《高考數(shù)學總復習 第2單元 第5節(jié) 函數(shù)的奇偶性和周期性課件 文 蘇教版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學總復習 第2單元 第5節(jié) 函數(shù)的奇偶性和周期性課件 文 蘇教版(23頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第五節(jié)函數(shù)的奇偶性和周期性第五節(jié)函數(shù)的奇偶性和周期性基礎(chǔ)梳理1.定義:一般地,設函數(shù)y=f(x)的定義域為A,如果對于任意xA,都有_,則稱函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù);如果對于任意xA,都有_,則稱函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)2. 圖象的對稱性質(zhì):一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象_;一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象_3. 一般地,對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零的常數(shù)T,使得定義域內(nèi)的每一個x值,都滿足_,那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)_叫做這個函數(shù)的周期,所有周期中存在最小的一個正數(shù)叫做f(x)的最小正周期f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)關(guān)于原點對稱關(guān)于y軸對稱Tf(
2、x+T)=f(x)4. 奇(偶)函數(shù)有關(guān)定義的等價形式:f(-x)=f(x)f(-x)f(x)=_ =_(f(x)0)5. 奇(偶)函數(shù)有關(guān)的結(jié)論(1)若一個奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義,則f(0)=_.(2)若函數(shù)y=f(x)的定義域關(guān)于原點對稱,則f(x)+f(-x)為_函數(shù);f(x)-f(-x)為_函數(shù);f(x)f(-x)為_函數(shù)fxf x 010偶奇偶6. 函數(shù)周期性的相關(guān)結(jié)論(1)設a是非零常數(shù),若對f(x)定義域內(nèi)的任意x,恒有下列條件之一成立:f(x+a)=-f(x);f(x+a)= ;f(x+a)=- ;f(x+a)=f(x-a),則f(x)是周期函數(shù),2|a|是它的一個周期
3、(以上各式中分母均不為零)(2)函數(shù)圖象的對稱性:若f(x+a)=f(b-x)(a、b為常數(shù))在定義域上恒成立,則f(x)的圖象關(guān)于直線_對稱特別地,若f(a+x)=f(a-x),則函數(shù)f(x)關(guān)于直線_對稱,_時,f(x)為偶函數(shù) 1f x 1f x a=0 x=a2abx基礎(chǔ)達標1. (必修1P39例6改編)有以下函數(shù):f(x)=x2-1;f(x)=x3-2x;f(x)=2|x|-1;f(x)=(x-1)2;f(x)=x4,x-2,2);f(x)= .其中,奇函數(shù)有_,偶函數(shù)有_(填序號) 2x解析:驗證f(-x)與f(x)的關(guān)系,可知為奇函數(shù),為偶函數(shù),的定義域不關(guān)于原點對稱,不滿足奇、
4、偶函數(shù)定義,故為非奇非偶函數(shù) 2. (2010泰州調(diào)研)設f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(3)+f(-2)=2,則f(2)-f(3)=_.3. 已知f(x)=ax2+bx是定義在a-1,2a上的偶函數(shù),那么a+b=_.解析:f(x)為R上的奇函數(shù),f(2)-f(3)=-f(2)+f(3)=-f(-2)+f(3)=-2.-213解析:定義域關(guān)于原點對稱,故a-1+2a=0,則a= ,又f(x)為偶函數(shù),故b=0,a+b= 13134. 下面四個命題:偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交;奇函數(shù)的圖象一定通過原點;偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(xR)其中正確的
5、命題序號為_4.解析:錯誤,比如f(x)= ;錯誤,比如f(x)= ;錯誤,如f(x)=0,x-1,1 21x1x5. 已知f(x)在R上是奇函數(shù),且滿足f(x+4)=f(x),當x(0,2)時,f(x)=2x2,則f(2 011)=_.解析:f(x+4)=f(x),f(x)的最小正周期為4,又f(x)為奇函數(shù),f(2 011)=f(-1+2 012)=f(-1)=-f(1)=-2.-2經(jīng)典例題題型一判斷函數(shù)的奇偶性【例1】判斷下列各函數(shù)的奇偶性1(1) ( )(1)1xf xxx221(2) ( )|2| 2lgxf xx 2,1(3) ( )0,| 12,1.xxf xxxx 分析:(1)
6、考慮定義域;(2)利用定義域先化簡函數(shù);(3)分段討論解:(1)由 0,得定義域為-1,1),不關(guān)于原點對稱,f(x)為非奇非偶函數(shù)(2)由 得定義域為(-1,0)(0,1)這時 , ,f(x)為偶函數(shù)11xx2210|2| 20 xx 222211( )22lgxlgxf xxx 222211()( )lgxlgxfxf xxx (3)當x1,f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x)當x1時,f(x)=-x+2,-x-1,f(-x)=-x+2=f(x)當-1x1時,f(x)=0,又-1-x1,f(-x)=f(x)=0.對定義域內(nèi)的每個x都有f(-x)=f(x),f(x)是偶函數(shù)判斷下列函
7、數(shù)的奇偶性變式1-122,0(1) ( ),0 xx xf xxx x22(2) ( )33f xxx(3)f(x)=x2-|x-a|+2.解析:(1)當x0,則f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x);當x0時,-x0,則f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x)對任意x(-,0)(0,+)都有f(-x)=f(x),故f(x)為偶函數(shù)(2)由 得x= 或x= ,函數(shù)f(x)的定義域為 , 又對任意的x , ,f(x)=0,f(-x)=f(x)=-f(x)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)223030 xx 333333(3)函數(shù)f(x)的定義域為R.當a=0時,f(x)=f(
8、-x),f(x)是偶函數(shù);當a0時,f(a)=a2+2,f(-a)=a2-2|a|+2,f(a) f(-a),且f(a)+f(-a)=2(a2-|a|+2) ,f(x)是非奇非偶函數(shù) 2172 |022a題型二奇偶性的應用【例2】(1)已知函數(shù)f(x)= (a,b,cZ)是奇函數(shù),又f(1)=2,f(2)f(2x),求x的取值范圍 21axbxc分析:第(1)小題關(guān)鍵是f(-x)=-f(x)恒成立的應用,即 對定義域中任何x都成立,所以-bx+c=-bx-c恒成立,可得c=0;第(2)小題關(guān)鍵是利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)=f(|x|),將f(3x-1)f(2x)轉(zhuǎn)化為f(|3x-1|)f(|2x
9、|),這樣就避免了討論2211axaxbxcbxc 解:(1)由f(-x)=-f(x),得-bx+c=-(bx+c),c=0.又f(1)=2,得a+1=2b,而f(2)3,得 3,解得-1af(2x),得f(|3x-1|)f(|2x|),因而有|3x-1|2x|,化簡得5x2-6x+10,解得x1.則x的取值范圍為 (1,+) 151,5已知函數(shù)f(x)對一切x、yR,都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)試判斷f(x)的奇偶性;(2)若f(-3)=a,用a表示f(12)變式2-1解析:(1)顯然f(x)的定義域是R,關(guān)于原點對稱函數(shù)f(x)對一切x、yR都有f(x+y)=f(x)+f(y
10、),令x=y=0,得f(0)=2f(0),f(0)=0.再令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數(shù)(2)f(-3)=a且f(x)為奇函數(shù),f(3)=-f(-3)=-a.又f(x+y)=f(x)+f(y),x、yR,f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(3+3)=4f(3)=-4a.【例3】設f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意實數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x)當x0,2時,f(x)=2x-x2.(1)求證:f(x)是周期函數(shù);(2)當x2,4時,求f(x)的解析式;(3)計算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 011
11、)題型三函數(shù)周期性及其應用分析:技巧在于通過換元進行轉(zhuǎn)化,求函數(shù)f(x)的解析式要利用函數(shù)的周期性進行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,因為只有此時才有函數(shù)解析式解:(1)證明:f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)當x-2,0時,-x0,2,由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函數(shù),f(-x)=-f(x)=-2x-x2,f(x)=x2+2x.又當x2,4時,x-4-2,0,f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)又f(x)是周期為4的周期函數(shù),f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+
12、8.從而求得x2,4時,f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù),f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.f(0)+f(1)+f(2)+f(2 011)=0.變式3-1已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x+2)=-f(x),當0 x1時,f(x)= x,求使f(x)=- 的所有x的值 1313解析:f(x+4)=-f(x+2)=f(x),f(x)的周期為4,當0 x1時,f(x)= x,f(
13、1)= ,f(-1)=- ,當x=4k-1,kZ時,f(x)=- 13131313【例】判斷函數(shù)f(x)= 的奇偶性錯解當x0時,f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-(x2+2x+3)=-f(x);當x0時,f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=-(-x2+2x-3)=-f(x)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)2223,02,023,0 xxxxxxx正解:f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)易錯警示鏈接高考1.(2010江蘇)設f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函數(shù),則a=_.知識準備:1. 理解函數(shù)奇偶性的定義;2. 會用賦值法求解函數(shù)問題解析:方法一:由f(-x)=f(x)-x(e-x
14、+aex)=x(ex+ae-x),a=-1.方法二:f(x)為R上的偶函數(shù),可以賦特殊值,故f(-1)=f(1)a=-1.方法三:f(x)=x(ex+ae-x)是由兩個函數(shù)h(x)=x與g(x)=ex+ae-x相乘而得,又h(x)=x為奇函數(shù),且f(x)為偶函數(shù),則g(x)在R上為奇函數(shù),故g(0)=0a=-1. -12. (2010山東改編)設f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當x0時,f(x)=2x+2x+b(b為常數(shù)),則f(-1)=_.知識準備:1. 知道奇函數(shù)的定義及奇函數(shù)在原點處有定義時f(0)=0;2. 知道要求f(-1)時轉(zhuǎn)化為求f(1)解析:f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(-x)+f(x)=0,當x=0時,f(0)=0,可得b=-1,此時f(x)=2x+2x-1(x0),f(-1)=-f(1)=-(21+2-1)=-3.-3