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1、福師期末考試《初等數(shù)論》復(fù)習(xí)題及參考答案 本復(fù)習(xí)題頁碼標(biāo)注所用教材為： 教材名稱 單價 作者 版本 出版社 初等數(shù)論 14.20 閔嗣鶴，嚴(yán)士健 第三版 高等教育出版社 復(fù)習(xí)題及參考答案一 一、填空（40%） 1、求所有正約數(shù)的和等于 15的最小正數(shù)為 考核知識點：約數(shù)，參見 P14-19 2、若 biEL L 由1是*n 11的一個完全剩余系，則 8bl 1,8b2 1,LL,8bli 1 也是模 11 的 剩余系. 考核知識點：完全剩余系，參見 P54-57 3.模13的互素剩余系為 考核知識點：互素剩余系，參見 P58 4.自176到545

2、的整數(shù)中是13倍數(shù)的整數(shù)個數(shù)為 考核知識點：倍數(shù)，參見 P11-13 5、如果p是素數(shù)，a是任意一個整數(shù)，則a被p整除或者 考核知識點：整除，參見 P1-4 6、a，b的公倍數(shù)是它們最小公倍數(shù)的 ^ 考核知識點：最小公倍數(shù)，參見 P11-13 7、如果a，b是兩個正整數(shù),則存在 整數(shù) q，r ,使 a bq r, 0 r 考核知識點：整除，參見 P1-4 8、如果 3 n , 51n，則 15 ( ) n . 考核知識點：整除，參見 P1-4 二、(10%)試證：61n(n+1)(2n+1),這里n是任意整數(shù)。 考核知識點：整除的性質(zhì)，參見 P9

3、-12 提示： 2 卜（理 +1） = 2 %（德 +1）（2 +1） i）若一風(fēng)則”（用 ii）若n，則"1■標(biāo) 3al =3,（用 +1）（2 + 1） iii）若契?加”則2劉-1 = 8那+2+1 = 6喀+ 3 二3|七+1 二>3帆同+1）（2第+1） v 二125 = 1 和3+1）（2用十 1） _ 2 三、(10%)假定a是任意整數(shù)，求證 a a 1 0(mod3)或 2 a a 0(mod3) 考核知識點：二次同余式，參見 P88 提示：要證明原式成立，只須證明 3|a2 a 1,或者3 a2 a成立即可。 四、(10%)設(shè)p是不小于5

4、的素數(shù)，試證明 p2 1(mod 24) 考核知識點：同余的性質(zhì)，參見 P48-52 提示：1■" 24 = 3乂呂且尹是不小于5的素數(shù). = p = 3k 工=1,2 止 21 N =p 三 l(mod 3) => /三凸d可 又:的十凡且"是不小于5的素數(shù). 4只能是奇數(shù)且 今田三 L 3, 5 n7(inod 8) 即「」」‘； =>7>3 = l(mod2) n/三 l(mod[3,即即廣 Jl《mod2d) 5x 1(mod7) 五、O解同余式組14x 2(mod8) 考核知識點：同余式，參見 P74-75 提示.?. (14 , 8)=2 且 2

5、| 2 1- 14x=2(mod8) 有且僅有二個解 解 7x= 1(mod4) ? x 三3 (mod4) 6x 三 10(mod8)的解為 x =3, 3+4(mod8) 原同余式組等價于 x 3 mod 7 x 3 mod 7 c 或 r s x 3 mod8 x 7 mod8 分別解出兩個解即可。 六、(15%)證明形如4n 1的整數(shù)不能寫成兩個平方數(shù)的和 考核知識點：同余，參見 P48-53 設(shè)n是正數(shù)，并且n 1(mod 4), 如果n x2 y2, 則因為對于模4, x,y只與0,1,2,-1 等同余, 所以x2, y2只能與0,1同余， 所以 x

6、2 y2 0,1,2(mod 4) 而這與n 1(mod 4)的假設(shè)不符， 即定理的結(jié)論成立. 《初等數(shù)論》復(fù)習(xí)題及參考答案二 、填空(40%) 1、如果（a，b） 1iNab，a b）=0 考核知識點：最大公因數(shù)，參見 P4-8 2、若b1,b2,L L ,b11是模11的一個完全剩余系，則 3bl 15,3b2 15,L L ,3b11 15也是模 11 的 剩余系。 考核知識點：完全剩余系，參見 P54-57 3、小于30的素數(shù)的個數(shù)是。 考核知識點：素數(shù)，參見 P14-19 4、在整數(shù)中正素數(shù)的個數(shù)有 。 考核知識點：素數(shù)，參見 P14-19 5、24871

7、與3468的最大公因數(shù)是 。 考核知識點：最大公因數(shù)，參見 P4-8 6、9x 11y 100的正整數(shù)解的個數(shù)是 。 考核知識點：二元一次不定方程，參見 P25-31 7、同余方程x4 x3 x2 x 1 0（mod5）的解的個數(shù)是 0 考核知識點：高次同余式的解法，參見 P80-84 8、不定方程126x 102y 18的整數(shù)解為。 考核知識點：二元一次不定方程，參見 P25-31 二、（10%）證明：若 m p mn pq, WJ m p mq np。 考核知識點：整除，參見 P1-4 pq可知 提示：由恒等式 mq np = （mn pq） （m p）（n q）及條

8、件 m p mn m p mq np。 三、（10%）若為■風(fēng)則瓦昭）.（明切 考核知識點：整除，參見 P1-4 證明：’「I < 1 謹(jǐn)+ （。/曲十（/上氏=（4匕）（占十相） 瓦同?(g㈤佝g),Q力內(nèi)切 / ) = 1 ，& +毋2)?L(兩+舟.&)?1 ng十＞砧)-1 (口十瓦即2)三(43)佑+齊?/玲)三(%8) 四、(10%)證明：若p是奇素數(shù)，N = 1 2 ( p 1),則 (p 1)! p 1 (mod N)o 考核知識點：同余式，參見 P74-75 提示：由(p 1)! p 1 (mod p), (p 1)! p 1 (mod p 1

9、)以及(p, p 1) = 1 得(p 1)! p 1 (mod p(p 1)),又 2N = p(p 1),故(p 1)! p 1 (mod N)。 五、(15%)解同余方程組: 3x 5y 38(mod 47) o x y 10(mod 47) 考核知識點：同余方程組，參見 P74-75 提示：消去y得8x 41 (mod 47),解得x 11 (mod 47),代入原方程組中的第 二式得 y 1 (mod 47)。故原方程組的解為 x 11 (mod 47), y 1 (mod 47)。 六、(15%) 設(shè)m 3, g是模m的原根，x1, x2, , x (m)是模m的簡

10、化剩余系，證明： (m) (i ) g 2 1 (mod m); (ii) x1x2 x (m) 1 (mod m)。 考核知識點：原根及 n次剩余，參見P130-137 解：(i)因g1, g2, , g (m)為模m的簡化剩余系，設(shè)同余方程x2 1 (mod m) 的解為 x gr (mod m),即(gr)2 = g 2r 1 (mod m),由此得 2r 0 (mod (m)), (m) 2r,又由m 3知(m)是偶數(shù)，得 啰)|r, r 春或(m)。另一方面，同 余方程 x2 1 (mod m)至少有解 x 1, 1 (mod m),由 g (m) 1 (mod m)推出

11、 (m) 1 (mod m)。 (ii)因g1, g2, , g (m)也為模m的簡化剩余系，故 (m)( (m) 1) (m) (m) (m) (m) X1X2 x (m) g g g (m) g 2 — gT gF gh 1 (mod m)o 《初等數(shù)論》復(fù)習(xí)題及參考答案三 一、填空(40%) 1、如果ba, ab,則a與b的關(guān)系為。 考核知識點：整除，參見 P1-4 2、小于30的素數(shù)的個數(shù)為 。 考核知識點：素數(shù)，參見 P14-19 3、模7的互素剩余系為。 考核知識點：互素剩余系，參見 P54-56 4、如果,則不定方程ax by C有解. 考核知識點：不

12、定方程有解的條件，參見 P25 5、解同余式 58x 87(mod47)。 考核知識點：解同余式，參見 P74-75 6、求最大公因數(shù)(168, 180,495) 。 考核知識點：最大公因數(shù)，參見 P4-8 7、求同余式 7x 1(mod 31)。 考核知識點：解同余式，參見 P74-75 8、求不定方程15x 19y 1的整數(shù)解。 考核知識點：解不定方程，參見 P25-31 二、(10%)解同余方程：2x 7y 5 (mod 12)。 考核知識點：解同余方程，參見 P74-75 提示：因為(2, 12) = 2, (2, 7) = 1 5,故同余方程有解，其解數(shù)為1 1

13、22 1 = 12, mod 12。先解同余方程 7y 5 (mod 2),得y 1 (mod 2),寫成 y 1 2t (mod 12), t = 0, 1,2, ,5,對于固定的 t,解同余方程 2x 5 7(1 2t) 2 2t (mod 12), 得 x 1 t (mod 6)， 寫成 x 1 t 6s (mod 12)， s = 0, 1， 故原方程組的解 1 t 6s (mod 12)， y 1 2t (mod 12)， s = 0, 1 ， t = 0, 1, 2, ,5。 (10%)解同余方程組： x 8(mod 15) x 5(mod 8) x 13(mo

14、d 25) 考核知識點：同余方程組，參見 P74-75 提示： 因為 (15, 8) = 1 8 5， (15, 25) = 5 8 13， (8, 25) = 1 5 13，故原同余 方程組有解，解數(shù)唯一， mod [15, 8, 25] = 600。將第一個同余方程的解 x = 8 15t1， t1 Z， 代入第二個同余方程得 t1 3 (mod 8)， 即 t1 = 3 8t2， t2 Z， x = 53 120t2， 代入第三個同余方程得 t2 3 (mod 5)， 即 t2 = 3 5t3， t3 Z， x = 413 600t3,所以原同余方程組的解為 x 413 (m

15、od 600)。 四、 (10%)解同余方程： 3x2 11x 20 0 (mod 105)。 考核知識點：高次同余式的解法，參見 P80-84 提示： 因 105 = 35 7， 同余方程 3x2 11x 20 0 (mod 3)的解為 x 1 (mod 3)， 同余方程 3x2 11x 38 0 (mod 5)的解為 x 0， 3 (mod 5)， 同余方程 3x2 11x 20 0 (mod 7)的解為 x 2， 6 (mod 7)，故原同余方程有 4 解， mod 105。作 同余方程組： x b1 (mod 3)， x b2 (mod 5)， x b3 (mod 7)，其

16、中 b1 = 1， b2 = 0， 3， b3 = 2， 6， 由孫子定理得原同余方程的解為 x 13， 55， 58， 100 (mod 105)。 五、(15%)證明：同余方程aixi a2x2 anxn b (mod m)有解的充要條件是 (a1, a2, , an, m) = d b。 考核知識點：同余式，參見 P74-75 提示：必要性顯然，下證充分性。當(dāng) n = 1 時，由定理 2 知命題成立。 假設(shè) n = k時結(jié)論已真，考慮 aixi a2x2 akxk ak + ixk + i b (mod m),令(ai, a2, , ak, m) = di, (di, ak

17、+ i) = d,因為同余方程 ak + ixk + i b (mod di)有解，其解數(shù)為 d, mod di,記m = dimi,則解數(shù)為dmi, mod m?，F(xiàn)在固定一個解 xk + i,由歸納 假定知 aixi a2x2 akxk b ak + ixk + i (mod m)有解，其解數(shù)為 di mk \ mod m,從而 aixi a2x2 akxk ak + ixk + i b (mod m)有解，其解數(shù)為 dmi dimk 1 = d mk, mod m。由歸納原理知命題對于一切 n 1成立。 六、(15%) 設(shè)p和q = 4P 1都是素數(shù)，證明：2是模q的一個原根。 考核知識點：原根，參見 P123-129 提示：由 q(2) (q) = 4p 知 q(2) = 1 , 2, 4, p, 2P 或 4p,若 24 1 (mod q), 則 q 24 1 = 15 = 35, IP q = 3 或 5,這是不可能的，故 q(2) 1, q(2) 2, q 1 q(2) 4,又q是8k + 5型的數(shù)，2是q的二次非剩余，即2A 22P 1 (mod q), 故 q(2) p, q(2) 2p,所以 q(2) = 4P = (q), 2 是模 q 的一個原根。