比例函數(shù)的圖像上，求a的值； (3)若三角形繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)度（）. ①當(dāng)=時(shí)點(diǎn)B恰好落在反比例函數(shù)的圖像上，求k的值． ②問(wèn)點(diǎn)A、B能否同時(shí)落在①中的反比例函數(shù)的圖像上，若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由. 分析：(1)根據(jù)坐標(biāo)系中關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，易得點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)根據(jù)圖形沿x軸平移，縱坐標(biāo)不變，可以求得點(diǎn)A落在反比例函數(shù)的圖像上時(shí)所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，再與平移前的橫坐標(biāo)相比較，得到平移的單位a的值. (3)分別求得△繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)300,600時(shí),A、B對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),再代入反比例函數(shù),求得的值和進(jìn)行驗(yàn)證. 解：(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為 (2)將點(diǎn)A的縱坐標(biāo)代入反比例函數(shù) , 即 得到對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo) ,平移前的橫坐標(biāo)為,平稱后的橫從標(biāo)為, 所以△沿x軸向右平移了個(gè)單位, 即 (3) ①將△繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)300,此時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)B//的坐標(biāo)為 ， 將B//的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)，即 解得： ② 能將△繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)600, ，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是， 經(jīng)經(jīng)驗(yàn)：它們都在的圖像上， ∴ 評(píng)注：這道題涉及到等腰三角形、軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)和反比例函數(shù)等諸多知識(shí)點(diǎn).在坐標(biāo)系中，關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù),關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn),縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；圖形在坐標(biāo)系中沿軸方向平移,縱坐標(biāo)不變，沿軸方向平移，橫坐標(biāo)不變；點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)關(guān)系式，點(diǎn)就在函數(shù)圖像上，點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足函數(shù)關(guān)系式，點(diǎn)就不在函數(shù)圖像上. 3 反比例函數(shù)中的面積定值 在新課標(biāo)中考試卷中，常有不少的試題涉及到反比例函數(shù)圖像中的面積問(wèn)題。眾所周知，反比例函數(shù)的本質(zhì)特征是變量y與變量x的乘積是有關(guān)常數(shù)k（定值），由此不難得到反比例函數(shù)的有關(guān)重要性質(zhì)： 若A點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)，且AB垂直 于x軸，垂足為B，AC垂直于y軸，垂足為C（如圖1所示）， 則矩形面積＝|k|。 若連接AO ,則有 現(xiàn)舉例說(shuō)明這些結(jié)論的應(yīng)用。 例1．（內(nèi)江市中考題）如圖2，反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)A與坐標(biāo)軸圍成的矩形ABOC的積是8 ，則該反比例函數(shù)的解析式為 . 分析：由圖像在第一、三象限知，反比例函數(shù)中的k＞0，又由上述結(jié)論知|k|＝8，故k＝8，從而反比例函數(shù)的解析式為 例2．（呼和浩特市中考題）如圖3，P是反比例函數(shù)（k＞0）的圖像上的任意一點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為M，已知＝2. （1）求k的值； （2）若直線y＝x與反比例函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)交于A點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B的直線的解析式。 分析：（1）由＝|k|＝2且k＞0，知k＝4. （2）解有x＝2，y＝2.又A點(diǎn)在第一象限內(nèi)，故 A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）。設(shè)所求直線的解析式為y＝kx+b，由它過(guò)A（2，2）和B（0，2），有所以所求的直線解析式為y＝2x-2. 例3．（成都市中考題）如圖4，已知反比例函數(shù)（k＜0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-，m）過(guò)點(diǎn)A作ABx軸于點(diǎn)B，且△AOB的面積為。求k和m的值. 分析：由＝|k|＝且k＜0知：k＝。將x＝代入y＝有y＝2，故m＝2. 例4．（福州市中考題）如圖5，已知：正方形OABC的面積為9，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B、P（,）在函數(shù)（>0, >0）的圖像上，過(guò)P點(diǎn)分別作軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，并設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為s. （1）求B點(diǎn)坐標(biāo)和的值； （2）當(dāng)=時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）寫出s關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式. 解：（1）依題意，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則有S正方形OABC =xy=9，得x=y=3，即B（3，3），因?yàn)閗=xy，所以k=9； （2）設(shè)PF交AB于G，當(dāng)m＞3時(shí)，由點(diǎn)P（m，n）在y=上，有S矩形OEPF=mn=9，S矩形OAGF=3n，由已知S=9-3n=，所以n=，m=6.故P1（6，）；當(dāng)m＜3時(shí)，同理可求得P2（，6）； （3）當(dāng)0＜ m＜3時(shí)，因?yàn)镻（m，n），所以S矩形OECG=3m，所以S=S矩形OEPF-S矩形OEGC，即S=9-3m（0＜ m＜3）；當(dāng)m≥3時(shí)，因?yàn)镻（m，n），所以S矩形OAGF=3n，又mn=9，n=，所以S=9-3n=9-，即S=9-（m≥3）. 練習(xí)題 （江蘇省泰州市中考題）如圖6，正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）與反比例函數(shù)的圖像相交于A、C兩點(diǎn)，ABx軸于B，CDx軸于D，試說(shuō)明四邊形ABCD 的面積為常數(shù)。 （參考答案：） 4 反比例函數(shù)圖像信息型應(yīng)用題例析 函數(shù)圖像是溝通函數(shù)解析式與性質(zhì)之間關(guān)系的一座橋梁，正確認(rèn)識(shí)并利用好圖像是解決函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵所在．下面以2道中考題為例加以說(shuō)明，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考． 例1、如圖，奧運(yùn)圣火抵達(dá)某市奧林匹克廣場(chǎng)后，沿圖中直角坐標(biāo)系中的一段反比例函數(shù)圖像傳遞．動(dòng)點(diǎn)表示火炬位置，火炬從離北京路10米處的點(diǎn)開(kāi)始傳遞，到離北京路1000米的點(diǎn)時(shí)傳遞活動(dòng)結(jié)束．迎圣火臨時(shí)指揮部設(shè)在坐標(biāo)原點(diǎn)（北京路與奧運(yùn)路的十字路口），為少先隊(duì)員鮮花方陣， （1）求圖中反比例函數(shù)的關(guān)系式（不需寫出自變量的取值范圍）； （2）當(dāng)鮮花方陣的長(zhǎng)是寬的4倍時(shí)，確定此時(shí)火炬的位置（用坐標(biāo)表示）； （火炬） y M x N A T B O 奧林匹克廣場(chǎng) 北 京 路 鮮花 方陣 （指揮部） 奧運(yùn)路 （3）設(shè)，用含的代數(shù)式表示火炬到指揮部的距離；當(dāng)火炬離指揮部最近時(shí)，確定此時(shí)火炬的位置（用坐標(biāo)表示）． 解析：（1）設(shè)反比例函數(shù)為．方陣始終保持矩形形狀且面積恒為10000平方米（路線寬度均不計(jì)）．所以，． （2）設(shè)鮮花方陣的寬為米，則寬為4m米，由題意得：4m2=10000，m=50，m=-50（舍?。┧源藭r(shí)火炬的坐標(biāo)為或． （3），在中， ．所以當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，又，，，，且．． 例2、為了預(yù)防流感，某學(xué)校在休息天用藥熏消毒法對(duì)教室進(jìn)行消毒。已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)），如圖所所示，據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題： （1）寫出從藥物釋放開(kāi)始，y與t之間的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)的自變量取之范圍； （2）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)入教室，那么從藥物釋放開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò)多少小時(shí)后，學(xué)生才能進(jìn)入教室？ 解析：（1）由點(diǎn)P的坐標(biāo)（3，）可求出反比例函數(shù)的關(guān)系式為(x＞), 則當(dāng)y=1時(shí)，x=，設(shè)正比例函數(shù)的關(guān)系式為，把點(diǎn)（，1）代入可得k=，即正比例函數(shù)的關(guān)系式為（≥x≥0）； （2）把y=0.25代入反比例函數(shù)(x＞)，得x=6，所以至少要經(jīng)過(guò)6個(gè)小時(shí)后學(xué)生才能進(jìn)入教室。 練習(xí)：1、如圖，某一蓄水池每小時(shí)的排水量（m/h）與排完水池中的水所用時(shí)間（h）之間的函數(shù)圖像． （1）寫出此函數(shù)圖像的解析式； （2）若要用6 h排完水池的水，那么每小時(shí)的排水量是多少？ 2、某?？萍夹〗M進(jìn)行野外考察，途中遇到一片十幾米寬的爛泥濕地．為了安全、迅速通過(guò)這片濕地，他們沿著前進(jìn)路線鋪了若干塊木塊，構(gòu)筑成一條臨時(shí)近道．木板對(duì)地面的壓強(qiáng)是木板面積的反比例函數(shù)，其圖像如下圖所示． 0 200 400 600 4 3 2.5 2 1.5 1 （1）請(qǐng)直接寫出這一函數(shù)表達(dá)式和自變量取值范圍； （2）當(dāng)木板面積為時(shí)，壓強(qiáng)是多少？ （3）如果要求壓強(qiáng)不超過(guò)，木板的面積至少 要多大？ 答案： 1、（1）根據(jù)函數(shù)圖像可知，它是一個(gè)反比例函數(shù)圖像，即設(shè)函數(shù)解析式為，又因?yàn)辄c(diǎn)（12，4）在函數(shù)圖像上，所以4=，解得k=48，函數(shù)解析式是， （2）當(dāng)t=6小時(shí)時(shí)，代入中，得=8，即每小時(shí)的排水量是立方米． 分析：這是一道以物理學(xué)中力學(xué)知識(shí)為背景的試題． 2、（1）． （2）當(dāng)時(shí)，．即壓強(qiáng)是． （3）由題意知，，所以S≥0.1，即木板面積至少要有．　 3 反比例函數(shù)在實(shí)際生活中的運(yùn)用 反比例函數(shù)和其它函數(shù)一樣，在我們的日常生活中有著廣泛的應(yīng)用.那么如何才能正確在利用反比例函數(shù)的關(guān)系來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題呢？具體地說(shuō)應(yīng)從以下兩個(gè)方面入手： 一、正確地探求兩個(gè)變量之間的關(guān)系 和利用其它函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題一樣，要利用反比例函數(shù)的關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題，只要求能夠正確地探求兩個(gè)變量之間的關(guān)系.探索反比例函數(shù)中的兩個(gè)變量之間的關(guān)系同樣和列方程解應(yīng)用題一樣，即弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，找到能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等的關(guān)系，根據(jù)這個(gè)相等的數(shù)量關(guān)系式，列出所需的代數(shù)式，從而列出兩個(gè)變量之間的關(guān)系式.常見(jiàn)的表示數(shù)量之間的關(guān)系有以下幾種情形： （1）和、差、倍、分問(wèn)題，即兩數(shù)和=較大的數(shù)+較小的數(shù)，較大的數(shù)=較小的數(shù)×倍數(shù)±增（或減）數(shù). （2）行程類問(wèn)題，即路程=速度×?xí)r間. （3）工程類問(wèn)題，即工作量=工作效率×工作時(shí)間. （4）濃度類問(wèn)題，即溶質(zhì)質(zhì)量＝溶液質(zhì)量×濃度. （5）分配類問(wèn)題，即調(diào)配前后總量不變，調(diào)配后雙方有新的倍比關(guān)系. （6）等積類問(wèn)題，即變形前后的質(zhì)量（或體積）不變. （7）數(shù)字類問(wèn)題，即有若個(gè)位上數(shù)字為a，十位上的數(shù)字為b，百位上的數(shù)字為c，則這三位數(shù)可表示為100c+10b+a，等等. （8）經(jīng)濟(jì)類問(wèn)題，即利息＝本金×利率×期數(shù)；本息和＝本金+利息＝本金+本金×利率×期數(shù)；稅后利息＝本金×利率×期數(shù)×（1－利息稅率）；商品的利潤(rùn)＝商品的售價(jià)－商品的進(jìn)價(jià)；商品的利潤(rùn)率＝×100％. （9）增長(zhǎng)（或降低）率問(wèn)題，即實(shí)際生產(chǎn)數(shù)＝計(jì)劃數(shù)×［1+增長(zhǎng)率（或－減少率）］，增長(zhǎng)率＝×100％. （10）圖形類問(wèn)題，即根據(jù)圖形的特征，結(jié)合規(guī)范圖形的周長(zhǎng)公式、面積公式、體積公式等等. 二、注意典型習(xí)題的訓(xùn)練和鞏固 為了能幫助同學(xué)們正確地利用反比例函數(shù)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，現(xiàn)歸類說(shuō)明如下： 　　（一）在行程類問(wèn)題中的應(yīng)用 例1　小華的爸爸早晨騎自行車帶小華到15千米的鎮(zhèn)外去趕集，回來(lái)時(shí)讓小華乘公共汽車，用的時(shí)間少了．假設(shè)兩人經(jīng)過(guò)的路程一樣，而且自行車和汽車的速度在行駛過(guò)程中都不變，爸爸要小華找出從家里到鎮(zhèn)上的時(shí)間和乘坐不同交通工具的速度之間的關(guān)系． 簡(jiǎn)析　設(shè)小華乘坐交通工具的速度是v千米/時(shí)，從家里到鎮(zhèn)上的時(shí)間是t小時(shí)．因?yàn)樵趧蛩龠\(yùn)動(dòng)中，時(shí)間＝路程÷速度，所以，從這個(gè)關(guān)系式中發(fā)現(xiàn):路程一定時(shí)，時(shí)間t就是速度v的反比例函數(shù)．即速度增大了，時(shí)間變小；速度減小了，時(shí)間增大．自變量v的取值是v＞0． （二）在平面圖形中的應(yīng)用 例2在□ABCD中,AB=4cm,BC=1cm,E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn),AE、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,設(shè)DE=x(cm),BF=y(cm).求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍. 簡(jiǎn)析　四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥CF,即，所以，則，此時(shí)自變量x的取值范圍是0< x<4. （三）在立體圖形中的應(yīng)用 例3一個(gè)長(zhǎng)方體的體積是100立方厘米，它的長(zhǎng)是y厘米，寬是5厘米，高是x厘米． （1）寫出用高表示長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式； （2）寫出自變量x的取值范圍； 簡(jiǎn)析 （1）因?yàn)?00＝5xy,所以．（2）由于長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)是正值，所以x＞0． 　?。ㄋ模┰谖锢韺W(xué)上的應(yīng)用 例4一定質(zhì)量的氧氣,它的密度ρ(kg/m3)是它的體積V( m3) 的反比例函數(shù), 當(dāng)V=10m3時(shí), ρ=1.43kg/m3. （1）求ρ與V的函數(shù)關(guān)系式；（2）求當(dāng)V=2m3時(shí)求氧氣的密度ρ. 簡(jiǎn)析?。?）設(shè)ρ= ,當(dāng)V=10m3時(shí), ρ=1.43kg/m3,所以1.43= ,即k=14.3,所以ρ與V的函數(shù)關(guān)系式是ρ=；（2）當(dāng)V=2m3時(shí), ρ==7.15(kg/m3),所以當(dāng)V=2m3時(shí),氧氣的密度為7.15(kg/m3). 　　（五）日常生活中的問(wèn)題 例5　你吃過(guò)拉面嗎？實(shí)際上在做拉面的過(guò)程中就滲透著數(shù)學(xué)知識(shí)：一定體積的面團(tuán)做成拉面，面條的總長(zhǎng)度y(m)是面條的粗細(xì)(橫截面積)s(mm2)的反比例函數(shù)，其圖像如圖所示. （1）寫出y與s的函數(shù)關(guān)系式； （2）求當(dāng)面條粗1.6mm2時(shí)，面條的總長(zhǎng)度是多少米？ 　　簡(jiǎn)析（1）依題意，結(jié)合圖像，不妨設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y＝（k≠0，s≥0），由于圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，32），則有32＝，所以k＝128，即y與s的函數(shù)關(guān)系式為y＝（s≥0），（2）當(dāng)面條粗s＝1.6mm2時(shí)，面條的總長(zhǎng)度是y＝80(mm)＝0.8(m). 3 反比例函數(shù)在物理上的應(yīng)用 新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決其他學(xué)科中的問(wèn)題，這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在各科中的“工具性”的作用，符合新課程改革的理念，課改實(shí)驗(yàn)區(qū)的命題在考查“反比例函數(shù)”的知識(shí)點(diǎn)時(shí)就大量的融合了“物理”學(xué)科的相關(guān)問(wèn)題，本文采楫幾例加以剖析，與讀者共賞． 例1、一定質(zhì)量的氧氣，它的密度ρ(kg/m3)是它的體積V (m3)的反比例函數(shù)，當(dāng)V=10 m3時(shí)，ρ=1.43 kg/m3． （1）求ρ、V之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）求當(dāng)V=2 m3時(shí)氧氣的密度ρ． 分析： 根據(jù)物理學(xué)上密度與質(zhì)量及體積之間的關(guān)系，可知當(dāng)質(zhì)量一定時(shí)，密度與體積成反比，因而可設(shè)出密度與質(zhì)量的反比例關(guān)系式，然后將V=10，ρ=1.43代入即可求出反比例系數(shù)． 解：（1）設(shè)ρ=，將V=10 m3，ρ=1.43 kg/m3代入ρ=中，得1.43= ，所以k=14.3，所以ρ與V的函數(shù)關(guān)系式為ρ= ． （2）當(dāng)V=2 m3時(shí)ρ==7.15(kg/m3)． 評(píng)注 在解決跨學(xué)科問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)弄清問(wèn)題中的數(shù)量在所涉及學(xué)科中的意義，然后將這些數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)知識(shí)，建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決．本題考查待定系數(shù)法，求反比例函數(shù)的解析式，及函數(shù)值的求法． 例2 、某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓p(kpa)是氣體體積V(m3)的反比例函數(shù)，其圖像如圖1所示．當(dāng)氣球內(nèi)氣壓大于140kPa時(shí)，氣球?qū)⒈ǎ瑸榱税踩鹨?jiàn)，氣球體積應(yīng)為（ ） 50 100 150 200 0.5 1 1.5 2 O A(0.8,120) P/kPa V/m3 圖1 A、不大于 B、不小于 C、不大于 D、不小于 分析：根據(jù)函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)A(0，8，120)，結(jié)合待定系數(shù)法容易求出氣球內(nèi)氣體的氣壓p(kpa)與氣體體積V(m3)之間反比例函數(shù)關(guān)系為p=，因?yàn)闅馇騼?nèi)氣壓大于140kPa時(shí)，氣球?qū)⒈?，為了安全起?jiàn)，必須使氣壓不高于140kPa，即，所以，故選B． 例3、近視鏡的度數(shù)y (度)與鏡片焦距x (m)成反比例．已知400度近視鏡鏡片的焦距為0.25m，求y與x的函數(shù)表達(dá)式． 分析：眼睛是心靈的窗戶，保護(hù)視力是每個(gè)同學(xué)不容忽視的大問(wèn)題，本題巧妙地將介紹近視鏡的相關(guān)知識(shí)與反比例知識(shí)、物理知識(shí)融合在一起，既考察了知識(shí)技能，又有人情關(guān)懷，令人拍案叫絕．設(shè)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y =(k≠0)，將x=0.25，y=400代入得k=100，所以設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y =． 例4蓄電池的電壓為定值，使用此電源時(shí)，電流I(A)與電阻R(Ω)之間的函數(shù)關(guān)系式（如圖2），（1）蓄電池的電壓是多少？你能寫出這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式嗎？ （2）完成下表，并回答：如果以此蓄電池為電源的用電器限制電流不得超過(guò)12A，那么用電器的可變電阻應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？ R(Ω) I(A) (8，6) 16 3 圖2 分析 根據(jù)蓄電池的電壓為定值，可知電流與電阻成反比，觀察圖像又知電流與電阻的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，因而可用待定系數(shù)法求解． 解：（1）設(shè)蓄電池的電壓為U，由電學(xué)公式得U=IR，觀察圖像，當(dāng)R=8時(shí)，I=6， 因而U=6×8= 48．故函數(shù)的表達(dá)式為：I= （2）表格由讀者完成．根據(jù)電流與電阻成反比的關(guān)系，當(dāng)用電器限制電流不得超過(guò)12A（即I≤12A）時(shí)，則用電器的可變電阻應(yīng)不少于= 4（Ω）(即R≥4Ω)． 評(píng)注 本題創(chuàng)設(shè)了一個(gè)圖像信息與表格融合在一起的且跨學(xué)科問(wèn)題情景，既要掌握電壓與電流、電阻的關(guān)系，又要學(xué)會(huì)觀察圖像提取有效信息——將圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為I與R的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，從而為待定系數(shù)法解決問(wèn)題提供了已知條件．特別是（2）中數(shù)學(xué)用語(yǔ)“不超過(guò)”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)應(yīng)會(huì)準(zhǔn)確表示，這樣求電阻的范圍才不至于搞翻． 2 反比例函數(shù)學(xué)習(xí)要點(diǎn) 眾所周知，反比例函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用極為廣泛，所以反比例函數(shù)是函數(shù)知識(shí)中的重要的內(nèi)容之一，那么如何才能學(xué)好這一知識(shí)呢？筆者認(rèn)為應(yīng)注意抓好以下幾個(gè)要點(diǎn)： 一、注意正確理解反比例函數(shù)的概念 ①定義：一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)，其中自變量x的取值范圍是x≠0的一切實(shí)數(shù)，y的取值范圍是y≠0的一切實(shí)數(shù). ②一般形式：（k≠0），也可以寫成y＝kx－1. ③反比例函數(shù)（k≠0），y與x成反比例關(guān)系. 二、知道“反比例關(guān)系”與“反比例函數(shù)”的區(qū)別與聯(lián)系 反比例關(guān)系是小學(xué)里研究的概念，即如果xy＝k（k是常數(shù)，k≠0），那么x與y這兩個(gè)量成反比例關(guān)系，這里的x、y既可以代表單獨(dú)一個(gè)字母，也可以代表一個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.如：y+4與x－3成反比例，則y+4＝（k是常數(shù)，k≠0）.但成反比例的關(guān)系式，不一定是反比例函數(shù)，而反比例函數(shù)中的兩個(gè)量一定成反比例. 三、熟練掌握反比例函數(shù)的圖像的形狀和反比例函數(shù)所具有的性質(zhì) 　?、俜幢壤瘮?shù)的圖像是關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的兩支雙曲線. ②當(dāng)ｋ＞0時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別在第一、第三象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當(dāng)k＜0時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別在第二、第四象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大. 這里應(yīng)特別注意“在每一象限內(nèi)”不可丟掉.因?yàn)楫?dāng)k＞0時(shí)，整個(gè)圖像并非y隨x的增大而減??；只是在每一象限內(nèi)的分支上才是y隨x的增大而減小. ③反比例函數(shù)（k≠0）的圖像與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，如圖1， 圖1 （k＞0） O x y O x y （k＜0） 四、能正確地畫(huà)出反比例函數(shù)的圖像 畫(huà)反比例函數(shù)的圖像和畫(huà)一次函數(shù)的圖像大致相同，即描點(diǎn)法： ①列表：自變量的取值應(yīng)以原點(diǎn)O為中心，沿O的兩邊取三對(duì)（或三對(duì)以上）互為相反數(shù)的值，如±1，±2，±3等，填y值時(shí)，只需計(jì)算右側(cè)的函數(shù)值，如當(dāng)x＝1，2，3的函數(shù)值，那么x＝－1，－2，－3的函數(shù)值是與之對(duì)應(yīng)的相反數(shù). ②描點(diǎn)：由于雙曲線是兩條關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的曲線，所以畫(huà)其圖像時(shí)，可先畫(huà)出一個(gè)分支，再對(duì)稱地畫(huà)出另一個(gè)分支. ③連線：按照從左到右的順序，用平滑的曲線連結(jié)各點(diǎn). 值得注意的是，由于x、y都不為0，所以畫(huà)出的雙曲線的兩個(gè)分支分別體現(xiàn)出無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不會(huì)和坐標(biāo)軸相交. 五、會(huì)確定反比例函數(shù)的關(guān)系式 由于反比例函數(shù)的關(guān)系式（k≠0）中只有一個(gè)待定系數(shù)k，確定了k的值，也就確定了反比例函數(shù)的關(guān)系式，因此，只需給出一組x、y的對(duì)應(yīng)值或圖像上一點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求出k即可確定反比例函數(shù)的關(guān)系式. 如：已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－3，4），則可以把點(diǎn)（－3，4）代入反比例函數(shù)的關(guān)系式，求出k＝－12，所以該函數(shù)的關(guān)系式是. 六、知道反比例函數(shù)（k≠0）中的比例系數(shù)k的幾何意義 如圖2，設(shè)點(diǎn)P（x，y）是反比例函數(shù)（k≠0）圖像上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為M、N，所得的矩形PMON的面積S＝PM·PN＝，因此，k的幾何意義是：過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積為. O 圖2 x P y M N 　　如，點(diǎn)P（x，y）是反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為A，連結(jié)OA，則△AOP的面積為×6＝3. 2 反比例函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用舉例 一、 用于確定字母的取值范圍 【例1】 已知反比例函數(shù)的圖像位于第一、三象限內(nèi)，則m的取值范圍是 . 分析：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)圖像位于第一、三象限時(shí)，k﹥0，則m-1﹥0. 解：因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限，所以比例系數(shù)m-1﹥0，得m﹥1. 點(diǎn)評(píng)：在運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)確定字母的取值范圍時(shí)，關(guān)鍵是熟悉雙曲線所在象限與比例系數(shù)k之間的關(guān)系. 二、用于比較函數(shù)值的大小 【例2】若點(diǎn)A（-2，y1），B(-1，y2)，C(3，y3)在反比例函數(shù)的圖像上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是 . 分析：由k﹤0可知，雙曲線位于第二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，因?yàn)锳、B在第二象限，且-1﹥-2，故y2﹥y1﹥0，由C在第四象限，則y3﹤0. 解：y2﹥y1﹥0﹥y3. 點(diǎn)評(píng)：由于雙曲線的兩個(gè)分支在兩個(gè)不同的象限內(nèi)，因此函數(shù)隨的增減性就不能連續(xù)的看，一定要強(qiáng)調(diào)“在同一象限內(nèi)”，否則，籠統(tǒng)說(shuō)k﹤0時(shí)，y隨x的增大而增大，就會(huì)誤認(rèn)為3最大，則y3最大，出現(xiàn)失誤. 三、用于確定函數(shù)解析式 【例3】如圖，是反比例函數(shù)圖像在第二象限上的一點(diǎn)，且矩形的面積為9，則反比例函數(shù)的表達(dá)式是 . 分析：設(shè)反比例函數(shù)解析式為，點(diǎn)P坐標(biāo)為（a,b），矩形的面積 又因?yàn)?所以 ，由圖像可知k﹤0,所以k=-9. 解：. 點(diǎn)評(píng)：解本題的關(guān)鍵是牢記：過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線段與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積均為. 四、 用于確定與一次函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 【例4】當(dāng)k﹥0時(shí)，雙曲線與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 個(gè). 分析：當(dāng)k﹥0時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，而直線在第二、四象限，所以雙曲線與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，即交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0. 解：0個(gè). 點(diǎn)評(píng)：當(dāng)k﹥0時(shí)，雙曲線與直線無(wú)交點(diǎn)；反之，當(dāng)k﹤0時(shí)，雙曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn). 2 反比例函數(shù) 一、教學(xué)內(nèi)容：反比例函數(shù) 教學(xué)目標(biāo)： 1. 理解反比例函數(shù)、圖像及其主要性質(zhì)，能根據(jù)所給信息確定反比例函數(shù)表達(dá)式，畫(huà)出反比例函數(shù)的圖像，并利用它們解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。 2. 初步了解數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)的重要性。 二、重點(diǎn)、難點(diǎn)： 重點(diǎn)： 1.能根據(jù)所給信息確定反比例函數(shù)表達(dá)式，畫(huà)出反比例函數(shù)的圖像，并利用它們解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。 2、反比例函數(shù)的圖像特點(diǎn)及性質(zhì)的探究 3、通過(guò)觀察圖像，歸納總結(jié)反比例函數(shù)圖像 難點(diǎn)： 1、理解反比例函數(shù)的概念 2、畫(huà)反比例函數(shù)的圖像，并從圖像中獲取信息 3、從反比例函數(shù)的圖像中歸納總結(jié)反比例函數(shù)的主要性質(zhì) 4.反比例函數(shù)的應(yīng)用。 三、知識(shí)要點(diǎn) 1、經(jīng)歷抽象反比例函數(shù)概念的過(guò)程，并能類推歸納出反比例函數(shù)的表達(dá)式 2、一般地，如果兩個(gè)變量x，y之間的關(guān)系可以表示成y=（k為常數(shù)，k不等于0）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù).從y=中可知，x作為分母，所以不能為零 3、畫(huà)反比例函數(shù)圖像時(shí)要注意以下幾點(diǎn) a 列表時(shí)自變量的取值應(yīng)取絕對(duì)值相等而符號(hào)相反的一對(duì)數(shù)值，這樣既可以簡(jiǎn)化計(jì)算，又便于標(biāo)點(diǎn) b 列表、描點(diǎn)時(shí)，要盡量多取一些數(shù)值，多描一些點(diǎn)，這樣方便連線 c 在連線時(shí)要用“光滑的曲線”，不能用折線 4、反比例函數(shù)的性質(zhì) 反比例函數(shù) k的取值范圍 圖像 性質(zhì) ①的取值范圍是，的取值范圍是 ②函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第一、三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)隨的增大而減小 ①的取值范圍是，的取值范圍是 ②函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第二、四象限，在每一個(gè)象限內(nèi)隨的增大而增大 注意：1）反比例函數(shù)是軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形； 2）雙曲線的兩個(gè)分支都與軸、軸無(wú)限接近，但永遠(yuǎn)不能與坐標(biāo)軸相交； 3）在利用圖像性質(zhì)比較函數(shù)值的大小時(shí)，前提應(yīng)是“在同一象限”內(nèi)。 5、反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義 如圖，過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)P作軸，軸的垂線PM，PN，所得矩形的面積為 ∵ ∴ ∴， 即過(guò)雙曲線上任一點(diǎn)作軸，軸的垂線，所得矩形的面積為 注意：①若已知矩形的面積為，應(yīng)根據(jù)雙曲線的位置確定k值的符號(hào)。 ②在一個(gè)反比例函數(shù)圖像上任取兩點(diǎn)P，Q，分別過(guò)P，Q作x軸、y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1，S2，則有S1＝S2。 四、典例解析 考點(diǎn)一：反比例函數(shù)的定義 例1、用電器的輸出功率P與通過(guò)的電流I，用電器的電阻R之間的關(guān)系是，下面說(shuō)法正確的是（ ） A. P為定值，I與R成反比例 B. P為定值，與R成反比例 C. P為定值，I與R成正比例 D. P為定值，與R成正比例 本題的答案是：B 例2、為何值時(shí)， 是反比例函數(shù)？ 解： 常見(jiàn)的錯(cuò)誤： 1）不會(huì)把反比例函數(shù)的一般形式寫成形式； 2）忽略了這個(gè)條件。 考點(diǎn)二：反比例函數(shù)的圖像 例3、若三點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D. 答案為A 例4、觀察下面函數(shù)和的圖像，請(qǐng)大家對(duì)比著探索它們的異同點(diǎn). 相同點(diǎn)：a、圖像都是由兩條曲線組成 b、它們都不與坐標(biāo)軸相交 c、它們都不過(guò)原點(diǎn) 不同點(diǎn)：它們所在的象限不同，的兩條曲線在第一和第三象限，的兩條曲線在第二和第四象限，大家再仔細(xì)觀察一下每個(gè)函數(shù)圖像是否為對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形？ 由此看來(lái)，反比例函數(shù)的圖像是兩條雙曲線，它們要么在第一、三象限，要么在第二、四象限，究竟什么時(shí)候在第一、三象限，什么時(shí)候在第二、四象限，大家能確定嗎？ 可以，當(dāng)k大于0時(shí)，圖像的兩條曲線在第一、三象限內(nèi)，當(dāng)k小于0時(shí)，兩條曲線分別位于第二、四象限。 考點(diǎn)三：反比例函數(shù)的性質(zhì) 例5、已知反比例函數(shù)，分別根據(jù)以下條件求出的取值范圍。 （1）函數(shù)圖像位于第一、三象限內(nèi)； （2）在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大。 解：（1）∵雙曲線在第一、三象限內(nèi)，∴ （2）∵在每一個(gè)象限內(nèi)隨的增大而增大 ∴ 例6、如圖，反比例函數(shù)圖像上任取兩點(diǎn)P、Q，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸，y軸的平行線與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為，過(guò)點(diǎn)Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為。 （1）與有什么關(guān)系？為什么？ （2）將反比例函數(shù)的圖像繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后，能與原來(lái)的圖像重合嗎？ 解：（1）①P、Q兩點(diǎn)在同一條曲線上： 設(shè)P（），過(guò)P點(diǎn)分別作x軸、y軸的平行線，與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為，則 因?yàn)椋ǎ┰诜幢壤瘮?shù)的圖像上，所以 即所以 同理可知 所以= ②P、Q分別在不同的曲線上： 解法同1 同理可知 = 因此只要是在同一個(gè)反比例函數(shù)圖像上任取兩點(diǎn)P、Q，不管P、Q是在同一條曲線上，還是在不同的曲線上，過(guò)P、Q分別作x軸，y軸的平行線與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積、都有= （2）若將反比例函數(shù)的圖像繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后，能與原來(lái)的圖像重合. 因?yàn)榉幢壤瘮?shù)既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形。 考點(diǎn)五：反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 例7、小明將一篇24000字的社會(huì)調(diào)查報(bào)告錄入電腦，打印成文. （1）如果小明以每分鐘120字的速度錄入，他需要多長(zhǎng)時(shí)間才能完成錄入任務(wù)？ （2）錄入文字的速度v（字/min）與完成錄入的時(shí)間t（min）有怎樣的函數(shù)關(guān)系． （3）小明希望能在3h內(nèi)完成錄入任務(wù)，那么他每分鐘至少應(yīng)錄入多少個(gè)字？ 分析：題中的等量關(guān)系為：總字?jǐn)?shù)=錄入文字的速度×錄入時(shí)間 解：（1）24000÷120=200（分鐘） 所以他需要用200分鐘才能完成錄入工作。 （2）函數(shù)關(guān)系式是： （3）3h=180min 由于錄入的字要為整數(shù)，所以他每分鐘至少要錄入134個(gè)字。 例8、蓄電池的電壓為定值，使用此電源時(shí)，電流I（A）與電阻R（）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示。 （1）蓄電池的電壓是多少？你能寫出這一函數(shù)的表達(dá)式嗎？ （2）完成下表，并回答問(wèn)題：如果以此蓄電池為電源的用電器限制電流不得超過(guò)10A，那么用電器的可變電阻應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？ 3 4 5 6 7 8 9 10 4 解：（1）設(shè)函數(shù)表達(dá)式為， ∵在圖像上， ∴ ∴ 蓄電池的電壓是36伏。 （2） 3 4 5 6 7 8 9 10 12 9 7. 2 6 4. 5 4 3. 6 電流不超過(guò)10A，即I最大為10A，代入關(guān)系式中得R=3.6，為最小電阻，所用電器的可變電阻應(yīng)控制在這個(gè)范圍內(nèi). 例9、反比例函數(shù)的圖像上有一點(diǎn)P（m，n）其坐標(biāo)是關(guān)于t的一元二次方程的兩根，且P到原點(diǎn)的距離為，求該反比例函數(shù)的解析式. 分析：要求反比例函數(shù)的解析式，就是要求出k，為此我們需要列出一個(gè)關(guān)于k的方程. 解：∵ m，n是關(guān)于t的方程的兩根 ∴ m+n=3，mn=k， 又 PO= ∴ ∴ ∴ 9－2k=13. ∴ k=－2 當(dāng) k=－2時(shí)，△=9+8＞0， ∴ k=－2符合條件， ∴反比例函數(shù)的解析式為： 考點(diǎn)六：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的應(yīng)用 例10、如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于A、B兩點(diǎn)。 （1）根據(jù)圖像，寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求出兩函數(shù)的解析式； （3）根據(jù)圖像回答：當(dāng)為何值時(shí)，一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的值。 解：（1）由圖像可得B（4，3） （2）把反比例函數(shù)上的點(diǎn)代入函數(shù)的關(guān)系式得 ∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為 由圖可知一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，1）和（－2，0） 把這兩點(diǎn)代入一次函數(shù)關(guān)系式+b得： 解得： ∴一次函數(shù)的關(guān)系式為： （3）由圖像可知，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值。 例11、如圖，平行于直線的直線不經(jīng)過(guò)第四象限，且與函數(shù)的圖像交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥軸于點(diǎn)B，AC⊥軸于點(diǎn)C，四邊形ABOC的周長(zhǎng)是8，求直線的解析式。 解：∵點(diǎn)A在函數(shù)的圖像上， ∴設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，即A點(diǎn)的坐標(biāo)為 ∵AB⊥軸于點(diǎn)B，AC⊥軸于點(diǎn)C，∠BOC=90° ∴四邊形ABOC是矩形，∵四邊形ABOC的周長(zhǎng)是8， ∴ 即 解得 當(dāng) ∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）或（3，1）（由題意可知） ∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3） 設(shè)直線的解析式為 把A點(diǎn)代入得 3=1+bb=2 ∴直線的解析式為 8