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1、第55講坐標(biāo)系 【練基礎(chǔ)】 1.在極坐標(biāo)系中，己知圓C經(jīng)過點(diǎn)/（2, §） 分，圓心c為直線妁1偵一§）=一寸5 71 與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程. 【解析】在直線成血一§）=一壽中， 令。=0得〃=2.所以圓C的圓心坐標(biāo)為C（2,0）. 因?yàn)閳Ac經(jīng)過點(diǎn)屯司， 所以圓 C 的半徑\PQ= 22+22-2X2X2Xcos^=2, 所以圓C的極坐標(biāo)方程為〃=4cos。 2. 如圖，在極坐標(biāo)系中，曲線C： p=4cos 6,以極點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，將曲線C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)§得到曲線C'. （1）求曲線C'的極坐標(biāo)方程； （2）求曲線C與曲線C'公共部分圍成

2、圖形的面積. 【解析】（1）設(shè)曲線C上的點(diǎn)（p,。）旋轉(zhuǎn)之后為，伊）, P'=〃， 0' =。+§, p=p', 即， 71 代入曲線C: p=4cos 0, 〔°* 一亍 得曲線 C' : p' =4cos（伊一§ ,即曲線C'的極坐標(biāo)方程為u=4cos偵一§）. 顯然四邊形0C' AC為菱形，/COC'=東 ⑵易知曲線C, C'是半徑均為2的兩個(gè)圓，如圖，兩圓相交于點(diǎn)O, A,連接Q4, AC, 0C , AC , 故 NOC' A=y, 所以曲線C與曲線C'公共部分的而積S=2S ”。必=2（s油g A—Swc” a）=*2,. 3. 設(shè)M, N分別是

3、曲線,+2sin〃=0和psin偵+卒）=乎上的動(dòng)點(diǎn)，求M, N的最小距離. 【解析】因?yàn)镸, N分別是曲線〃+2siM=0和psin（0+￥）=平上的動(dòng)點(diǎn)，即M, N分別是圓x2+^2+ 2y=（）和直線x+y—1=0上的動(dòng)點(diǎn),要求A/, N兩點(diǎn)間的最小距離，即在直線x+y—1=0上找一點(diǎn)到圓x2 10 — 1 — 11 +)2+2)，=()的距離最小，即圓心(0, —1)到直線x+y- 1 =。的距離減去半徑，故最小值為I皿1-1 = ^2-1. 4. 在極坐標(biāo)系中，。為極點(diǎn)，點(diǎn)M(p(), 0o)(〃o>O)在曲線C： p=4sin 。上，直線/過點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直

4、，垂足為P. (1) 當(dāng)為=?時(shí)，求〃o及/的極坐標(biāo)方程； (2) 當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)目.P在線段上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程. 【解析】(1)因?yàn)镸(p。，侃)在曲線C上， 當(dāng)侃=§時(shí)，〃o=4sin§=2寸5. 由已知得|OP|=|OA|co奇=2. 設(shè)Q(〃，0)為/上除P外的任意一點(diǎn). 連接 OQ,在 RtZkOPQ 中，pcos偵一§)=|0P|=2. 經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P(2, §)在曲線pcos(。一=2上， 所以/的極坐標(biāo)方程為pcos(Y)=2? (2)設(shè) P", 8),在 RtAOAP 中，|OP|=|Q4|cos8=4cos。，即 p=4cos 0. 因?yàn)镻在線

5、段OM上，且 所以9的取值范圍是J . 所以P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為p=4cos 6>,舛東， x=t, 5. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程是 伍 ly=y[3t “為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為p2cos20+〃s in2/?— 2“sin〃一 3=0. (1) 求直線/的極坐標(biāo)方程； (2) 若直線/與曲線C相交于A, B兩點(diǎn),求"的長(zhǎng). 【解析】(1)由｛；_，, 得.?.在平面直角坐標(biāo)系中， 直線/經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角是東 因此，直線/的極坐標(biāo)方程是8=§SGR). (2)把。=§代入曲線C的極坐標(biāo)

6、方程 p2cos2/9H-p2sin2^—2psin^—3=0,得 p1—疆p—3=0, 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得Pl+p2=J5, P1P2=—3, b4B| = [pi _〃2| =-\/(p 1 +p2)2 — 4p\pz =/(S)2 一4X(-3) =y[\5. 6. 以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為〃= 4sin 0,將曲線G繞極點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)號(hào)后得到曲線C2. (1)求曲線G的極坐標(biāo)方程； (2)若直線/： 〃=Q(pUR)與G，C2分別相交于異于極點(diǎn)的A, B兩點(diǎn),求|A8|的最大值. 【解析】⑴設(shè)C

7、2上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)為(p, 8), 則(p, 9—單兀)在G上，所以“=4sin(。一京)， 故曲線G的極坐標(biāo)方程為“=4sin偵一§). (2)設(shè).A(pA, a), B(ps, a), 則 \AB\=\pA—pB\= 4sin ?—4sin (。-條)1 = |6sin o+2,cos a|=4, | sin (u+削 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立， 故仇劇的最大值為4^3. x=m—mcosa, 7. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G： ' y=/7zsina (/〃>(),[為參數(shù))，直線C2： )'=%以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (

8、1) 寫出曲線G,直線C2的極坐標(biāo)方程； (2) 直線C3：。=等 (p^R),設(shè)曲線G與直線C2交于點(diǎn)。，A,曲線G與直線C3交于點(diǎn)O, B, △Q4B的面積為饑仔，求實(shí)數(shù)，〃的 值. 【解析】(1)由題意消去曲線G的參數(shù)。，得曲線G的普通方程為。一〃?)2+)2=〃己 ?.Lt=pcosO, y=/?sin。， ...曲線G的極坐標(biāo)方程為〃=2mcos。 直線C2的極坐標(biāo)方程為O=j(p^R). ⑵由 /=2mcos。, 由' 、p=2〃icos5, ?*? S.\oAB=~^f)A'\i)n \'S\v\Z.AOB=(r^3y 即?炳也.寸m?sin§=6

9、\[3,解得〃戶=8. 又〃z>0, .?.〃?=2皿. Jt* ‘ 2x 8. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，由必+)2=1經(jīng)過伸縮變換L [y =y 得到曲線G，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，A?軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為〃=4cos。 (1) 求曲線G的極坐標(biāo)方程以及曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2) 若直線/的極坐標(biāo)方程為0=a(〃uR), /與曲線G，曲線G在第一象限分別交于P, Q兩點(diǎn)，且\OP\=\P 如點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(1,烏)，求△PMQ的面積. 【解析】(1)由一氏得 ly =y 代入F+)，2=1得到曲線g的直南坐標(biāo)方程為土廠+y' 2=1, =3

10、’， =>'， V2 即；+寸=1, 又 x=〃cos 6, y=psin 8, 4 所以曲線G的極坐標(biāo)方程為P2=1+3sin26T C2： 〃=4cos 號(hào),2=4〃cos。，又 x2+)^2=p2, x=pcos 0, 所以曲線.C2的直角坐標(biāo)方程為必+、，2=火，即(]一2)2+尸=4. (O=a, (2)由］4 一 l+3sii)2伊 0=a, 由) 解得〃 q=4coso. p=4cos 0, 由于\OP\=\PQ\,所以 pq=2Pp, I 4 2 1 故 4cos a=2、im思，角條得 sin%=§, cos%=§, 《” /~4- 2a

11、/3 . 4a/3 所以 Pp=WTTE= 3，加=4cosa= 3 ? S*PQM= S-OQ。一 SaQPM =f|O0|OM|sin 任 _a)ToP|.|OM|sing_a) =；X (〃Q_〃p)sinG_a) =^(Pq—Pp)cqs a =3- 【練提升】 9. 在極坐標(biāo)系中，。為極點(diǎn)，點(diǎn)M(po,侃)3。>。)在曲線C： 〃=4sin0上，直線/過點(diǎn)A(4,0)且與0M垂直， 垂足為P.,(l)當(dāng)先=$ 時(shí)，求〃o及/的極坐標(biāo)方程；，(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程. 【解析】⑴因?yàn)镸(po,但)在曲線C上，，所以當(dāng)仞)=§時(shí)

12、，po=4sin§=2<§.,由已知得|OP|=|OA|cos§= 2.，設(shè) Q(p, 0)為/上除 P 外的任意一點(diǎn).，在 RtAOPg 中，pcos(0_§)=|OP|=2. 經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)朋，§在曲線〃cos(0—§)=2上， 所以，/的極坐標(biāo)方程為〃cos(e—§)=2. (2)設(shè) P(〃，。)，在 RtAO4P 中，|OP| = |OA|cosO=4cosO, 即 p=4cos。 因?yàn)閼粼诰€段OM上，且AP1OM, 所以。的取值范圍是值，. 所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為〃=4cos。，0E ?,奇. fx=/cos a, 10. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線，〃的參數(shù)方程

13、為 . ly=/sin a (f為參數(shù),0Wa<7T).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線E的極坐標(biāo)方程為p2 +2pcos 0— 3=0,直線m與曲線瘁2于A, C兩點(diǎn). (1) 求曲線E的直角坐標(biāo)方程和直線m的極坐標(biāo)方程； (2) 過原點(diǎn)且與直線川垂直的直線〃與曲線E交于B,。兩點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值. 【解析】(I)由p2=F+),2, pCOS 0=X,得曲線￡的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+寸=4, 直線m的極坐標(biāo)方程為6>=a(pER). (2)設(shè)點(diǎn)A, C的極坐標(biāo)分別為(〃i, a), (p2, a). 9=a, p2+2pco

14、s。一 3=0, 得 p?+2pcos a—3=0, Api+p2=—2cosa, "ip2=_3, .■.|AC| = |pi—p?|=2 寸 cos%+3. 同理得 | 位)| = 2Wsin%+3. 5 abcd=；| 人 C\\BD\=2*\/cos2a+3 -^sin2a+3 cos2?+3+sin%+3 = 7, 當(dāng)且僅當(dāng)cos2a+3=sin2a4-3,即a=4或手時(shí)，等號(hào)成立， .??四邊形ABCD面積的最大值為7. x=acos(p, 11. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線G： x+v-l=0,曲線C2： ly= 1 十 osin^ (9為參數(shù)，々>0),

15、以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系. ⑴說明C2是哪一種曲線，并將C2的方程化為極坐標(biāo)方程； (2)曲線C3的極坐標(biāo)方程為。=做>0)，其中tan?0=2,何電，號(hào))，且曲線C3分別交G，C?于A，8兩點(diǎn) .若|0捌=3|。4|+,,求?的值. 消去參數(shù)9, Le=“coss 【解析】⑴由 一 [y= 1 +osiiw 得C?的普通方程為x2+(j'—1)2=?2. 「?C2是以(0,1)為圓心，“為半徑的圓. x=pcos0, y=psin0, 「?C2的極坐標(biāo)方程為(〃cos0)2 + (河皿一 1 )2 = /, 即C2的極坐標(biāo)方程為p2—2

16、〃sin0+1 —。2=(). ⑵曲線C3的極坐標(biāo)方程為0=向(〃>0), unoo=2,向《(0, .?.曲線C3的直角坐標(biāo)方程為y=W>0), sinoo=亨. x+y—1 =0, ",解得 ??.|0人|=孳 ?.?|OB|=3|OA|+0, :.\OB\=2y[5. 故點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(20,知)， 代入 p2—2〃sin9+1 — 〃=0,得 a=y[\3. 12. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的方程為(X—2)2+(v—2)2= 1,直線C?的方程為y=W X.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求曲線G和直線C2的極坐標(biāo)方程；

17、⑵若直線C2與曲線G交于A，B兩點(diǎn)，求點(diǎn)+焉. 【解析】⑴曲線G的普通方程為(x-2)2+(y-2)2=l, 則C)的極坐標(biāo)方程為p2-4pcos 6>-4psin 9+7=0. 由于直線C2過原點(diǎn)，且傾斜角為卓 故其極坐標(biāo)方程為0=§(〃eR). "2—4〃cos 0—4〃sin 8+7=(), (2)由 得 p2-(20+2“+7=O, 設(shè)A, B對(duì)應(yīng)的極徑分別為仞，p2, 則 pi+p2=2,+2, pip2=7, .1 1 _|CM|+|OB|_ 〃什〃 2_2皿 + 2 TOAI十|O曠 \OA\-\OB\ ~ PIP2 ~ 7 , 13. 如圖，在極坐標(biāo)系。

18、x中，A(2,0),此皿，務(wù)，皿，號(hào))。(2，丸)，弧疝，衣，Q) 所在圓的圓心分別是(1,0), 1, ；), (1,兀)，曲線"是孤天認(rèn)曲線也是弧及，曲線初是孤Q). ⑴分別寫出M，M2,楊的極坐標(biāo)方程； (2)曲線M由助，尬，切構(gòu)成，若點(diǎn)P在爪上,目」OP|=S，求P的極坐標(biāo). 【解析】(1)由題設(shè)可得，弧無亂BC,汗)所在圓的極坐標(biāo)方程分別為〃=2cos仇p=2sin<9, p=- 2cos 0, 所以Mx的極坐標(biāo)方程為〃=2沖4?！础Ｌ?, 的極坐標(biāo)方程為p=2sin M3的極坐標(biāo)方程為p=—2cos Ww8Wtt). (2)設(shè)P(p, 0),由題設(shè)及(1)知：

19、 若 0W8W* 則 2cos0=J5,解得 0=% 若芋，則 2sin〃=d§,解得 或〃=~^; 若苛■WOW兀，則一2cos〃=a/5,解得 〃=*? 曲線C2：板+于 綜上，戶的極坐標(biāo)為卬，g)或值，§)或皿，亨或便，￥). 14. 在直角坐標(biāo)系》。)，中，曲線Ci： (x-l)2+/=l, =1.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求曲線G, C?的極坐標(biāo)方程; (2)射線Z： 9=a(pN0)與曲線G，C2分別交于點(diǎn)A, B(且A, B均異于原點(diǎn)O),當(dāng)0"<號(hào) 時(shí)，求\OB\2-\OA\2的最小值. 【解析】(l)Ci的極坐標(biāo)方程為p=2cos仇 Q C2的極坐標(biāo)方程為〃2=邙布. (2)聯(lián)立O=a(pNO)與G的極坐標(biāo)方程得|OAF=4cos2q, O 聯(lián)立〃=6t(p》0)與C2的極坐標(biāo)方程得|OH|2=]+sin%， O Q O 則|。卯—|0耶=曲擊—4*%=兩舌—4(1一血切=責(zé)^+4(1+血該)—8 N 2^l+sinvz><4（，+sin26t） - 8 = 8皿 - 8, 當(dāng)且僅當(dāng)sina=J皿一 1時(shí)取等號(hào)， 所以\OBf-\OA\2的最小值為8寸5—8.