《中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn) 三角函數(shù)復(fù)習(xí) 銳角三角函數(shù)和解直角三角形課件》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn) 三角函數(shù)復(fù)習(xí) 銳角三角函數(shù)和解直角三角形課件(38頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第36課 銳角三角函數(shù)和解直角三角形 1銳角三角函數(shù)的意義,RtABC中,設(shè)C90,為 RtABC的一個(gè)銳角,則: 的正弦 sin . 的余弦 cos . 的正切 tan .要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理的對(duì)邊的對(duì)邊斜邊斜邊 的鄰邊的鄰邊斜邊斜邊 的對(duì)邊的對(duì)邊的鄰邊的鄰邊 230、45、60的三角函數(shù)值,如下表:正弦正弦余弦余弦正切正切30456012 32 33 22 22 132 12 3 3同角三角函數(shù)之間的關(guān)系: sin2cos2 ; tan . 互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系式:(為銳角) sin ; cos . 函數(shù)的增減性:(090) (1)sin,tan的值都隨 ; (2)cos都隨 sincos
2、1cossin增大而增大增大而增大增大而減小增大而減小4解直角三角形的概念、方法及應(yīng)用 解直角三角形:由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形 直角三角形中的邊角關(guān)系:在RtABC中,C90,A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c則: (1)邊與邊的關(guān)系: ; (2)角與角的關(guān)系: ; (3)邊與角的關(guān)系: .5三角形面積公式:S ah .a2b2c2AB90sinAcosB ,cosAsinB ;ac bc tanA ,tanBab ba 12 absinC12 1正確理解三角函數(shù)的概念 書寫三角函數(shù)時(shí),若銳角用一個(gè)大寫字母或者一個(gè)小寫希臘字母表示的,表示它的正弦
3、時(shí),習(xí)慣省略角的符號(hào),如sin A;若銳角是用三個(gè)大寫字母或數(shù)字表示的,表示它的正弦時(shí),不能省略角的符號(hào),如sinABC,余弦和正切的寫法同理由定義可以看出,銳角A的正弦、余弦、正切都是它所在直角三角形的兩邊的比,因此都是正數(shù);因?yàn)殇J角A的取值范圍是0A90,則三角函數(shù)的取值范圍是0sin A1,0cos A0;當(dāng)A確定時(shí),三個(gè)比值也分別有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng) 難點(diǎn)正本難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源疑點(diǎn)清源 2解直角三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 解直角三角形在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用,主要涉及測(cè)量、航空、航海、工程等領(lǐng)域,常作為習(xí)題出現(xiàn)的有以下幾個(gè)方面:度量工作、工程建筑、測(cè)量距離等解這類問(wèn)題的一般步驟是: (1)
4、弄清題中名詞術(shù)語(yǔ)的意義,然后根據(jù)題意畫出幾何圖形,建立數(shù)學(xué)模型; (2)將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系,當(dāng)有些圖形不是直角三角形時(shí),可添加適當(dāng)?shù)妮o助線,把它們分割成直角三角形; (3)尋求基礎(chǔ)直角三角形,并解這個(gè)三角形或設(shè)未知數(shù)進(jìn)行求解1(2011煙臺(tái))如果ABC中,sin Acos B ,則下列最確切的結(jié)論是() AABC是直角三角形 BABC是等腰三角形 CABC是等腰直角三角形 DABC是銳角三角形 解析:當(dāng)sinA ,cosB 時(shí),AB45, 所以ABC是等腰直角三角形基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)C22 22 2(2011湖州)如圖,已知在RtABC中, C90,BC1,A
5、C2,則tan A的值為() A2 B. C. D. 解析:在RtABC中,C90, tanA .12 BBCAC 12 3(2011茂名)如圖,已知45Acos A Csin Atan A Dsin Acos A 解析:當(dāng)45AB,BCAC, 在RtABC中,sinA ,cosA , sinAcosA.BBCAB ACAB 4(20011鎮(zhèn)江)如圖,在RtABC中,ACB90,CDAB,垂足為D. 若AC ,BC2,則sinACD的值為() A. B. C. D. 解析:在RtABC中,ACB90, AC ,BC2,則AB3. 由CDAB,得ACDB, 所以sinACDsinB .A5 AC
6、AB 53 5(2011蘇州)如圖,在四邊形ABCD中,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)若EF2,BC5,CD3,則tan C等于() A. B. C. D. 解析:連接BD,因?yàn)镋、F分別是AB、 AD的中點(diǎn),所以EF是ABD的中位線, BD2EF224. 在BCD中,BD4,BC5,CD3. 由BD2CD2BC2,得BDC90, 所以tanC .BBDCD 43 題型一特殊角三角函數(shù)參與實(shí)數(shù)運(yùn)算【例 1】 計(jì)算tan45sin454sin30cos45 tan30. 解:原式1 4 .探究提高 利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算,往往與絕對(duì)值、乘方、開方、二次根式相結(jié)合準(zhǔn)確地記住三角函數(shù)值是解
7、決此類題目的關(guān)鍵,所以必須熟記題型分類題型分類 深度剖析深度剖析22 12 22 6 33 22 2 2 22 知能遷移1計(jì)算: (1) tan45的值是_; 解析: tan45 1110.0sin60cos30 3232 (2)2sin60_; 解析:2sin602 .(3) _. 解析: |tan301| 1tan301 .32 3 3 133 tan301 2 33 題型二仰角、俯角、方向角有關(guān)問(wèn)題【例 2】 已知:如圖,在某建筑物AC上,掛著“多彩云南”的宣傳條幅BC,小明站在點(diǎn)F處,看條幅頂端B,測(cè)得仰角為30,再往條幅方向前行20m到達(dá)點(diǎn)E處,看到條幅頂端B,測(cè)得仰角為60,求宣傳
8、條幅BC的長(zhǎng)(小明的身高不計(jì),結(jié)果用含有根號(hào)的式子表示)解:設(shè)BCx,在RtBCF中,tanF , CF x. 在RtBCE中,tanBEC , EC x. FEFCEC, x x20. x20,x10 . 答:宣傳條幅BC的長(zhǎng)是10 m.BCCF xtan30 3 BCEC xtan60 33 3 33 2 33 3 3 探究提高 此類問(wèn)題常與仰角、俯角等知識(shí)相關(guān),通常由視線、水平線、鉛垂線構(gòu)成直角三角形,再利用邊與角之間存在的三角函數(shù)式,變形求得物體高度知能遷移2(2011潛江)五月石榴紅,枝頭鳥兒歌一只小鳥從石榴樹上的A處沿直線飛到對(duì)面一房屋的頂部C處從A處看房屋頂部C處的仰角為30,看
9、房屋底部D處的俯角為45,石榴樹與該房屋之間的水平距離為3 m,求出小鳥飛行的距離AC和房屋的高度CD.3 解:作AECD于點(diǎn)E. 由題意可知:CAE30,EAD45,AE3 m. 在RtACE中,tanCAE ,即tan 30 . CE3 tan 303 3m, AC2CE236(m). 在RtAED中,ADE90EAD904545, DEAE3 (m) DCCEDE(33 )m. 答:AC6m,DC(33 )m. 3 CEAE CE3 3 3 3 33 3 3 3 題型三解直角三角形的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例 3】 (2010赤峰)關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式: sin()sincoscossin cos
10、()sincossinsin tan()(1tantan0) 利用這些公式可以將一些不是特殊的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的 三角函數(shù)來(lái)求值,如tan105tan(4560) (2 )3 根據(jù)上面的知識(shí),你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問(wèn)題:如圖,直升飛機(jī)在一建筑物CD上方A點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂端D點(diǎn)的俯角為60,底端C點(diǎn)的俯角為75,此時(shí)直升飛機(jī)與建筑物CD的水平距離BC為42m,求建筑物CD的高解:過(guò)點(diǎn)D作DEAB于E, 在RtADE中,ADEa60, AEEDtan60BCtan6042 . 在RtACB中,ACB75, ABBCtan75, tan75tan(4530) 2 , AB42(2 )
11、8442 , CDBEABAE8442 42 84. 答:建筑物CD的高為84m.3 tan45tan301tan45tan30 3 33 3 3 3 3 3 3 探究提高 在解斜三角形時(shí),通常把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形,常見(jiàn)的方法是作高,作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形,再利用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題知能遷移3(2011安順)一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師帶領(lǐng)學(xué)生去測(cè)一條南北流向的河寬,如圖所示,某學(xué)生在河?xùn)|岸點(diǎn)A處觀測(cè)到河對(duì)岸水邊有一點(diǎn)C,測(cè)得C在A北偏西31的方向上,沿河岸向北前行40m到達(dá)B處,測(cè)得C在B北偏西45的方向上,請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù),求這條河的寬度(參考數(shù)值:tan 31 )解:如
12、圖,過(guò)點(diǎn)C作CDAB于D , 由題意DAC31,DBC45, 設(shè)CDBDx, 則ADABBD40 x, 在RtACD中,tanDAC ,則 , 解得x60. 答:這條河的寬是60m.CDAD x40 x 35 題型四解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用【例 4】 (2010杭州) 如圖,臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)P,并沿東北方向PQ移動(dòng),已知臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的速度為30千米/時(shí),受影響區(qū)域的半徑為200千米,B市位于點(diǎn)P的北偏東75方向上,距離P點(diǎn)320千米處 (1)說(shuō)明本次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響B(tài)市; (2)求這次臺(tái)風(fēng)影響B(tài)市的時(shí)間 解題示范規(guī)范步驟,該得的分,一分不丟!解:(1)作BHPQ于點(diǎn)H,在RtBHP中,由條件知, PB3
13、20,BPQ754530, 得BH320sin30160200, 本次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響B(tài)市 4分 (2)如圖,若臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到P1時(shí),臺(tái)風(fēng) 開始影響B(tài)市,臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到P2時(shí), 臺(tái)風(fēng)影響結(jié)束 由(1)得BH160,由條件得BP1BP2200, P1P22 240, 8分 臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間t 8(小時(shí)) 10分20021602 24030 探究提高 此類問(wèn)題一般求出危險(xiǎn)區(qū)域中心的距離,看其是否小于圓形危險(xiǎn)區(qū)域的半徑,其實(shí)質(zhì)是判斷圓和直線的位置關(guān)系求影響情況,通常以此為圓心,以臺(tái)風(fēng)影響半徑為半徑畫圓,交臺(tái)風(fēng)行進(jìn)路線于兩點(diǎn),這兩點(diǎn)之間的距離就是受影響其間臺(tái)風(fēng)所經(jīng)過(guò)的路程,其中最靠近臺(tái)風(fēng)方向的一點(diǎn)表示臺(tái)風(fēng)開始
14、影響,另一點(diǎn)表示臺(tái)風(fēng)結(jié)束影響知能遷移4(2010烏魯木齊)某過(guò)街天橋的截面圖為梯形,如圖所示,其中天橋斜面CD的坡度為i1 ,(i1 是指鉛直高度DE與水平寬度CE的比),CD的長(zhǎng)為10m,天橋另一斜面AB坡角ABG45. (1)寫出過(guò)街天橋斜面AB的坡度; (2)求DE的長(zhǎng); (3)若決定對(duì)該過(guò)街天橋進(jìn)行改建,使AB斜面的坡度變緩,將其45坡角改為30,方便過(guò)路群眾,改建后斜面為AF.試計(jì)算此改建需占路面的寬度FB的長(zhǎng)(結(jié)果精確0.01)3 3 解:(1)在RtAGB中,ABG45, AGBG, AB的坡度 1. (2)在RtDEC中,tanC , C30. 又CD10,DE CD5. (3
15、)由(1)知,AGBG5,在RtAFG中,AFG30, tanAFG ,即 , 解得FB5 53.66. 答:改建后需占路面寬度約為3.66 m.AGBG DEEC 13 33 12 AGFG 33 5FB5 3 24添加輔助線,把分散條件集中起來(lái)試題如圖,AD是BC邊上的高,AD DC BD1 2 3, 求BAC的度數(shù)學(xué)生答案展示 不能添加輔助線來(lái)考慮,從而無(wú)法下手剖析 如圖,延長(zhǎng)BA,過(guò)C畫CEAB,只要求BAC的外角即可易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示正解過(guò)C作CEBA,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. 設(shè)ADm,則DC2m,BD3m, AC m, AB m. BB,ADBCEB90, BECBDA. m. CE
16、 m. 在RtAEC中,sinEAC , EAC45, BAC135.AD2DC2 m2 2m 2 AD2BD2 m2 3m 2 5 10 CEADBCAB3m2m105m10102 102 ECAC 102m5m 批閱筆記 如果題目中的條件比較分散,所給的圖形不夠完整,我們可以通過(guò)作垂線,作平行線等添輔助線的方法,將斜三角形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的數(shù)學(xué)模型(化斜為直的思想),把分散的條件集中起來(lái),構(gòu)造直角三角形、相似三角形,以達(dá)到解題目的方法與技巧 1. 準(zhǔn)確理解三角函數(shù)概念,熟練運(yùn)用正弦、余弦、正切的定義 2. 形成解直角三角形思考過(guò)程的程序:在不同的條件下,應(yīng)有不同的考慮;無(wú)論什么條件
17、下,分別求解各未知元素時(shí),應(yīng)盡量代入已知的數(shù)值,少用在前面的求解中剛剛算出的數(shù)值,以減少以錯(cuò)傳誤的機(jī)會(huì) 3. 解直角三角形應(yīng)用題的思考方法: (1)尋求各類應(yīng)用題的共同思考步驟: 審題,把情景盡可能弄通、弄細(xì)致,甚至畫個(gè)示意圖; 把示意圖轉(zhuǎn)化為幾何圖;思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 從要求的量所在的直角三角形分析,解之,若條件不足,轉(zhuǎn)而先去解所缺條件所在的直角三角形,然后返回;若條件仍不足,再去解第二次所缺條件所在的直角三角形,直至與全部已知條件掛上鉤,然后層層返回 (2)積累各種類型應(yīng)用題的特殊思考步驟,如:測(cè)高問(wèn)題,測(cè)不可到達(dá)的兩點(diǎn)間距離問(wèn)題,航海有關(guān)問(wèn)題等失誤與防范 1在直角三角形中,求銳角三角函數(shù)值的問(wèn)題,一般轉(zhuǎn)化為求兩條邊的問(wèn)題,這樣就把新知識(shí)(求銳角三角函數(shù)值)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)(求直角三角形的邊長(zhǎng)),因此不可避免地用到勾股定理若原題沒(méi)有圖形,可以畫出示意圖,直觀地觀察各邊的位置及類型(直角邊還是斜邊),再運(yùn)用定義求解;也可以直接通過(guò)字母來(lái)判斷邊的位置和類型,即A的對(duì)邊為BC,B的對(duì)邊為AC,C的對(duì)邊為AB. 2在解斜三角形時(shí),通常把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形,常見(jiàn)的方法是作高,通過(guò)作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形,再利用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題注意在畫圖過(guò)程中考慮一定要周到,不可遺漏某一種情況完成考點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練 36